Геометрические иллюзии «Не верь глазам своим…»

Государственное бюджетное общеобразовательное

учреждение средняя общеобразовательная школа № 000

Московского района Санкт - Петербурга

Исследовательская работа по математике

Геометрические иллюзии «Не верь глазам своим…»

Номинация: информационно - математическая

Выполнили:

Копач Анна

Момзина Валерия

ученицы 9 класса

ГБОУ СОШ № 000

Московского района

Руководитель:

учитель математики,

информатики

Санкт-Петербург

2013г

Оглавление

I. Введение 3

II. Основная часть

2.1. Иллюзии зрительного восприятия. 5

2.2. Оптико-геометрические иллюзии. 6

2.3. Нарушение перспективы 7

2.4. Явление иррадиации. 9

2.5. Иллюзии переработки информации. 10

2.6. Переоценка вертикальных линий. 13

2.7. Использование зрительных иллюзий в жизни человека 14

III. Исследовательская часть 20

IV. Заключение. 31

V. Список используемой литературы. 32

Приложение

Введение.

На уроках геометрии мы часто сталкиваемся с такой проблемой: рассматривая свойства геометрических фигур, некоторые ученики иногда опираются лишь на чертеж, на свое зрительное восприятие. Но такой подход к решению задачи часто приводит к ошибочным выводам, а значит к неверному решению. Мы привыкли доверять собственному зрению, однако оно нередко обманывает нас, показывая то, чего в действительности не существует. В такие моменты мы сталкиваемся со зрительными иллюзиями - ошибками зрительного восприятия. Ученые и художники создали немало обманчивых картинок, наглядно демонстрирующих, сколь ограничены возможности человеческого глаза.

Человеческое зрение имеет сложную природу, и в силу своей природы иногда дает ложное представление о том, что человек видит на самом деле. Насколько часто интуитивные соображения подводят нас, мы убедимся сегодня при рассмотрении некоторых оптико-геометрических иллюзий.

Рассмотрим несколько примеров. Первый отображает иллюзию объема на плоском асфальте.

На втором, представлена картинка, на которой предметы расположенные ближе к нам кажутся меньше, чем те, что дальше от нас, на самом же деле они совершенно одинаковы.

На третьем рисунке легко может показаться, что изображена спираль, но это опять всего лишь иллюзия – изображены окружности! (см. приложение 1)

Почему так происходит? Почему один и тот же предмет, видимый невооруженным глазом, вблизи кажется крупнее, чем когда мы смотрим на него издалека? Почему, чтобы разглядеть детали висящей на стене картины, мы подходим к ней ближе? Почему "убегающие" вдаль параллельные рельсы кажутся пересекающимися в воображаемой точке? Ответы на эти и другие "почему" мы постарались найти в нашей работе. Поэтому объектом нашего исследования являются зрительные иллюзии, а предметом – изучение причин иллюзий.

Цель работы:

Ø  объяснить причины возникновения зрительных иллюзий с точки зрения геометрии

Гипотеза. Зрительные иллюзии можно объяснить с помощью законов геометрии.

Задачи исследования:

Ø  изучить теоретический материал по данному вопросу;

Ø  рассмотреть примеры использования геометрических иллюзий.

Ø  провести исследования, связанные с геометрическими и зрительными иллюзиями, объяснить и доказать их с точки зрения геометрии.

Ø  разработать рекомендации по использованию иллюзий в современной жизни.

II. Основная часть

Глядя на мир, нельзя не удивляться.

К. Прутков.

2.1. Иллюзии зрительного восприятия

Слово «иллюзия» происходит от латинского illusere – обманывать. Оптико-геометрические иллюзии - зрительные иллюзии, за счет которых происходит искажение пространственных соотношений признаков воспринимаемых объектов.

Мы воспринимаем окружающее нас как данность: солнечный луч, играющий бликами на поверхности воды, переливы красок осеннего леса, улыбку ребенка... Мы не сомневаемся, что реальный мир именно таков, каким мы его видим. Но так ли это на самом деле? Почему иногда зрение нас подводит? Как мозг человека интерпретирует воспринимаемые объекты? Ответы на эти и многие другие вопросы мы попытаемся раскрыть в нашей работе.

Иллюзорен ли видимый мир? Человек воспринимает большую часть информации об окружающем мире благодаря зрению, но мало кто задумывается о том, как именно это происходит. Чаще всего глаз считают похожим на фотоаппарат или телекамеру, проецирующую внешние объекты на сетчатку, которая является светочувствительной поверхностью. Мозг "смотрит" на эту картинку и "видит" все, что нас окружает. Однако не все так просто.

Во-первых, изображение на сетчатке перевернуто.

Во-вторых, из-за несовершенных оптических свойств глаза картинка на сетчатке расфокусирована или размазана.

В-третьих, глаз совершает постоянные движения, то есть, изображение находится в постоянной динамике.

В-четвертых, глаз моргает приблизительно 15 раз в минуту, а это значит, что изображение через каждые 5-6 секунд перестает проецироваться на сетчатку.

Так что же "видит" мозг?

