V фестиваль рефератов по математике учащихся школ г. Екатеринбурга (стр. 3 )

Научившись переводить числа из одной системы счисления в другую легко определить какая система счисления используется в курьёзных на первый взгляд текстах, и теперь можно ответить на вопрос по теме реферата «Почему 2х2=10?» Потому, что этот пример записан в четверичной системе счисления!

Инверсия и её применение в геометрии циркуля

Руководитель:
МОУ Гимназия №45

Рассмотрение метода инверсии необходимо для указания общего метода решения геометрических задач на построение набором инструментов, состоящим из одного лишь циркуля.

Для того, чтобы решить задачи на построение, разрешимые циркулем и линейкой, одним лишь циркулем, я рассмотрел основные свойства инверсии на плоскости и в пространстве.

Сначала я привёл решения простейших задач на построение фигур, инверсных данным фигурам, на плоскости, выполнив при этом необходимые построения:

1) Построить точку, инверсную данной точке относительно данной окружности.

2) Построить окружность, инверсную данной прямой, не проходящей через центр инверсии.

3) Построить прямую, инверсную данной окружности, проходящей через центр инверсии.

4) Построить окружность, инверсную данной окружности, не проходящей через центр инверсии.

Наиболее трудными для меня оказались решения следующих задач на построение:

5) Дана окружность, центр которой не известен. Построить её центр.

6) Около данного треугольника ABC описать окружность.

Глубже разбираясь в применении метода инверсии в решении геометрических задач на построение, я рассмотрел инверсию в пространстве и её основные свойства.

Мной были исследованы решения геометрических задач на построение одним лишь воображаемым инструментом «сферографом», результатами решения которых пользуются при решении более сложных задач конструктивной геометрии:

7) Для данной точки, не совпадающей с центром инверсии, построить инверсную точку.

8) Дана плоскость, не проходящая через центр инверсии. Построить ей инверсную сферу.

9) Дана сфера, проходящая через центр инверсии. Построить ей инверсную плоскость.

10) Дана сфера, не проходящая через центр инверсии. Построить ей инверсную сферу.

Удивительным является то, как просто и изящно выполняются построения при помощи метода инверсии, последовательно выполняется доказательство. Метод инверсии позволяет решить любую геометрическую задачу на построение, разрешимую циркулем и линейкой, одним лишь циркулем на плоскости, аналогично одним лишь сферографом в пространстве.

Различные приёмы доказательства теоремы Пифагора

Научный руководитель:
Учитель математики первой категории
МОУ СОШ № 000

Сейчас в списке актуальных профессий одно из первых мест занимает архитектор. Архитектору не обойтись без геометрических знаний, а так же и без теоремы Пифагора. Любой современный человек должен знать эту теорему, потому что это история всего человечества. Ведь на протяжении нескольких веков скапливались знания о ней.

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы, в работе мы рассмотрели доказательства через равнодополняемость, через косинус угла, через подобные треугольники, доказательство Леонардо да Винчи, доказательство с помощью трапеции.

Приведем доказательство Леонардо да Винчи.

По свойствам симметрии, отрезок CI рассекает квадрат ABHJ на две равные части (∆ABC=∆JHI по построению). Так как то четырехугольники CAJI и GDAB равны. Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади квадрата, построенного на гипотенузе, плюс площадь исходного треугольника. Отсюда следует, что сумма площадей треугольников DAC и CBG равна половине площади квадрата. Значит сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе. Значит c² = a² + b². Что и требовалось доказать.

В работе я рассмотрела различные применения теоремы Пифагора и решила некоторые алгебраические и старинные задачи.

Одна из интересных задач на применение теоремы Пифагора: задача из китайской «Математики в девяти книгах»: «Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?».

Решение: 1. Пусть x чи глубина воды, тогда длина камыша (x + 1) чи.

(x + 1)² или x² + 5² (по теореме Пифагора). Составляем и решаем уравнение:

(x + 1)² = x² + 5², откуда x = 12 (чи) – глубина воды, 12 + 1 = 13 (чи) – длина камыша.

Познакомившись с жизнью Пифагора, мы выяснили, что эту теорему знали за много лет до него. Так, за 1500 лет до Пифагора древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, и пользовались этим свойством (т. е. теоремой, обратной теореме Пифагора) для построения прямых углов при планировке земельных участков и сооружений зданий. В самом древнем дошедшем до нас китайском математико-астрономическом сочинении «Чжоу-би», написанном примерно за 600 лет до Пифагора, среди других предложений, относящихся к прямоугольному треугольнику, содержится и теорема Пифагора.

