Тема: «Аналитическая геометрия»

Тема: «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

Прямая линия на плоскости.

Главная идея аналитической геометрии: Геометрические объекты описывать не циркулем и линейкой, а с помощью уравнений. (Революция 18 века)

Алгебра: Рассмотрим произвольное алгебраическое уравнение, содержащие две переменные величины: F(x, y) = 0 . Пр. 3х – 2у = 0 ; х2 – 4у = 0 . Решением такого уравнения наз. любая упорядоченная пара чисел (xi, yi ), которая обращает это уравнение в верное равенство. Число решений - бесконечное множество, т. к. в уравнении F(x, y) = 0 одну переменную можно назначить, а вторую переменную вычислить из уравнения.

Переход от алгебры к геометрии происходит в тот момент, когда паре чисел, образующих решение уравнения, сопоставляется точка на координатной плоскости. Бесконечному множеству решений уравнения F(x, y) = 0 соответствует бесконечное множество точек на координатной плоскости, которые сливаются в сплошные линии.

График уравнения с двумя переменными есть множество точек, координаты которых служат решениями этого уравнения.

Переход от геометрии к алгебре (обратная задача). Линии, с которыми мы встречаемся на практике, являются геометрическим местом точек, обладающих общим свойством. Пр. Окружность - это г. м.т. равноудаленных от центра.

Алгоритм построения уравнения, описывающего геометрическую линию.

1. Обозначим через M(x, y) произвольную точку линии.

2. Запишем равенством общее свойство всех точек линии.

3. Входящие в это равенство отрезки выразим через текущие координаты (x, y) точки M и другие параметры задачи.

Пр. Окружность.

1) 2) Общее свойство |OM| = R

3) = R

x2 + y2 = R2

Прямая линия.

Понятие прямой линии - первичное в геометрии. Свойства прямой определяются аксиомами геометрии. Геометрически построить линию можно разными способами :

  Задать две точки на плоскости.

  Задать одну точку M0(x0 ,y0 ) и направляющий вектор a

  Задать одну точку M0(x0 ,y0 ) и нормальный вектор n

  Задать одну точку и угол наклона к оси Ox.

Каждому из этих способов задания линии соответствует своя форма уравнения прямой.

№	Название	Вид уравнения	Дано
1	Каноническое уравнение прямой	(x – x0) / a1 = (y – y0) / a2	Точка M0(x0,y0) и направляющий вектор a = {a1 , a2}
2	Уравнение прямой проходящей через две точки	(x – x1) / (x2 – x1) = = (y – y1) / (y2 – y1)	Две точки M1(x1,y1) , M2(x2,y2)
3	Уравнение прямой в отрезках	x / a + y / b = 1	Две точки M1(a,0) , M2(0,b)
4	Общее уравнение прямой	Ax + By + C = 0 где C = - ( Ax0 + By0)	Точка M0(x0,y0) и нормальный вектор n = {A, B}
5	Уравнение прямой с угловым коэффи- циентом	y = k x + b	Угол пересечения оси Ох - Смещение по ординате - b k = tg = 21

Вывод уравнений.

Способ 2. Заданы точка M0(x0 ,y0 ) и направляющий вектор a = {a1,a2}.

1) Пусть M(x, y) – произвольная точка прямой. 2) Общее свойство : любой отрезок прямой, в том числе и вектор , коллинеарен вектору a , т. е. = а. 3) Переход к координатной форме этого условия

(x – x0) i + (y – y0) j = (a1 i + a2 j)

Из этих равенств следует каноническое уравнение прямой:

(x - x0 )/a1 = ( y - y0 ) /a

Способ 1. Задана две точки M1(x1,y1) и M2(x2,y2) на прямой.

Вектор может служить направляющим вектором = a = ={x2 – x1 , y2- y1} и тогда каноническое уравнение прямой переходит в

уравнение прямой проходящей через две точки

(x – x1) / (x2 – x1) = (y – y1) / (y2 – y1

Если заданы точки пересечения прямой с осями координат М1(a,0) и М2(0,b), то получаем уравнение прямой в отрезках

x/a + y/b =

Способ 3. Заданы точка M0(x0 ,y0 ) и нормальный вектор n = {A, B}.