Поскольку человек обладает бинокулярным зрением, то фактически он видит два размытых, дергающихся и периодически исчезающих изображения, а значит, возникает проблема совмещения информации, поступающей через правый и левый глаз.

Следует отметить еще один парадокс нашего зрения. Представьте себе инженера, перед которым поставлена задача, создать прибор, отображающий световую информацию о внешнем мире. Как бы он расположил светочувствительные элементы? Скорее всего, они были бы ориентированы по направлению к падающему свету. Инженер по имени "Природа" ориентировал наши светочувствительные элементы - палочки и колбочки сетчатки - не "лицом", а "спиной" к падающему свету. Зачем? Таких вопросов возникает достаточно много при анализе исследований зрительного восприятия. Существует много научных направлений, которые, используя различные экспериментальные методики, пытаются понять, каким образом мы воспринимаем окружающий мир. Один из самых интересных способов изучения - исследование зрительных иллюзий.

2.2. Оптико-геометрические иллюзии.

Изучением причин возникновения иллюзий занимались многие исследователи. Основной вопрос, интересующий не только психологов, но и художников, - как на основе двухмерного изображения, на сетчатке воссоздается трехмерный видимый мир.

Возможно, зрительная система использует определенные признаки глубины и удаленности, например, принцип перспективы, предполагающий, что все параллельные линии сходятся на уровне горизонта, а размеры объекта по мере его удаления от наблюдателя пропорционально уменьшаются.

Иллюзии искажения восприятия размера.

Одна из самых известных оптико-геометрических иллюзий - иллюзия Мюллера-Лайера.

Иллюзия Мюллера-Лайера в повседневной жизни

Нас окружает множество прямоугольных предметов: комнаты, окна, дома, типичные очертания которых можно видеть на рисунке. Поэтому изображение, на котором линии расходятся, можно воспринимать как угол здания, расположенный дальше от наблюдателя, в то время как рисунок, на котором линии сходятся, воспринимается как угол здания, расположенный ближе.

2.3. Нарушение перспективы

Мы часто видим сходящиеся вдали параллельные линии (полотно железной дороги, шоссе и т. п.). Это явление называется перспективой. Чтобы изобразить на рисунке некоторую часть пространства, заполненную предметами, так, чтобы рисунок производил впечатление действительности, необходимо уметь пользоваться законами перспективы. Все линии на этом рисунке, идущие в действительности параллельно поверхности, должны быть изображены сходящимися в некоторой точке горизонта, называемой “точкой схода”. Линии же, идущие под разными углами, должны сходится по ту или другую сторону “точки схода” тем дальше от нее, чем под большим углом к линии прямого зрения они проходят. Из этих точек особенно замечательной является точка, где сходятся линии, идущие под углом 45 градусов к линии прямого зрения; эта точка называется “точкой отдаления”. Она замечательна тем, что если напротив неё поместить глаз на расстоянии равном расстоянию от “точки схода” до “точки отдаления”, то рисунок производит впечатление объемности. Перспективное восприятие пространства, выработанное многовековой эволюцией зрения, человек переносит и на рассматриваемые им картины и фотографии, на которых изображены равноудаленные предметы. На рисунке коридор кажется объемным именно благодаря перспективе: коридор на нем уходит вглубь, а пол состоит из прямоугольников.

Иллюзия перспективы. Было предложено множество теорий, объясняющих подобные искажения. Одна из наиболее интересных гипотез предполагает, что человек интерпретирует обе картинки как плоские изображения в перспективе. Схождение косых лучей в одной точке создают признаки перспективы, и человеку кажется, что отрезки расположены на разной глубине относительно наблюдателя.

Учитывая эти признаки, а также одинаковую проекцию отрезков на сетчатке, зрительная система вынуждена сделать вывод, что они разного размера. Те фрагменты рисунка, которые кажутся более удаленными, воспринимаются большими по размеру.

Примером того, как можно разрушить целостный образ объекта, служат так называемые "невозможные", противоречивые фигуры, картины с нарушенной перспективой.

"Невозможная" лестница Пенроуза. Посмотрите на рисунок и ответьте на вопрос: движется ли человек вверх?

Каждый отдельный пролет лестницы говорит нам о том, что человек поднимается вверх, однако, пройдя четыре пролета, он оказывается в том же месте, с которого начал свой путь. "Невозможная" лестница не воспринимается как единое целое, поскольку нет согласованности между отдельными ее фрагментами. Раз за разом мы следуем взором за ступеньками, ведущими вверх, пытаясь найти способ решения этой проблемы, и не находим его.

Интересные зрительные иллюзии имеют место при условиях видимого нами рельефа или глубины рисунка. Возникновение этих иллюзий связано со способностью глаза видеть предметы на разных расстояниях, со способностью воспринимать пространство по яркости предметов, по их теням и по числу промежуточных объектов. С другой стороны, эти иллюзии возникают и в процессе осмысливания видимого. Мозг, воспринимая предмет, искажает видимое нами рельефное изображение.

Примером тому служит приводимый рисунок: куб то кажется видимым сверху, то сбоку; раскрытая книга то кажется изображенной корешком к нам, то корешком от нас. Это происходит как по нашему желанию, так и непроизвольно и иногда даже наперекор нашему желанию.