Литература:

1.  Руденко, В. Н Геометрия [Текст] / , . – М. : Просвещение, 1994.– 200-201 с.

2.  Погорелов 7-9. – М.: Москва, «Просвещение», 1992. – 102 – 104 с.

3.  Погорелов 6-10. – М.: Москва, «Просвещение», 1981. – 70 – 72 с.

4.  Теорема_Пифагора http://ru. wikipedia. org/wiki/ Дата доступа 20.01.2010

5.  Глейзер, Г. О теореме Пифагора и способах её доказательства http://*****/2001/24/no24_01.htm. Дата доступа 20.01.2010

Тайны золотого сечения

, ,
Руководитель: И. В Клюкина.,
учитель высшей категории
МОУ лицей № 000

Часто возникает вопрос: Для чего в жизни нужны многие разделы математики и какими законами они обладают? «С точки зрения Платона, да и вообще с точки зрения всей античной космологии, – писал гениальный русский философ Алексей Лосев, – мир представляет собой некое пропорциональное целое, подчиняющееся закону гармонического деления - Золотого Сечения» [1].

Согласившись с этим утверждением, мы поставили целью выявить в нашем реферате «Тайны золотого сечения» сферу отражения этого понятия в различных областях жизни человека. Мы выяснили, что ещё древнеегипетские мастера использовали соотношения золотого деления при создании пирамид, храмов и барельефов, а во 2-й книге «Начал» Евклида даётся геометрическое построение золотого деления. В эпоху Возрождения интерес к золотому сечению среди учёных и художников усилился в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. В последующие века правила золотой пропорции превратилось в академический канон.

В ходе работы над рефератом мы выяснили, каким канонам золотого сечения подчиняются самые известные картины великих художников. Мы пришли к выводу, что картины и архитектурные сооружения, в основе построения которых лежит сочетание симметрии и золотого сечения, способствуют наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Проведя исследования по методу Фехнера, мы подтвердили этот факт. По принципу золотой пропорции происходит гармоничный рост частей тела человека.

Природа осуществляет деления на симметричные части и золотые пропорции. Наглядно это можно увидеть, например, на строении тела ящерицы (отношение длины её хвоста к длине остального тела), а также в расположении листьев на ветке. Проверку этого утверждения мы осуществили, проведя исследования закономерности золотой пропорции в растительном мире, на примере веток лимона, кофе, традесканция, инжира, жасмина.

	а - расстояние от основного стебля до первого листа	в - расстояние от первого листа до второго	с - расстояние от основного стебля до второго листа	с:а	а:в
Лимон	6,5	4	10,5	1,615	1,625
Кофе	5,6	3,4	9	1,603	1,647
Жасмин	12,5	8,1	20,6	1,648	1,543
Традесканций	7	4,1	11,1	1,58	1,707
Инжир	11	7	18	1,636	1,571

Проведённые исследования подтверждают тот факт, что в росте, завоевании пространства растения сохраняют определённые пропорции, а импульсы их роста уменьшаются в пропорции золотого сечения.

Золотое сечение приоткрывает нам завесу тайны, позволяющей понять, в соответствии с какими параметрами происходит развитие тела человека, животных и растений. Этим объясняется актуальность нашей работы. У золотого сечения ещё много тайн, которые, возможно, когда-нибудь откроются нам.

Литература

1.  Васютинский, пропорция [Текст] / . – М. : Молодая гвардия, 1990. – 238 с.

Оригами и три великие задачи древности

Руководитель: ,
учитель математики
МОУ гимназия №13

Темой данной исследовательской работы является древнее искусство складыванья из бумаги оригами и три великие задачи на построение, решить которые пытаются с древних времен. Это задачи о трисекции угла, удвоении куба и квадратуре круга. Выбор темы обусловлен тем, что, хотя доказано, что с помощью циркуля и линейки эти задачи не решаются [1], существуют другие интересные и нестандартные способы их решения, и один из них – метод плоского оригами.

Различные построения и фигуры оригами складываются, как правило, из квадратного листа бумаги. Таким образом, когда мы производим простейшее действие с листом бумаги – например, складываем его по вертикали или диагонали, мы уже решаем задачи на построение, выполнимые с помощью циркуля и линейки – строим перпендикуляр к прямой или биссектрису угла. [2] Но построения, которые требуются для решения трех великих задач древности, гораздо сложнее.