1) Пусть M(x, y) – произвольная точка прямой. 2) Общее свойство : любой отрезок прямой, в том числе и вектор , перпендикулярен вектору n, т. е. n= 0 3) Переход к координатной форме этого условия

(A i + B j) [(x – x0) i + (y – y0) j ] = 0 дает уравнение прямой проходящей через точку с заданным нормальным вектором

A (x – x0) + B (y – y0) =

а выражение A x + B y + C = 0 , где C = - (A x0 + B y0

наз. общим уравнением прямой. Имея такое уравнение, можно сразу записать координаты нормального и направляющего векторов прямой: n ={A, B}, a ={1/A, -1/B}. Последнее равенство следует из сравнения записи общего и канонического уравнения.

Пр. Дано 3 x + 2 y + 4 = 0 , значит n = {3, -2} ; a = {1/3, -1/2}

Способ 4. Задана точка M0(x0 ,y0 ), а направляющий вектор a ={a1,a2}не определен.

В этом случае каноническое уравнение преобразуется в уравнение пучка прямых, проходящих через заданную точку.

y – y0 = (a2/a1) (x – x0) y – y0 = k (x – x0

где k = a2/a1 = tg - угловой коэффициент и - угол пересечения прямой с осью Ох. Если для прямой определено k и заданная точка лежит на оси Оу, т. е. M0(x0 ,y0) M0(0,b), то получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом.

y = k x + b ( 7 )

Итог: семь форм уравнения прямой линии получены.

При решении задач надо прежде всего определить каким геометрическим способом задана прямая и выбрать для неё соответствующую форму уравнения.

Точка и прямая.

Расстояние от прямой l : Ах + Ву + С = 0, до начала координат.

Выражение Ах + Ву есть результат скалярного произведения нормального вектора n = {A, B} и ={x, y} – радиус-вектора произвольной точки прямой М(x, y). Поэтому уравнение прямой запишем в виде n+ C = 0 (*). Пусть l, тогда | | n, и его направление определяет вектор единичной длины n/|n|. Вектор можно представить как произведение его модуля на единичный вектор = || n/|n| . Подставим его в уравнение (*) :

n || n/|n| + С = 0 || |n| = |C| или расстояние от начала координат до произвольной прямой равно

== ( 8 )

Расстояние от произвольной точки M0(x0 ,y0 ) до прямой Ах + Ву + С = 0 (l)

Проведем через М0 прямую l1 параллельную l и запишем для неё уравнение ( 4 )

Ах + Ву - (Ах0 + Ву0) = 0, т. е. C1 = - (Ах0 + Ву0). Расстояние от точки М0 до прямой l равно расстоянию между этими прямыми или разности расстояний от этих прямых до начала координат

d = | p - p1| = = ( 9 )

Взаимодействие прямых.

Имеем прямые l1 и l2 , заданные уравнениями

A1x1 + B1y1 + C1 = 0 или y = k1 x + b1

A2x2 + B2y2 + C2 = 0 y = k2 x + b2

Для определения координат точки пересечения линий достаточно решить эту систему уравнений.

Пусть - угол между l1 и l2 , а - угол между их нормальными векторами n1 и n2 , тогда cos = |cos| и вычисление сведется к вычислению угла между векторами n1 и n2

Cos = |n1n2| / |n1| |n2| = |A1A2 + B1B2| /k1 ( 10 )

В случае уравнений с угловыми коэффициентами имеем = 2 - 1

tg = tg (2 - 1) = (k2 - k1) / (1 + k2 k1) ( 11 )

Условие l1 | | l2 означает коллинеарность их нормальных векторов n1 = t n2

или A1 = t A2 , B1 = t B2 , т. е. коэффициенты уравнений | | линий пропорциональны

A1/ A2 = B1/ B2 или k2 = k1 ( 12 )

Условие l1l2 приводит к условию нормальных векторов n1 n2 = 0 , т. е.