2.4 Явление иррадиации

Какой из внутренних квадратов больше? Черный или белый?

Явление иррадиации состоит в том, что светлые предметы на темном фоне кажутся более увеличенными против своих настоящих размеров и как бы захватывают часть темного фона. Когда мы рассматриваем светлую поверхность на темном фоне, вследствие несовершенства хрусталика как бы раздвигаются границы этой поверхности, и эта поверхность кажется нам больше своих истинных геометрических размеров. На рисунке за счет яркости цветов белый квадрат кажется, значительно, большим относительно черного квадрата на белом фоне.

Любопытно отметить, что зная о данном свойстве черного цвета скрадывать размеры, дуэлянты в XIX веке предпочитали стреляться именно в черных костюмах в надежде на то, что противник промахнется при стрельбе.

Следующий пример: посмотрим издали на рисунок и ответь, сколько черных кружков могло бы поместиться в свободном промежутке между нижним кружком и одним из верхних кружков - четыре или пять? Скорее всего, вы ответите, что четыре кружка уместятся свободно, но для пятого, пожалуй, места уже не останется.

На самом деле в промежутке помещается ровно три кружка. Однако, если взять бумагу, циркуль или линейку, то можно убедиться, что это так.

Эта странная иллюзия, в силу которой черные участки кажутся нашему глазу меньше, чем белые такой величины, носят название «иррадиации». Она зависит от несовершенства нашего глаза, который как оптический аппарат не вполне отвечает строгим требованиям оптики. Его преломляющие среды не дают на сетчатке тех резких контуров, которые получаются на матовом стекле хорошо наставленного фотографического аппарата: вследствие так называемой сферической аберрации каждый светлый контур окружается светлой каймой, которая увеличивает его размеры на сетчатой оболочке глаза. В итоге светлые участки всегда кажутся нам больше, чем равные им черные.

2.5 Иллюзия переработки информации

Некоторые иллюзии возникают в связи с переработкой поступающей информации. Человек иногда видит мир не таким, каков он есть на самом деле, а таким, каким хотел бы его увидеть, поддаваясь сформированным привычкам, потаенным мечтам или страстным желаниям. Он ищет нужную форму, цвет или другое отличительное качество объекта среди представленных во внешнем мире. Это свойство избирательности называется феноменом перцептивной готовности.

Посмотрите на рисунок. Символ в центре - буква или цифра? Если рассматривать горизонтальный зрительный ряд, состоящий из букв, в центре будет "В" - к этому наблюдатель подготовлен буквенным рядом. Если смотреть на вертикальный ряд, окажется, что это вовсе не буква, а число 13 - к такому решению подтолкнули цифры.

Подобные иллюзии обусловлены более высоким уровнем обработки информации, когда характер решаемой задачи определяет то, что воспринимает человек в окружающем мире. Интересны особенности избирательности восприятия. Если сказать человеку: в этой книге есть твоя фамилия, - то он сможет, очень быстро пролистав страницы, найти упоминание о себе. Причем ни о каком прочтении текста речи не идет.

Такими навыками обладают корректоры, непостижимым образом вычленяющие в тексте ошибки, незаметные обычному читателю. В данном случае речь идет о профессиональных навыках, приобретаемых в процессе деятельности.

Очень многие ошибочные зрительные впечатления обусловлены тем, что мы воспринимаемые нами фигуры и их части не отдельно, а всегда в некотором соотношении с окружающими их другими фигурами, некоторым фоном или обстановкой. С этим связано самое большое количество зрительных иллюзий, встречающихся в практике. Все они могут быть разделены на пять групп.

Во-первых, сравнивая две фигуры, из которых одна действительна меньше другой, мы ошибочно воспринимаем все части меньшей фигуры меньшими, а все части большой - большими (“целое больше - больше и его части”). Это обуславливается психологическим аспектом восприятия.

На двух других рисунках правые фигуры больше левых (фигуры в целом), однако отмеченные буквами части этих фигур равны отмеченным буквами частям левых фигур, хотя они и кажутся значительно крупнее. Это происходит потому, что свойства фигуры мы ошибочно переносим на её части.

ВС больше АВ? Оказывается ВС=АВ

В-вторых, при восприятии фигур в целом и отдельных их частей (линии, углы, отдельные детали) зрительные иллюзии могут иметь место вследствие так называемого общепсихологического закона контраста, т. е. обстановки, окружения этих частей и их взаимосвязи с другими частями фигуры. Вот пример: на рисунке слева круг, примыкающий ближе к сторонам острого угла, кажется больше, чем другой, тогда как их размеры одинаковы. На другом рисунке внутренний круг слева кажется больше правого внутреннего круга. Это объясняется не контрастом яркости или цветовым контрастом, который здесь ничтожно мал или вовсе отсутствует, а в особенностях восприятия фигуры и фона.

В-третьих, известны иллюзии, причина которых кроется в уподоблении (ассимиляции) одной части фигуры другой. На рисунке прямая, касательная ко всем кружкам разных радиусов, кажется кривой, так как мы невольно уподобляем её верхней криволинейной границе. ( Томпсона).