Итак, цель данной работы - рассмотреть 3 наиболее интересные древние задачи на построение, и, если возможно, решить их с помощью приемов оригами.

В данной работе приведено решение первых двух древних задач (в виде схем складыванья) и выведенные мной доказательства этих решений, а также объяснение, почему задачу о квадратуре круга невозможно решить с помощью методов плоского оригами. Кроме того, в работе рассмотрены основные правила, которые описывают геометрические построения с помощью плоского оригами, подобные построениям с помощью циркуля и линейки [3], а также приведены примеры использованья оригами в других науках и областях жизни человека ( например, техника жесткого оригами «миура-ори» используется для развёртывания установок солнечных батарей на космических спутниках[4]). В дальнейшем я собираюсь более подробно рассмотреть приемы жесткого оригами в стереометрии и их применение в современных технологиях.

Результаты, полученные в результате работы, позволяют сделать вывод, что оригами – это не просто развлечение, как ошибочно полагают многие, а целая наука, имеющая тесную связь с математикой. Оригами позволяет решать сложнейшие задачи на построение, а также развивает математический кругозор людей, занимающихся его изучением.

Литература

1.  Прасолов классические задачи на построение. М., Просвещение, 1990.

2.  http://geometry. *****

3.  Белозёров знаменитых задач древности. История и современная теория. М., Просвещение, 1997.

4.  http://ru. wikipedia. org

Роль нумерологии в современном мире

,
Руководитель
МОУ СОШ № 000

Знакомство с фрагментами истории математики при изучении основ предмета позволяет лучше понять роль математики в современном обществе. Одним из таких фрагментов является древнейшая наука о числах – нумерология. Я считаю, что эта тема актуальна на сегодняшний день, потому что в современном мире люди осознанно или не осознанно подчиняются нумерологии (нечётное число цветов в букете, сервиз на шесть или двенадцать персон, отражение числовой магии в суевериях: во многих странах нет самолётов с бортовым номером «13» и т. д.).

В основе нумерологии лежит следующий принцип: все многоразрядные числа могут быть сведены к числам от 1 до 9. За каждым однозначным числом закреплены определенные свойства, понятия и образы. Поскольку буквы алфавита могут иметь числовое выражение через свой порядковый номер, любые слова или имена подвергаются тем же нумерологическим операциям, что и числа [4]. Нумерология привлекала внимание известного математика и философа прошлого, Пифагора [5], методики которого составляют основу нумерологичеких расчетов. Несмотря на то, что нумерология является одной из древнейших наук, популярность она получила совсем недавно. Поэтому большинство исследователей относятся к ней с недоверием. Многие называют ее лженаукой или паранаукой.

Нумерологией занимается достаточно большое количество серьезных людей. С помощью новых методик расчетов, основанных на принципах Пифагора, рассчитываются важнейшие исторические периоды ведущих стран мира, определяются причины глобальных катастроф, делаются прогнозы. В сети Интернет открыто много сайтов, посвященных нумерологии. Блоги нумерологов содержат огромное количество комментариев, что еще раз подтверждает заинтересованность людей в этой науке. Таким образом, появилась необходимость определения роли нумерологии в современном мире. Для определения роли нумерологии я выбрал один из объектов современного мира – Екатеринбургскую телевизионную башню. Она привлекла мое внимание, так как находится в Ленинском районе г. Екатеринбурга, район, где я живу, и имеет загадочную историю. Мною были произведены нумерологические расчеты в 3 направлениях:

1. Значимое число. Значимым может быть любое число (или комбинация чисел), оказывающее влияние на исторические явления, человеческую жизнь или карьеру [2]. Оно получается путем сложения всех цифр даты и сведения полученного результата к числам от 1 до 9, 11, 22. Мною просчитаны все основные события (даты, имена, надписи), касающиеся башни – 6 выражений и 14 дат. Значимые числа получились 1 и 9.

2. Составление матриц Пифагора (для расчетов использовалась методика Пифагора) [3]. При анализе матриц, так как исследуемый объект не человек, при записи матрицы которого, каждая клетка, строка и ряд обозначают свою категорию (например, эмоциональное состояние, здоровье, семья и т. д.), проверили, какие цифры преобладают.