A1A2 + B1B2 =

или tg = (1 + k2 k1) =0 k2 = - 1/k1 ( 14 )

Дробь обращается в бесконечность, если знаменатель стремится к 0 .

Уравнения плоскости в пространстве.

Для того чтобы однозначно определить положение плоскости в пространстве достаточно задать одну точку М0(x0,у0,z0) на плоскости и нормальный вектор N = {A, B,C}, перпендикулярный к этой плоскости, или задать три точки на плоскости.

Построим уравнение плоскости при произвольных М0 и N. 1) Пусть M(x, y,z) - произвольная точка плоскости. 2) Общее свойство: любой вектор, лежащий на плоскости, в том числе = {x–x0,y–y0,z–z0}, перпендикулярен нормальному вектору N, т. е. N = 0 3) В координатной форме это условие перпендикулярности приводит к уравнению плоскости, заданной точкой и нормальным вектором

A(x – x0) + B(y - y0) + C(z - z0) =

Общее уравнение плоскости имеет вид :

Ax + By + Cz + D =

где коэффициенты A, B,C являются координатами нормального вектора плоскости N и D = - (Ax0 + By0 + Cz0)

Частные случаи общего уравнения плоскости:

1) при А = 0 плоскость By + Cz + D = 0 параллельна оси Ох

2) при B = 0 плоскость Ax + Cz + D = 0 параллельна оси Оy

3) при А = B = 0 плоскость Cz + D = 0 параллельна плоскости хОу

и т. д.

Даны три точки М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2), М3(x3,y3,z3). Построим уравнение плоскости p , проходящей через эти точки. 1) Пусть M(x, y,z) - произвольная точка плоскости. 2) Общее свойство: любые вектора, лежащий в плоскости, в том числе = {x – x1, y – y1, z – z1}, = {x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1}, = {x3 – x1, y3 – y1, z3 – z1}, коллинеарны. 3) Условие коллинеарности трех векторов - их смешанное произведение равно нулю, и дает уравнение плоскости по трем заданным точкам

=

Если в качестве трех точек взять точки пересечения плоскости с осями координат (a,0,0) , (0,b,0) , (0,0,c) , то получим уравнение плоскости в отрезках

x/a + y/b + z/c =

Угол между двумя плоскостями p1 и p2 , заданными уравнениями

A1x + B1y + C1z + D1 = 0 , N1 = {A1, B1, C1}

A2x + B2y + C2z + D2 = 0, N2 = {A2, B2, C2} (19)

равен углу между их нормальными векторами N1 , N2

cos = (N1 N2)/ N1 N2 = (A1A2 + B1B2 + C1C2 )/ N1N2 (6)

Условие параллельности двух плоскостей. Если p1 | | p2 , то N1 | | N2 и N1 x N2 = 0

Отсюда следует, что соответствующие координаты векторов пропорциональны

A1/ A2 = B1/ B2 = C1/ C

Условие перпендикулярности плоскостей. Если p1p2 , то N1N2 и N1 N2= 0 или

A1A2 + B1B2 + C1C2 =

Расстояние от точки K(xk,yk,zk) до плоскости A(x – x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 равно проекции вектора = {xk – x0,yk – y0,zk – z0} на N = {A, B,C}

d = || cos = |N| || cos / |N| = | N| / |N| или

d = | Axk + Byk + Czk + D | / | N | ( 22 )

где D = - (Ax0 + By0 + Cz0 )

Прямая в пространстве

Каноническое уравнение прямой. Заданы точка М0(x0,у0,z0) на прямой и ее направляющий вектор S = {m, n,p}. 1) Пусть М(x, y,z) - произвольная точка линии. 2) Общее свойство: любой отрезок прямой, в том числе вектор , коллинеарен вектору S, т. е. = S. 3) В координат-ной форме это условие дает три равенства

x - xo = m, y - yo = n, z - zo = p ( 23 )