Наконец, следует указать на последнюю группу иллюзий, связанных со зрительным восприятием целого и части, причина которых кроется в неспособности зрительного аппарата иногда выделить часть из целого из-за сложности обстановки. Например, в беспорядке линий одного цвета, яркости и толщины не сразу можно выделить (распознать) какую-то определенную фигуру.

Кого вы видите? Грустного старика или ковбоя? (см приложение 2)

2.6 Переоценка вертикальных линий

В силу исторически накопленного опыта, с одной стороны, и благодаря расположению линии, соединяющей глаза человека в горизонтальной плоскости, с другой, человек обладает способностью точнее определить на глаз горизонтальные расстояния, чем высоту предметов. Поэтому большинство людей обладает способностью преувеличивать вертикальные линии по сравнению с горизонтальными, и это также приводит к иллюзиям зрения.

Вертикальные параллельные линии при значительной их длине обычно кажутся в верхней части слегка расходящимися, а горизонтальные - сходящимися.

К рассматриваемой группе иллюзий относятся также иллюзии заполненного пространства. Заполненное пространство, по которому глаз скользит горизонтально, удлиняется. Так, например, на море все расстояния кажутся меньшими, так как беспредельный простор моря является пространством не подразделенным. Здания, украшенные фигурами и орнаментами, кажутся нам больше своей действительной величины.

Иллюзия Перельмана. На заполненном клетками фоне буквы кажутся наклонными. Но…
Буквы на самом деле параллельны друг другу.

Несмотря на то, что на каждом из рисунков кажется, что линии не параллельны, оказалось, что параллельность для прямых выполняется! А значит, в геометрии при решении задач нельзя опираться только чертеж, надо все свои высказывания подтверждать свойствами, аксиомами, теоремами, доказывать! Большая часть обманов зрения зависит исключительно от того, что мы не только видим, но и бессознательно рассуждаем, причём невольно вводим себя в заблуждение. Это – обманы суждения, а не чувств.

2.7. Использование зрительных иллюзий в жизни человека

Ø  Оптические иллюзии на дороге.

Изображения с эффектом оптических иллюзий используются в некоторых штатах США, как часть кампании по борьбе с агрессивным вождением

Водитель видит нарисованные объекты и думает, что на дороге есть барьер, он снижает скорость, чтобы переехать через него, хотя на самом деле это абсолютно ровная поверхность.

Ø  Зрительные иллюзии в одежде.

Знание и правильное использование свойств зрительных иллюзий позволяет подчеркнуть красоту и совершенство правильной фигуры, удачно расставить модные акценты на той или иной части тела, а также придать фигуре определенный визуальный эффект.

Женщина справа кажется стройнее.

Иногда случается так, что заполненное декором и деталями пространство костюма кажется больше, чем равное ему незаполненное.

Поэтому если Вы не хотите привлекать внимание к какой-либо части фигуры, не располагайте на ней участки ткани с крупным рисунком.

Ø  Способы оптического изменения пространства комнаты.

Вертикальные полосы: удлиняют стену, комната, кажется благодаря этому выше. Чем шире полосы, тем сильнее эффект.

Поперечные полосы раздвигают стены, а комнату делают ниже.

Крупный рисунок укорачивает и уменьшает комнату.

Маленькое помещение производит впечатление более просторного, если используются обои с мелким рисунком или однотонные обои, желательно светлых тонов.

Поперечные полосы на полу: оптически делают комнату шире и короче.

Полосы в длину на полу удлиняют комнату тем больше, чем шире полосы и ярче их цвет.

Ø  Архитектура

При строительстве монументальных зданий чаще всего архитекторам приходилось бороться с кажущимся искажением их размеров с изменением расстояния, то есть в перспективе. Если, например, взглянуть на высокое здание снизу вверх, создаётся впечатление, что в верхней части оно гораздо уже, чем у основания, и отклонено назад. Пример тому — колокольня Ивана Великого на Соборной площади Московского Кремля, построенная в XVI веке. Эффект её «падения» ощущается даже на фотографии; более того — его запечатлел художник Джакомо Кваренги, рисовавший колокольню с натуры и смотревший на неё с другой точки.
Древние греки использовали такой приём: отклоняли элементы верхней части постройки от вертикального положения. Например, фронтон устанавливали под углом, наклоняя немного вперёд, подобно тому, как вешают картины в музеях. А скульпторы делали фигуры, украшавшие здания, более рельефными, и это сглаживало визуальный эффект их уменьшения при взгляде с земли. Принимались во внимание и точки наблюдения: каждая статуя создавалась с учётом места, которое ей отводилось во всей композиции.
Иногда архитекторы использовали иллюзию перспективы не для сглаживания, а, наоборот, для усиления того или иного визуального эффекта. Например, в портике (крытой галерее перед входом в здание) с двойным рядом колонн внутренние колонны делали более тонкими по сравнению со стоящими впереди, зрительно удаляя их. Тем самым создавалось впечатление большей глубины пространства. Другое оригинальное изобретение греков состояло в том, что внутреннюю колоннаду в храмах они возводили иногда двухэтажной. В Парфеноне, например, это было сделано не столько для красоты, сколько для достижения иллюзии большей высоты статуи богини Афины, установленной в святилище. На фоне двухэтажного сооружения она смотрелась крупнее, чем есть, и оттого выглядела более торжественно и величественно. Одним словом, система оптических поправок, придуманная зодчими, лишний раз демонстрирует их высочайшее мастерство в сложном искусстве архитектуры.
Примеры. Оптические поправки делают Троицкий собор Троице-Сергиевой лавры более устойчивым и устремлённым ввысь. Православные храмы внутри кажутся выше, чем снаружи. Оптическая иллюзия достигается наклоном стен к центру и крутыми линиями арок и сводов Благовещенского собора Московского Кремля. как будто падает назад. Эта оптическая иллюзия связана с кажущимся изменением размеров здания при взгляде снизу вверх. (см. приложение 3).