Екатеринбургская телебашня является №1 среди долгостроев. Это самое большое недостроенное здание в мире. Интересно так же и то, что впервые строительство было остановлено в 1991 году (зеркальное число, состоящее из девяток и единиц), в этом же году случился первый несчастный случай. Второй несчастный случай произошел 1 сентября 1997 года (1 число 9го месяца) [6].

3. Мною была составлена цепочка лет (начиная с даты основания телебашни), используя методику современных нумерологов [1]. Все звенья в цепочке оказались ведущими датами.

Анализ полученных данных показал, что значения чисел, сформулированные Пифагором еще в IV – V веках до нашей эры полностью соответствуют реальным событиям. Таким образом, я сделал вывод, что роль нумерологии в современном мире достаточно велика. Если точно производить не сложные математические расчеты, следуя методикам Пифагора, для жизненно-важных, ведущих дат и имен, то возможно получится избежать большинства неприятностей.

Литература

1.  Вронский, С. Нумерология, или наука о числах [Электронный ресурс] / «YAXY GROUP». – Электронные текстовые и графические данные. – Режим доступа : http: //numerology. *****. Проверено 18.10.2009. – Нумерология. – «YAXY GROUP».

2.  Значимое число [Электронный ресурс] / проект *****. – Электронные текстовые и графические данные. – Режим доступа : http://nummagic. info/num. Проверено 20.10.2009. – Магия чисел. – проект *****.

3.  Методика нумерологического расчета [Электронный ресурс] / блог автора Numerologger. – Электронные текстовые и графические данные. – Режим доступа : http://numpif. . Проверено 20.10.2009. – Что такое нумерология Пифагора и для чего она служит?. – блог автора Numerologger.

4.  О нумерологии [Электронный ресурс] / проект *****. – Электронные текстовые и графические данные. – Режим доступа : http://nummagic. info/num. Проверено 20.10.2009. – Магия чисел. – проект *****.

5.  Рыбников, математики в школе / . – 1 том. – М : Издательство московского университета, 1960. – 191 с.

6.  Телевизионная башня Екатеринбурга — строительство длиной в 22 года [Электронный ресурс] / ИАА «УралБизнесКонсалтинг». – Электронные текстовые и графические данные. – Екатеринбург : 2008 – Режим доступа : http://www. *****. Проверено 3.12.2009. – Спецпроект: Долгострои Екатеринбурга. – ИАА «УралБизнесКонсалтинг».

Проценты в современном мире

, А. Гасанова
Руководитель: ,
учитель математики первой категории
МОУ СОШ № 000

Проценты – одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Везде – в газетах, по радио и телевидению, в транспорте и на работе обсуждаются повышение цен, зарплат, пенсии, рост стоимости акций, снижение покупательской способности населения и тому подобное. Добавим сюда объявления банков, привлекающих деньги населения на различных условиях, об изменении процента банковского кредита и пр. Все это требует умение производить процентные расчеты [1].

Интерес к теме возник у нас на уроках математики, когда мы решали задачи на проценты.

При решении задач на проценты создается основа из следующих опорных задач: нахождение процента от числа; нахождение числа по его проценту; нахождение процентного отношения; простой процентный рост; сложный процентный рост. Мы решили 30 задач на проценты из разных областей жизни.

Приведем примеры решенных задач.

1.  Какая сумма будет на срочном счете вкладчика через 4 года, если банк начисляет 10% годовых и внесенная сумма равна 2000 рублей. Используем в решении формулу сложного процентного роста [3].

2.  Для нормальной работы пансионата требуется 600 электрических лампочек. Каждый месяц требуют замены 10% лампочек. Сколько лампочек надо купить, чтобы обеспечить нормальное освещение в пансионате в течение четырех месяцев? Используем формулу простого процентного роста [3].

3.  После уплаты всех налогов, которые в сумме составили 30% от дохода, предприниматель оставил себе на законном основании 35000руб. Какова была величина чистого дохода предпринимателя? Находим проценты от числа.

4.  Имеется центнер огурцов. Влажность этих огурцов составляет 99%. Полежав на складе, огурцы подсохли. Теперь их влажность, составляет 98%. Каким стал вес огурцов? [4]

После решения всех задач, провели анализ задач по способам решения. Результаты занесли в таблицу, из которой видно, что во всех решенных задачах существует основа из опорных задач.