которые наз. параметрическим уравнением прямой. Исключим параметр в ( 23 ) и получим систему из двух канонических уравнений прямой в пространстве

(x - xo )/m = (y - yo )/n = (z - zo )/p ( 24 )

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2). Вектор = {x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1}= S в данном случае является направляющим и уравнения ( 24 ) принимают вид

(x - x1 )/(x2- x1) = (y - y1 )/(y2 – y1) = (z - z1 )/(z2 – z1

Общее уравнение прямой. Прямую в пространстве можно определять также как линию пересечения двух не параллельных плоскостей.

A1x + B1y + C1z + D1 = 0 N1 = {A1, B1, C1}

A2x + B2y + C2z + D2 = 0 N2 = {A2, B2, C2} (26 )

Линия пересечения l перпендикулярна векторам N1 и N2 , поэтому, согласно определения, векторное произведение N1xN2 будет коллинеарно направляющему вектору S линии l и его можно представить в виде

S = N1 x N2 = = {m, n,p} ( 26 )

Для полного перехода от общего уравнения прямой ( 26 ) к каноническому уравнению ( 24 ) достаточно дополнительно найти координаты некоторой точки линии - М0(x0,у0,z0). Для этого в уравнениях ( 26 ) одну из координат приравняем к нулю, а остальные вычислим, решив систему двух уравнений для двух неизвестных.

Пример 1. Найти уравнения двух прямых, проходящих через точку М0(1; 4), если одна перпендикулярна, а другая параллельна прямой l: x – 2y + 4 = 0.

Сделаем чертеж. Из общего уравнения прямой Ax + By + C = 0 сразу определяются нормальный вектор n = {A; B}, направляющий вектор a = {1/A; –1/B} и угловой коэффициент
.

В нашем случае x – 2y + 4 = 0 n = {1; –2}, a = {1; 1/2}, k = ½.

Решение 1. Дано l1 || l, тогда и n1 || n. Вектора коллинеарны и могут отличаться только длиной. Пусть n1 = n = {1; –2}. Тогда l1 задают точка М0(1; 4), вектор n1 и уравнение прямой с этими параметрами A(x – x0) +
+ B(y – y0) = 0, т. е. 1(х – 1) – 2(у – 4) = 0 или l1: x – 2y + 7 = 0.

Дано l2 l, тогда а2 || n. Пусть а2 = n = {1; –2}. Тогда l2 задают точка М0(1; 4), вектор а2 и каноническое уравнение прямой , т. е. или l2: x + ½ y – 3 = 0 n2 = {1; ½}, а2 = {1; –2}, k = –2.

Решение 2. Дано l1 || l, тогда имеем k1 = k = ½ и точку М0(1; 4). Используем уравнение пучка прямых y – y0 = k(x – x0), т. е. y – 4 = ½ (x – 1) или l1: ½ х – у + 7/2 x – 2y + 7 = 0 n = {1; –2}, a = {1; 1/2}, k = ½.

Дано l2 l, тогда имеем k2 = –1/k = –2 и точку М0(1; 4). Используем уравнение пучка прямых y – y0 = k(x – x0), т. е. y – 4 = –2(x – 1) или
l2: 2х + у + 6 = 0 n2 = {2; 1}, а2 = {½; –1}, k = –2.

Пример 2. Составить уравнение прямой l, проходящей через точку М1(6; 4) и точку пересечения прямых х + у – 3 = 0, х – 2у – 6 = 0.

Решение. Сделаем чертеж. Координаты точки пересечения дает решение системы уравнений т. п. М2(4; –1). Имеем координаты двух точек и уравнение прямой проходящей через две точки . В нашем случае 5х – 2у – 20 = 0.

Пример 3. Найти расстояние между прямыми l1: 3x – y + 2 = 0,
l2: 6x – 2y – 7 = 0.