Ø  Оп-арт. Оптическое искусство

От англ. Op-art – сокращенный вариант optical art –оптическое искусство – художественное течение второй половины 20 века, использующее различные зрительные иллюзии, основанные на особенностях восприятия плоских и пространственных фигур. Новое художественное движение заявило о себе проведением выставки «Отзывчивый глаз», представившей картины его создателей — Я. Эгема, Н. Шёффера, Х.-Р. Демарко, А. и Ж. Дуарте, А. Асиза и др. Первые произведения были черно-белыми, в дальнейшем цвета служат достижению максимальных контрастов их интенсивности, созданию оптического цветового смешения, вызывающего иллюзию движения.

Художники оп-арта используют различные зрительные иллюзии, опираясь на особенности восприятия плоских и пространственных фигур. Оптическое искусство – искусство оптических иллюзий, опирающееся на особенности визуального восприятия. Восприятие рисунка основано на оптической иллюзии: изображение существует не только на холсте, но в действительности и в глазах, и в голове зрителя. Задача оп-арта – обмануть глаз, спровоцировать его на ложную реакцию, вызвать образ "несуществующий". Визуально противоречивая конфигурация создает неразрешимый конфликт между фактической формой и формой видимой.

Если в природе мы видим красоту даже там, где царит хаос и отсутствует ритм, то оп-арт, как и человек, стремящийся преобразовать природу, ищет красоту и выразительность в чётком, но сложном для нашего восприятия геометрическом рисунке, внося хаос в наше ощущение формы и пространства и таким образом добиваясь определённого эффекта. Наше восприятие стремится организовать видимое глазу изображение хаотически разбросанных цветных пятен в простую систему, оп-арт, наоборот, пользуясь строгими геометрическими построениями, разрушает целостность восприятия (см. приложение 4).

Ø  3D рисунки на асфальте. Стрит-арт на асфальте.

Представьте себе: вы идете по городу, и вдруг перед вашими глазами предстает расщелина, из которой пытаются вырваться исчадия ада! Или вдруг на асфальте вы замечаете совершенно обычное яблоко, вот только прикоснуться к нему не получается – оно нарисованное! Когда впервые смотришь на объемные картинки на асфальте, не можешь поверить, что это действительно просто рисунок. Такой вид уличного искусства называется Street Painting (по англ.), или Madonnari (по итал.). По сути, современное искусство Street Painting (или Madonnari) зародилось в XVI веком, когда уличные художники в религиозные праздники возле церквей и храмов изображали картины библейских сюжетов. Среди изображений чаще всего доминировало изображение с Богородицей (Мадонной).

Чтобы создать объемное изображение на асфальте, художники используют специальное искажение, при этом рисунок смотрится объемным при взгляде с определенной точки. На одну картину уходит около трех дней.

Искусство активно использует способность зрения к самообману в своих целях. Уже названы приемы перспективы или воспроизведения эффекта объема на плоском рисунке. Используя новомодные термины, этот эффект можно назвать «эффектом виртуального объема». Получается, что наше зрение способно воспринимать объемные картины и воспринимать их как настоящие, когда на самом деле – это всего лишь иллюзия.(см. приложение 5).

Картина – иллюзия «Бурлящий водопад» на асфальте помогает мысленно перенестись из пышущей жары, туда где есть вода и прохлада. Главный секрет изображения объемных картинок, их нужно “растягивать”. В этом и состоит мастерство исполнителя. Если наносить в обычных пропорциях, то такого эффекта достичь не получится. Причём творить приходится по нескольку часов.

III. Исследовательская часть

Исследовательская работа по выявлению и объяснению иллюзий и их доказательств.

На верное, у многих из вас возникал вопрос: зачем тратить время на доказа­тельство того, что и так ясно?

И в самом деле, зачем доказывать, что углы при основании равнобедренного треугольника равны между собой? Или что сумма четных чисел обязательна четна?

Ведь равенство углов видно из чертежа, а сколько раз ни сложишь четные числа, всегда получаешь четную сумму... Может, и правда, доказательства нужны только учителям математики?

Однако за многие столетия развития науки и искусства накопилось немало примеров, показывающих, что не всегда следует доверять тому, что видишь, особенно по первому впечатлению. То, что кажется одинаковым, может ока­заться различным, а то, что сначала показалось различным - окажется одинаковым.

1. Сравним размеры.