Опорные задачи (ОЗ)	Частота использования (ОЗ)
1.Нахождение процента от числа. 2.Нахождение числа по его проценту 3.Нахождение процентного отношения двух чисел 4.Простой процентный рост 5.Сложный процентный рост	56,6% 16,7% 13,3% 3,3% 10,1%

Проведенное исследование позволяет сделать вывод, что задачи на проценты решаются с помощью опорных задач, поэтому важно при решении задач на проценты уметь вычленять эти опорные задачи.

Литература

1.  Энциклопедия юного математика.- М.: Просвещение, 19c.

2.  Профильное образование. Сборник элективных курсов. Математика 8-9 классы.- Волгоград: ИТД «Корифей», 2002.- 67с.

3.  Шевкин решению текстовых задач. М.: ТИД Русское слово – РС», 2001.- 96с.

4.  Галаева материалы по математике 7-8 классы.- Волгоград: ИТД «Корифей»,2006.- 34с.

Методы распознавания ритма музыкального произведения в реальном времени

Руководитель: ,
д. ф.-м. н., зав. отделом математического программирования ИММ УрО РАН
МОУ гимназия №5

Алгоритмы автоматического анализа ритма очень важны в компьютерной музыке, системах автоматического аккомпанирования и прочее. Целью нашего исследования являлась разработка и программная реализация алгоритма решения алгоритма, способного в реальном времени распознавать темп (и главную долю) исполняемого произведения по его ритмическому рисунку, а также способного адаптироваться к возможным флуктуациям темпа исполнения.

Большинство современных алгоритмов определения темпа музыкального произведения в реальном времени [2, 3] основаны на известной схеме Саймона Диксона [1], в рамках которой по результатам наблюдений заданной характеристики оцениваются вероятности событий вида «произведение исполняется в темпе Bpm» и в качестве приближения к реальному темпу выбирается наиболее вероятный. С математической точки зрения схема Диксона представляет собой пару взаимосвязанных алгоритмов анализа сигналов, первый из которых (назовем его главным или основным) реализует Байесов классификатор на множестве допустимых темпов, периодически вызывая второй алгоритм (назовем его вспомогательным) в качестве подпрограммы, для вычисления заданной характеристики музыкального сигнала и определения ритмического рисунка.

Мы реализовали 3 алгоритма выделения онсетов (под онсетом понимается момент времени, соответствующий началу звучания очередной ноты). Первые два вычисляют энергию звукового сигнала, получая на вход фрагмент исходного сигнала и занося его компоненты в циклические буферы. А вот третий алгоритм вычисляет энергию сигнала, преобразованного в частотную область с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье. Любой аудио сигнал может быть представлен в виде суммы элементарных гармонических сигналов, которые являются функциями синусов и косинусов. Преобразование Фурье определяет коэффициенты этого разложения. Чем больше график похож на функцию синуса, тем большее значение примет ордината на графике Преобразования Фурье.

В данной работе мы реализовали распределенное приложение, реализующее описанные выше алгоритмы выделения ритмического рисунка и определения темпа музыкального произведения по аудиоданным, получаемым в реальном времени с микрофона. Приложение реализует электронный метроном, автоматически (с заданной точностью) определяющий темп исполняемого произведения и синхронизирующий с ним свои сигналы.

Изученные алгоритмы, а также приложение, содержащее эти алгоритмы, реализованы на языке Java 2.0 с использованием библиотеки Java Media Framework, ориентированной на обработку медиа-данных.

Литература

1.  Simon Dixon. Beat induction and rhythm recognition // In Proc. Of the Australian joint conference on artificial intelligence. (1997), pp.311-320.

2.  M. Escobar. Beat Detection in Music Using Average Mutual Information", Music Engineering Technology. University of Miami. (2001)

3.  Masataka Goto. An Audio-based Real-time Beat Tracking System for Music With or Without Drum-sounds // Journal of New Music Research, Vol.30, No.2, pp.1, (2001).

Решение различных задач с применением красочной комбинаторики

Руководитель:
учитель высшей категории
МОУ Лицей № 000 им.

Комбинаторика играет большую роль в современной математике. Так чем же занимается комбинаторика? Комбинаторика занимается различного вида соединениями, которые можно образовать из элементов конечного множества. Термин "комбинаторика" стал употребляться после опубликования Лейбницем в 1665 г. работы "Рассуждение о комбинаторном искусстве", в которой впервые дано научное обоснование теории сочетаний и перестановок.