Решение. Сделаем чертеж. Выберем произвольную точку на l1. Пусть x = 0, тогда у = 2 или М0(0; 2). Расстояние от М0(х0; у0) до прямой
Ax + By + C = 0 определяет формула
d = , т. е. d = = .

Пример 4. Даны вершины DABC: A(2; 1), B(–1; –1), C(3; 2). Составить уравнение высоты AM.

Решение. Сделаем чертеж. Уравнение прямой, проходящей через две точки B и C имеет вид или l1: 3x – 4y – 1 = = 0, т. е. n = {3; –4},
a = {1/3; 1/4}, k = –А/В = ¾. Прямая АМ – l2 l1, следовательно, k2 = –1/k1 = –4/3. Используем уравнение пучка прямых y – y0 = k(x – x0), т. к. k2 и A(2; 1) известны: y – 1 = –4/3(x – 2) или 4x + 3y – 11 = 0 n = {4; 3}, a = {1/4; 1/3}.

Пр. Перейти от общего уравнения прямой X - Y - 2 = 0 N1 = {1; -1; 0}

к каноническому уравнению. X + Y + Z - 3 = 0 N2 = {1; 1; 1 }

Решение: Координаты N1 и N2 не пропорциональны друг другу, следовательно, векторы не коллинеарны, плоскости пересекаются, линия пересечения имеется.

S = = - i - j + 2k = {-1; -1; 2} Пусть в системе уравнений Z = 0 , тогда

система упростится : X - Y = 2 ; X + Y = 3 и даст решение : Х = 2,5 , У = 0,5

В результате имеем S = {-1; -1; 2} , M0(2.5 , 0.5 , 0) и каноническое уравнение ( 24 ) примет вид (X - 2.5)/ (-1) = (Y - 0.5)/ (-1) = (Z - 0)/ 2

Угол между двумя прямыми l1 и l2 равен углу между их направляющими векторами

S1 и S2 : cos = S1 S2 / |S1| |S2| ( 27 )

Условие прямых l1 и l2 : S1 S2 = 0 или m1m2 + n1n2 + p1p2 =

Условие | | прямых l1 и l2 : S1 x S2 = 0 или m1/m2 = n1/n2 = p1/p

Угол между прямой и плоскостью. Углом между прямой l и плоскостью p наз. любой из двух смежных углов образованных между l и ее проекцией на плоскость p

Дано S = {m, n,p}, N = {A , B, C }, тогда

sin = | cos (N^S) | = | N S |/ N S ( 30 )

Условие l p : S | | N S x N = 0 A/m = B/n = C/p ( 31 )

Условие l | | p : S N S N = 0 Am + Bn + Cp =

Точка пересечения прямой с плоскостью. Даны общее уравнение плоскости и каноническое уравнение прямой. Найти координаты точки пересечения.

A x + B y + C z + D = 0; (x - xo )/m = (y - yo )/n = (z - zo )/p

Решение. Уравнения прямой представим в параметрическом виде ( 23 )

x = t m + xo, y = t n + yo, z = t p + zo ( 33 )

и координаты ( 33 ) подставим в уравнении плоскости

A(t m + xo)+ B(t n + yo) + C(t p + zo) + D = 0

Решим это уравнение относительно параметра t

tп = - (Axo + Byo + Czo + D)/ (Am + Bn + Cp)

полученное значение tп есть параметр точки пересечения l и p и уравнения (33) с этим параметром определят уже координаты точки пересечения прямой и плоскости.

Пр. Найти точку пересечения прямой (x -1)/2 = (y -2)/3 = z/4 S={2,3,4}, M0(1,2,0) и плоскости x - 2y +3z + 5 = 0 N ={1,-2,3}.