1.1 Рассмотрим иллюзию Болдуина искажения восприятия размера

В приведенных примерах отрезки тоже равны между собой.

1.2 Мы предложили учащимся школы начертить вертикальную и горизонтальную линии одинаковой длины, и в большинстве случаев начерченные вертикальные линии были короче горизонтальных.

Вертикальные параллельные линии при значительной их длине обычно кажутся в верхней части слегка расходящимися, а горизонтальные - сходящимися.

2. Представление о размерах фигур (переоценка вертикальных линий)

2.1. Решётка Геринга (1870)

На пересечениях всех белых полос, за исключением того пересечения, на котором вы фиксируете взгляд в данный момент,

видны маленькие серые пятна.

2.2 Иллюзия кафе

Линии на этом рисунке тоже параллельные

2.3. Иллюзия Вертгеймера-Коффки.

Часть кольца на белом фоне кажется более темной. Если же убрать карандаш, то иллюзия исчезает.

2.4 Иллюзия Эббингауза (1902).

Какой круг больше? Тот, который окружен маленькими кругами
или же тот, который окружен большими?

2.5 Ракушки и морские звёзды

(додекаэдр)

Геометрический узор был разработан Эшером для регулярного заполнения пятиугольниками паркетного покрытия. Что может быть лучше для пятиугольника, чем морская звезда? На каждой поверхности додекаэдра находится морская звезда, которая окружена тремя ракушками.

2.6 Рассмотрим фигуру составленную из ромбов и треугольников. Правда ли, что ширина меньше, чем высота?

Вывод: Тем не менее, они одинаковы, и если мы соединим вершины острых углов, то получим квадрат.

2.7 Сравним относительные размеры нескольких находящихся в поле зрения предметов.

Если предметы удалены от глаз на одно и то же расстояние и расположены достаточно близко друг к другу, их сравнить легко. В этом случае мы редко ошибаемся в своей оценке: более высокий предмет виден под большим углом, поэтому и кажется выше.

Усложним задачу. Расположим предметы на разном расстоянии от глаза, в том числе предметы разного размера. Тогда их видимые размеры кажутся одинаковыми.

Выстроим, друг за другом по росту несколько матрешек, и посмотрим на них со стороны самой маленькой фигурки, а затем начнём медленно отходить назад, не изменяя при этом направления взгляда, то можно наблюдать, как матрешки будут постепенно «сливаться», загораживая друг друга. Наконец, на некотором расстоянии будет видна только одна из них - та, что расположена ближе остальных. Сместим фигурки в горизонтальных плоскостях, перпендикулярных направлению взгляда, таким образом, чтобы все они были полностью видны - матрешки кажутся одного размера.

Аналогичный опыт можно провести с любыми имеющимися под рукой предметами, расположив их, на некотором расстоянии друг от друга, (причем наибольшего визуального эффекта можно достичь, если использовать предметы, схожие по форме: спичку и карандаш, орех и апельсин и т. п.). В таком случае достаточно сравнить их линейные размеры: высоты, диаметры и т. д. Результат будет таким же.

Вывод. А это означает, что независимо от формы предметов, наблюдаемое явление должно описываться «на языке математики» одним и тем же законом, в котором ключевую роль играют, вероятно, такие параметры, как линейный размер и расстояние до предмета.

2.8 Определить высоту столба (вышки, дерева и т. п,)

Отойдем от столба на расстояние, на котором больший палец вытянутой вперед руки закроет его полностью, (то есть их видимые размеры станут одинаковыми), подсчитав при этом число сделанных шагов. Для взрослого человека среднее расстояние от глаза до большого пальца вытянутой руки составляет 60 см, длина самого пальца - 7 см, а длина шага - 65 см. По этим данным легко вычислить примерную высоту столба. Аналогично определяется расстояние до недоступного объекта по его известной высоте. Отметим, что описанный способ надежен для оценки сравнительно близких расстояний до нескольких сотен метров; чем меньше предмет и чем дальше он находится, тем выше погрешность измерений.

Вывод: С позиции геометрии, во всех приведенных примерах мы имеем дело с подобными фигурами или соответствующими отрезками, а именно высотами, различных по форме фигур; более того, в каждом случае мы сталкиваемся с преобразованием гомотетии, центр которой совпадает с глазом наблюдателя. Поэтому можно утверждать, что если два предмета видны под одним углом зрения, то их линейные размеры отличаются во столько же раз, во сколько раз отличаются расстояния до предмето):

3. Иллюзия перспективы

Этот способ изображения предметов в пространстве, согласованный с особенностями человеческого зрения.

3.1 Иллюзия Понцо - также иллюстрирует искажения восприятия размера. Какая - синяя или красная черта – длиннее?

В 1913 году Марио ПОНЦО показал, что иногда наш мозг определяет размер объекта, основываясь на фоне позади него.

Линии, нанесенные на нижеследующие фотографии, имеют одинаковую длину, параллельны и равноудалены друг от друга.

Тем не менее, ближние к нам линии кажутся короче дальних.