А вот с красочной комбинаторикой люди знакомятся сами еще в детстве, рисуя зеленое небо, оранжевое море, синюю маму. Но, перешагнув через рубеж красочного детского восприятия мира, математическая фантазия ввела палитру красок в условия задач, занятных, но при этом и серьезных – задач о комбинациях красок и раскрашивании карт. А в некоторых задачах оказалось возможным иное использование красок: раскрашивание – элемент решения, изюминка, придающая рассуждениям изящество и краткость.

Цель работы: изучение возможности решения различных задач с помощью красочной комбинаторики, систематизирование, классификация задач и анализ выводов.

В результате, в работе приведена классификация задач красочной комбинаторики: двухцветная комбинаторика, задачи с паркетом, задачи на заполнение тела, одно из возможных решений задач с фальшивыми монетами, «Четыре куба» – задачи о четырех цветных кубах, составляющие разноцветный параллелепипед, сделан вывод, что сложность задач не в зависит от количества цветов, использованных в задаче. Вот одна из задач, которые я решил с применением красочной комбинаторики.

Шесть точек расположены в пространстве так, что никакие три не лежат на одной прямой и никакие четыре не принадлжат одной плоскости. Все точки попарно соединены отрезками: синими или красными – по вашему усмотрению. В получившейся конфигурации, содержащей 15 отрезков (С26 = 15), есть и треугольники. Можно ли подобрать такое распределение красок для отрезков, при котором не образовалось бы ни одного одноцветного треугольника?

Решение. Выберем произвольно одну из данных шести точек и обозначим ее буквой А. Из пяти отрезков, сходящихся в А, есть не менее трех одного цвета, так как мы располагаем только двумя красками; отметим три из этих отрезков и будем считать для определенности, что они красные. Рассмотрим три отрезка, соединяющие пары других концов отмеченных отрезков. Ни один из рассматриваемых трех отрезков не должен оказаться красным, чтобы не возник треугольник, все стороны которого одного цвета. Но тогда три последних отрезка – все синие и неизбежно образуют одноцветный треугольник.

О различных способах решения задачи нахождения суммы внутренних острых углов пятиконечной звезды

Руководитель: ,
учитель математики высшей категории
МОУ Гимназия № 000

Многие из геометрических задач можно решить разными способами и методами. В нашем реферате мы исследовали хорошо всем известную пятиконечную звездочку (рис.1) и поставили себе задачу – найти сумму ее острых внутренних углов (то есть углов 1, 2, 3, 4, 5) несколькими способами.

Мы решили поставленную задачу 20 разными способами, которые были основаны на следующих геометрических фактах:

·  свойстве угла (если из вершины угла в его внутреннюю область провести луч, то градусная мера всего угла будет равна сумме градусных мер, получившихся углов), на свойствах вертикальных углов (вертикальные углы
равны);

·  свойствах параллельных прямых (при пересечении двух параллельных прямых секущей: накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, сумма односторонних углов равна 180°) и использовании формулы суммы внутренних углов треугольника (сумма внутренних углов треугольника
равна 180°);

·  свойстве внешнего угла треугольника (градусная мера внешнего угла равна сумме градусных мер углов не смежных с ним) и использовании формулы суммы внутренних углов треугольника;

·  свойствах вертикальных углов (вертикальные углы равны) и использовании формулы суммы внутренних углов треугольника;

·  формуле суммы углов выпуклого многоугольника (180⁰(n–2), где n – количество внутренних углов)

·  свойствах вписанного угла (вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается) и ключевых задачах (угол между двумя секущими, проведенными через точку, лежащую вне окружности, измеряется полуразностью дуг, заключенных внутри угла; угол между двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, измеряется полусуммой дуг, отсекаемых сторонами угла).

Анализируя найденные способы решения задачи о сумме острых углов пятиконечной звездочки, я сделала для себя следующие выводы: во-первых, если знаешь, что задача имеет несколько решений, то смелее берешься за неё, во-вторых, решая задачи разными способами, приобретаешь опыт, развиваешь математическое чутьё, в-третьих, поиск новых вариантов решений позволяет систематизировать свои знания по геометрии.

Как сохранить свой секрет в тайне?

М. Якимов Михаил
Руководитель:
учитель математики высшей категории
МОУ лицей № 000

Как только люди научились писать, у них сразу же появилось желание сделать написанное понятным не всем, а только узкому кругу. Даже в самых древних памятниках письменности ученые находят признаки намеренного искажения текстов: изменение знаков, нарушение порядка записи и т. д.