Решение: Параметрические уравнения прямой : x = 2t + 1 , y = 3t + 2 , z = 4t,

подставим в уравнение плоскости (2t +t + 2) + 3 (4t) + 5 = 0

и получим tп = -1/4. Заменив в параметрических уравнениях параметр t на -1/4 находим координаты точки пересечения прямой и плоскости (0.5 , 5/4 , -1)

Две прямые описывают 4 уравнения ( 26 ) для 3 неизвестных. Выделим из них 3 уравнения и решим систему. Результат - (x0, y0, z0) подставим в 4 уравнение. Если оно удовлетворяется, то линии пересекаются и полученные координаты определяют точку пересечения. Если нет – линии не пересекаются.

Кривые второго порядка

Уравнения второго порядка от двух переменных Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 описывают конические сечения или кривые второго порядка на плоскости - окружность, эллипс, параболу, гиперболу. Построим канонические уравнения этих кривых по алгоритму

Окружность – это геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки, называемой центром.

1) 2) Общее свойство точек окружности |CM| = R.

3) Переход к координатной форме общего свойства

= R, (x – a)2 + (y – b)2 = R2 (34)

Эллипс

Эллипс образуют точки плоскости, для каждой из которых сумма расстояний от двух данных точек постоянна и больше расстояния между этими точками.

Данные точки - фокусы, расстояние между ними - фокальные расстояния.

1) Общее свойство: |F1M| + |F2M| = 2a

2) Переход к координатам

+ = 2a

= 2a - = a - (c/a) x [(a2 – c2)/a2] x2 + y2 = a2 - c2 , пусть a2 - c2 b2 , тогда получаем каноническое уравнение эллипса

x2/ a2 + y2/ b2 = 1 ( 35 )

Точки А(а,0), С(-а,0), В(0,b), D(0,-b) - вершины эллипса, АС - большая ось, ВD - малая ось, а, в - полуоси. Отношение с/а = - эксцентриситет (0 <<1) определяет переход окружности в прямую линию. Оси координат являются осями симметрии эллипса, а их начало – центром симметрии. Координата фокуса c = .

Параметрическое уравнение эллипса: x = a cos t, y = b sin t, 0 < t < 2

Пример: Наименьшее расстояние Земли от Солнца 147,5 млн. км, наибольшее - 152,5 млн. км. Найти большую полуось и эксцентриситет эллиптической орбиты Земли.

Решение: max = a + c, min = a – c a = 150 млн. км. , с = 2,5 млн. км.

b = = 149.98 млн. км. = c/a = 0.017 , a – b = 20 т. км.

Пример: Дано: расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось рана 3 . Написать уравнение эллипса.

Решение: т. к. 2с = 8 и b = 3, то c = 4, a == 5, = c/a = 0.8, x2/25 + y2/9 = 1

Гипербола

Гиперболу образуют точки плоскости для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек плоскости постоянен и меньше расстояния между этими точками.

Данные точки - фокусы, а расстояние между ними - фокальное расстояние.

1) Общее свойство точек |F1M| - |F2M| = 2a

2) Переход к координатам дает каноническое

уравнение гиперболы

x2/ a2 - y2/ b2 = 1 ( 35 )

Гипербола имеет две ветви. Точки пересечения гиперболы с осью Ох наз. вершинами гиперболы. А(а,0) и В(-а,0). Отрезок АВ - действительная ось гиперболы. Число а - действительная полуось гиперболы, в - мнимая полуось. Прямые с уравнениями y = b/a х и y = - b/a х наз. асимптотами гиперболы. При х ветви гиперболы вплотную проходят вдоль этих прямых.

Оси координат являются осями симметрии гиперболы, а их начало – центром симметрии. Координата фокуса c = . Форму гиперболы характеризует эксцентриситет с/а = > 1. Чем меньше, тем меньше угол между асимптотами, сжимающими ветвь гиперболы.

Алгоритм построения графика гиперболы.

1.Через концы осей провести прямые || осям координат.

2. Провести диагонали прямоугольника и их продолжение.

3.От концов действительной оси в сторону асимптот

провести сами кривые.

Пример: Даны: вещественная полуось a =2 и эксцентриситет = . Написать уравнение гиперболы.