3.2 Рассмотрим две «убегающие» от нас параллельные линии (трамвайные или железнодорожные). Они кажутся сходящимися в некоторой точке горизонта. При этом сама точка представляется нам бесконечно удаленной и недосягаемой. Зрение словно пытается убедить нас в том, что вопреки законам геометрии параллельные прямые пересекаются.

Доказательство: эта иллюзия объясняется рассмотренной нами выше особенностью зрительного восприятия. Объект (шпала), находящийся на различных расстояниях от наблюдателя, виден под разными углами зрения и по мере удаления вдоль параллельных прямых (рельсов) его угловой размер уменьшается, что приводит к видимому уменьшению расстояния между линиями (в данном случае оно определяется величиной шпалы). Очевидно, когда угол зрения достигает некоторой "критической" величины, глаз перестает различать удаляющийся объект как тело, имеющее размеры, и прямые «сливаются» для него в одну точку.

Вывод: существует предельное значение угла зрения - наименьшее значение, при котором глаз способен видеть раздельно две точки.

3.3 Посмотрите на машины. Какая из них больше?

Какой из параллелепипедов больше?

Самое интересное, что и параллелепипеды и эти три машины одинаковые!!!

Благодаря признакам перспективы правый параллелепипед, кажется более удаленным, чем остальные. Поскольку признак удаленности «запускает механизм» константности восприятия величины, наблюдателю кажется, что правый параллелепипед больше остальных, хотя они и идентичны.

Вывод: если два объекта, изображения которых на сетчатке равны по величине, кажутся наблюдателю расположенными на разных расстояниях от него, тот из них, который кажется более удаленным, всегда будет казаться и большим по величине. Эта зависимость называется гипотезой кажущейся удаленности.

4. Обманчивые объемы.

Плоские изображения пространственных тел, конечно, всегда содержат в себе некоторую условность: это просто какие - то плоские фигуры, которые помогают нам вообразить расположение тела в пространстве.

При этом иногда оказывается, что разные тела могут иметь одно и то же плоское изображение. И тогда мы никак не можем решить: что же мы все - таки перед собой видим?

4.1 Самое простое изображение состоит из ромба с проведенной в нем короткой диагональю. Если мы одну его половинку затеним, то можем увидеть или изображение пирамиды, или изображение прямоугольной дыры в полу.

4.2. Рассмотрим рисунок сверху вниз, мы можем увидеть куб, у которого две соседние грани продолжены вниз, а если глаз движется снизу вверх - можно увидеть такой же куб, у которого две грани продолжены вверх.

4.3 Рассмотрим кубик. Как нам кажется, голубая грань кубика находится

впереди или сзади? А это как посмотреть.

Иногда кажется, что впереди, а иногда - сзади.

4.4 Рассмотрим еще два рисунка.

На левом мы можем видеть большой куб, из которого в углу вырезан маленький кубик, помещенный в углу то ли комнаты, то ли коробки. А теперь сосчитайте кубики на правом рисунке. Иногда у вас получиться 7 (с черными гранями, обращенными к нам), а иногда – 6 (с черными гранями сверху).

5."Невозможные объекты"

Наверное, вы, когда то встречали такие слова. А что они значат? Само слово объект означает какой – то предмет, который можно рассматривать, трогать, изучать. Как же он может не существовать?

5.1. Невозможный треугольник – трибар, придуманный английским математиком Роджером Пенроузом в 1954 году. Что же невозможного в этой фигуре?

С первого взгляда трибар кажется просто изображением равностороннего треугольника. Но стороны, сходящиеся вверху рисунка, кажутся перпендикулярными. В тоже время левая и правая грани внизу тоже кажутся перпендикулярными. Если смотреть на каждую деталь отдельно, то она кажется реальной, но, в общем, эта фигура существовать не может. Она не деформирована, но при черчении были неправильно соединены правильные элементы.

Все три фигуры, изображенные ниже, составлены из очень простых, вполне существующих частей. Но эти части соединены между собой каким то правдоподобным, но совершенно невозможным образом.

 

5.2 «Космическая вилка»

С этой фигурой мы входим с самую сердцевину и суть «невозможного». Может быть, это самый многочисленный класс невозможных объектов.

Этот пресловутый невозможный объект с тремя (или с двумя?) зубцами стал популярен у инженеров и любителей головоломок в 1964 году. Первая публикация, посвященная необычной фигуре, появилась в декабре 1964 года. Автор назвал ее "Скобой, состоящей из трех элементов". Восприятие и разрешение (если это только возможно) несоответствия в этом новом типе двусмысленной фигуры требует настоящего сдвига зрительной фиксации. С практической точки зрения этот странный трезубец или механизм в виде скобы, абсолютно неприменим. Некоторые называют его просто "досадной ошибкой". Один из представителей аэрокосмической промышленности предложил использовать его свойства при конструировании межпространственного космического камертона.

6. Доверяй, но проверяй! 

Все рассмотренные выше примеры, убедили вас в том, что первое впечатле­ние от изображения может быть обманчиво. А поэтому не спешите говорить: «Ну, это же ясно видно из рисунка!», вполне возможно, что одному видно од­но, а другому - совсем другое.

А бывает, что того, что нарисовано, и вовсе не бывает!

Так что, прежде чем делать выводы из рисунка, полезно над ним подумать.