Решение : т. к. с = a , то b = = a = 2 и x2/20 - y2/4 = 1

Парабола

Параболу образуют точки плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки равно расстоянию до данной прямой, не проходящей через данную точку.

Данная точка наз. фокусом параболы, а данная прямая наз. директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы наз. фокальным параметром и обозначается p.

Уравнение директрисы x = - p/2 .

1) Общее свойство точек | MF | = | MN |

2) Переход к координатам

= x + p/2 y2 = 2p x

Каноническое уравнение параболы имеет два вида:

y2 = 2p x - симметрия относительно (36а)

оси

x2 = 2py - симметрия относительно (36b)

оси

Преобразование координат на плоскости.

Параллельный перенос системы координат. Имеем прямоугольную систему координат хОу с центром в точке О(0,0) Через некоторую точку O*(a, b) проведем новые оси координат параллельные Ох, Оу, сохранив направление и масштаб. Координаты произвольной точки М(х, у) в новой системе координат x*O*y* примут значения

x* = x - a или x = x* + a ( 37 )

y* = y - b y = y* + b,

т. е. параллельный перенос системы координат приводит к линейным преобразованиям координат.

Поворот системы координат Систему координат хОу с ортами i, j повернем на угол относительно начала координат и введем новые орты i* , j* . Выразим старые орты через новые

i = cos i* - sin j*

j = sin i* + cos j*

Радиус вектор произвольной точки М(x, y) разложим по ортам i, j и перейдем от них к ортам i* , j*

= {x, y} = x i + y j = x (cos i* - sin j*) + y (sin i* + cos j*) =

= (x cos + y sin ) i* + (- x sin + y cos ) j* = {x* ,y* }

В результате получаем следующую формулу преобразования координат при повороте осей на угол

x* = x cos + y sin ( 38 )

y* = - x sin + y cos

Все возможные преобразования системы координат на плоскости сводятся к параллельному переносу и повороту осей координат.

Общее уравнение кривых второго порядка.

Общее уравнение кривой второго порядка на плоскости имеет вид

A x2 + 2B x y + C y2 + 2D x + 2E y + F =

где A2 + B2 + C2 0, ( A, B, C, D, E, F) R. Оно определяет все возможные конические сечения произвольным образом расположенные на плоскости. Из коэффициентов уравнения ( 39 ) составим два определителя

= , = ( 40 )

- наз. дискриминантом уравнения ( 39 ), а - дискриминантом старших членов уравнения. При 0 уравнение ( 39 ) определяет: > 0 - эллипс ; < 0 - гиперболу ; = 0 - параболу. В случае = 0 кривые вырождаются в точку или прямые линии.

От общего уравнения ( 39 ) можно перейти к каноническому уравнению, если исключить линейные и перекрестный члены путем перехода в новую систему координат, совпадающую с осями симметрии фигуры. Заменим в ( 39 ) x на x* + a и y на y* + b , где a, b некоторые константы. Выпишем полученные коэффициенты при х* и y* и приравняем их к 0

(Aa + Bb + D) x* = 0 , (Cb + Ba + E) y* =

В результате уравнение ( 39 ) примет вид

A (x*)2 + 2B (x*)(y*) + C (y*)2 + F* =

где коэффициенты А, B,C не изменились, а F* = /. Решение системы уравнений ( 41 ) определит координаты центра симметрии фигуры

= (BE – DC)/ , = (BD – EA)/ ( 43 )

Если B = 0, то a = - D/A, b = - E/C и исключать линейные члены в ( 39 ) удобно методом приведения к полному квадрату :

Ax2 + 2Dx = A(x2 + 2 x D/A + (D/A)2 - (D/A)2 ) = A(x + D/A)2 – D2/A.

В уравнении ( 42 ) совершим преобразование координат (Выпишем полученный коэффициент при перекрестном члене x*y* и приравняем его к 0

[sin2 (A–C) + 2 cos2 B]x*y* =

Условие ( 44 ) определяет необходимый угол поворота осей координат до их совпадения с осями симметрии фигуры и принимает вид

tg 2 = 2B / (С - А

Уравнение ( 42 ) теперь принимает форму A+ X2 + C+ Y2 + F* =

От которой легко перейти к каноническому уравнению кривой

( 47 )

Коэффициенты A+, C+, при условии ( 45 ), можно представить как корни вспомогательного квадратного уравнения

t2 - (A + C) t + =

В результате определены положение и направление осей симметрии фигуры, ее полуоси

a2 = || , b2 = ||

и она может быть построена геометрически.

В случае = 0 имеем параболу. Если её ось симметрии | | оси Ох, то уравнение сводится к виду ( 49 )

если нет, то к виду ( 50 )

где выражения в скобках, приравненные к 0, определяют. линии новых осей координат

,

Пр. Найти центры и привести к каноническому виду и построить кривые :

1) 2 x2 + 3 y2 - 4x + 6y - 7 = 0 ; 2) 2 x y = a2

Решение Пр. 1. B = 0, = -72 0 , = 6 > 0 - эллипс

Выполним приведение к полному квадрату: 2 (x - 1)2 + 3 (y + = 0

Координаты центра симметрии ( 1; - 1), линейное преобразование X = x - 1, Y = y + 1 приводит уравнение к каноническому виду X2 /6 + Y2 /4 = 1 , где a = 2.48 ,b = 2

Решение Пр.2 B = 1, = a20 , = - 1 < 0 - гипербола

Центр системы координат находится в центре симметрии кривой, т. к. в уравнении нет линейных членов. Совершим поворот осей на угол .. По формуле ( 45 ) имеем tg 2 = B/(A - C) = , т. е. = 450. Коэффициенты канонического уравнения ( 46 ) A+ , C+ определяются уравнением ( 48 ) : t2 = 1 или t1,2 = 1 A+ = 1, C+ = -1, т. е. X2 - Y2 = a2 или X2 / a2 - Y2 / a2 = 1

Уравнение 2х у = а2 описывает гиперболу с центром в (0;0) Оси симметрии располагаются по биссектрисам координатных углов, асимптотами служат оси координат, полуоси гиперболы равны а.

Пример: Привести уравнение 2x2 + 3y2 – 4x + 6y – 7 = 0 к каноническому виду и построить кривую.

Решение. B = 0, = –72 0, = 6 > 0 эллипс.

Выполним приведение к полному квадрату:

2(x – 1)2 + 3(y + 1)2 – 12 = 0.

Координаты центра симметрии (1; –1), линейное преобразование X = x – 1, Y = y + 1 приводит уравнение к каноническому виду .

Пример: Привести уравнение 2xy = a2 к каноническому виду и построить кривую.

Решение. B = 1, = a2 0, = –1 < 0 гипербола.

Центр системы координат находится в центре симметрии кривой, т. к. в уравнении нет линейных членов. Совершим поворот осей на угол a. По формуле (45) имеем tg2a = B/(A – C) = , т. е. a = 45°. Коэффициенты канонического уравнения (46) A+, C+ определяются уравнением (48): t2 = 1 или t1,2 = 1 A+ = 1, C+ = –1, т. е.
X2 – Y2 = a2 или . Таким образом, уравнение 2ху = а2 описывает гиперболу с центром симметрии в (0; 0). Оси симметрии располагаются по биссектрисам координатных углов, асимптотами служат оси координат, полуоси гиперболы равны а.

Пример: Привести уравнение x2 + 6х + y + 10 = 0 к каноническому виду и построить кривую.

Решение. B = 0, = –¼ 0, = 0 парабола.

Выполним приведение к полному квадрату:

(x + 3)2 = –(y + 1).

Координаты центра симметрии (–3; –1), линейное преобразование
X = x + 3, Y = y + 1 приводит уравнение к каноническому виду X2 = –Y, где фокальный параметр р = 1/2.