 Дан прямоугольный треугольник 13×5 клеток, составленный из 4 частей. После перестановки частей при визуальном сохранении изначальных пропорций появляется дополнительная, не занятая ни одной частью, клетка.

Решение: Площади закрашенных фигур, разумеется, равны между собой (32 клетки), однако, то, что визуально наблюдается как треугольники 13×5, на самом деле таковым не является, и имеет разные площади (S13×5 = 32,5 клетки). То есть ошибка, замаскированная в условии задачи, состоит в том, что начальная фигура поименована треугольником (на самом деле это — вогнутый 4-угольник). На рисунке отчётливо заметно что  «гипотенузы» верхней и нижней фигур проходят через разные точки: (8,3) вверху и (5,2) — внизу. Секрет в свойствах синего и красного треугольников. Это легко проверить вычислениями.

Отношения длин соответствующих сторон синего и красного треугольников не равны друг другу (2/3 и 5/8), поэтому эти треугольники не являются подобными, а значит, имеют разные углы при соответствующих вершинах. Назовём первую фигуру, являющуюся вогнутым четырёхугольником, и вторую фигуру, являющуюся вогнутым восьмиугольником, псевдотреугольниками. Если нижние стороны этих псевдотреугольников параллельны, то гипотенузы в обоих псевдотреугольниках 13×5 на самом деле являются ломаными линиями (на верхнем рисунке создаётся излом внутрь, а на нижнем — наружу). Если наложить верхнюю и нижнюю фигуры 13×5 друг на друга, то между их «гипотенузами» образуется параллелограмм, в котором и содержится «лишняя» площадь. На рисунке этот параллелограмм приведён в верных пропорциях. «Гипотенуза» на самом деле является ломаной линией.

Заключение.

Материал, представленный в работе, расширяет кругозор учащихся, пополняет теоретические знания и объясняет многие оптические иллюзии. Геометрические иллюзии создают богатые возможности для художников, фотографов, модельеров. Однако инженерам и математикам приходится быть осторожными с чертежами и подкреплять ”очевидное” точными расчётами.

Мы показали, что наши глазомерные оценки геометрических реальных величин очень сильно зависят от характера и фона изображения. Ошибки, возникающие в результате оптических иллюзий, могут быть очень большими.

Таким образом, наше исследование показало, сколь широка и многогранна деятельность человека, столь и различны требования, предъявляемые к форме и содержанию изображений. Одни из них должны производить на глаз человека такое же впечатление, какое производит и сам изображаемый предмет, иначе говоря, изображение должно обладать достаточной наглядностью. В другом случае изображение должно быть, в первую очередь, геометрически равноценно оригиналу, оно должно давать полную геометрическую и размерную характеристику изображаемого предмета.

В процессе работы над темой «Не верь глазам своим…» - геометрические иллюзии мы:

Ø  изучили теоретический материал по данному вопросу;

Ø  рассмотрели примеры использования геометрических иллюзий.

Ø  провели исследования, связанные с оптико-геометрическими и зрительными иллюзиями, объяснили и доказали их с точки зрения геометрии.

Ø  разработали рекомендации по использованию иллюзий в современной жизни

И пришли к выводу: в математике при решении задач нельзя опираться только на чертеж, надо все свои высказывания подтверждать свойствами, аксиомами, теоремами.

Таким образом, гипотеза нашего исследования подтверждена.

Список используемой литературы

1. С. Толанский, «Оптические иллюзии». — М.: Мир, 1967. — С. 128.

2. О. Рутерсвард, «Невозможные фигуры». — М.: Стройиздат, 1990.

3. П. Дёмин, «Физические эксперименты и психологические иллюзии». - М., 2006.

4. Х. Шиффман, «Чувство и восприятие». - СПб., 2003.

5. , «Иллюзии зрения», изд.3 – М., Наука, 1969

6. , «Занимательная физика». – М., АСТ, 2010

7. О. Рутерсвард, «Невозможные фигуры». — М., Стройиздат, 1990. 

8. , «Начертательная геометрия», М.1963г

9. , «Перспектива в геометрии и живописи», М 1998 г

10. , « Живая математика», М.2006г

11. Р. Л Грегори, «Разумные глаза», М.2003г

12. , «Геометрия и Марсельеза»,М.1986г

13. Большая электронная энциклопедия Кирилла и Мефодия Кагиров

14. Н. М Карпунина, «Неожиданная математика», М.2003г

15. Э. Рубин, «Предметы и изображения»,энциклопедия для детей 2000г

16.П Франческа, «О живописной перспективе», энциклопедия 2000

17. Детская энциклопедия по математике «Я познаю мир»

18. И. Я Депман., За страницами учебника математики. М-1988г.

19. Не верь глазам своим//Квант-1970.-№10-С. 18-20.

Интернет ресурсы.

http://www. illusion. /main/index/index. php - Зрительные иллюзии и феномены

http://www. *****/2004/6/ochevidnoe. shtml - Иллюзии зрительного восприятия. Очевидное-невероятное. Журнал «В мире науки», июнь 2004 № 6

http://www. *****/book/gregory. htm - «Разумный глаз»