ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ
"Высшая математика (линейная алгебра и линейное программирование)"
для студентов 2 курса дневного отделения экономического факультета
(специальность "Менеджмент организаций"), учебный год, 1-й семестр
Преподаватель – доцент
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ.
1. Экзамен проводится в виде письменной работы продолжительностью 2,5 астрономических часа. Экзаменационное задание состоит из двух частей. Первая проверяет знание основных понятий и умение применять их на практике (в нее включаются вопросы и задания из Части I), вторая проверяет умение логически рассуждать, проводить доказательства основных результатов, решать задачи, требующие творческого подхода (вопросы и задания из части II).
2. От выполнения заданий первой части освобождаются студенты, получившие положительную дифференцированную («3», «4», «5») аттестацию по итогам семестра, но не согласные с выставленной оценкой.
1-я часть (уровень «3»)
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ (все без доказательства)
Функции двух переменных (определение, область определения и линии уровня) Частные и полное приращения функции f(x,y), определение частных производных первого порядка. Частные производные f(x,y) второго порядка и теорема о совпадении смешанных частных производных. Направляющие косинусы, определение производной функции f(x,y) по направлению и теорема о формуле для вычисления такой производной. Градиент функции f(x,y) в точке, его величина и смысл. Определение точек безусловного экстремума функции f(x,y). Стационарные точки. Необходимые и достаточные условия точки безусловного экстремума (формулировки).8. Определения внутренней и граничной точек множества, внутренности, границы, ограниченного и замкнутого множества. Теорема об абсолютном экстремуме
Основные понятия линейного программирования: постановка задачи, целевая функция, допустимое решение, область допустимых решений, оптимальное решение. Канонический и стандартный (в том числе симметричный) вид задачи линейного. программирования. Выпуклое множество (геометрическое и аналитическое определения). Угловая точка, выпуклая многогранная область и выпуклый многогранник. Теорема об области допустимых решений и теорема о целевой функции для задачи линейного программирования. Линии уровня и опорные прямые для целевой функции двух переменных в задаче линейного программирования, теорема об изменении целевой функции. Ограниченное и замкнутое множества (определения), основная теорема линейного программирования. Основные понятия симплекс-метода: вид задачи, базисное решение, опорное решение, невырожденное решение, теорема об опорном решении. Метод искусственного базиса: построение расширенной задачи, балансовые и искусственные переменные, 3 теоремы (признак оптимальности решения, признак несовместности системы ограничений, признак неограниченности целевой функции).17. Симметричные и несимметричные пары двойственных задач.
Симметричные пары двойственных задач, основное неравенство теории двойственности. Симметричные пары двойственных задач, первая теорема двойственности. Симметричные пары двойственных задач, вторая теорема двойственности. Транспортная задача (постановка и значения исходных данных). Условие правильного баланса, открытая и закрытая транспортные задачи, теорема о ранге. Вырожденные и невырожденные оптимальные решения Цикл, теорема о цикле. Критерий оптимальности опорного плана транспортной задачи (теорема о потенциалах), единственность оптимального решения.ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
1. Нахождение частных производных и дифференциалов 1-го и 2-го порядков функций двух переменных.
2. Определение производной по направлению и градиента функции в точке.
3. Нахождение безусловного экстремума функции двух переменных.
4. Нахождение условного экстремума функции двух переменных методом подстановки.
5. Переход от одной задачи линейного программирования к другой.
6. Составление математических моделей, сводящихся к задаче линейного программирования.
7. Графическое решение задач линейного программирования для функции двух переменных для разных областей допустимых решений (с использованием опорных прямых или учитывающее замкнутость и ограниченность области)
8. Решение задач линейного программирования симплекс-методом (построение таблиц, определение опорного плана, проверка опорного плана на оптимальность, выбор разрешающего элемента и переход к новому опорному плану).
9. Построение задачи, двойственной к исходной (как симметричной, так и несимметричной).
10. Определение оптимального плана одной из двойственных задач по известному оптимальному решению второй с помощью первой или второй теорем двойственности.
11. Построение начального опорного плана транспортной задачи методами северо-западного угла и минимальной стоимости.
12. Проверка опорного плана транспортной задачи на оптимальность методом потенциалов, переход к новому опорному плану (сдвиг по циклу).
13. Решение закрытой транспортной задачи
2-я часть
Построение области определения и линий уровня функций двух переменных Сложная функция и теорема о производной сложной функции (формулировка, применение). Дифференцируемость функции двух переменных, свойства дифференцируемой функции, дифференциал, дифференциал второго порядка (определения, формулировки, нахождение). Теорема о вычислении производной функции f(x,y) по направлению (доказывать), теорема о связи градиента с производной по направлению (доказывать). Вычисление производной по направлению и градиента. Нахождение точек условного экстремума функции двух переменных методом Лагранжа. Теорема об абсолютном экстремуме (формулировка и применение) Вывод формулы наименьших квадратов для линейной и квадратичной зависимости, применение формулы наименьших квадратов. Теорема о возможности графического решения задачи линейного программирования n переменных. (формулировка, применение) Составление математических моделей задач линейного программирования и решение их любым методом. Метод искусственного базиса, три основных теоремы (формулировки, применение). Основное неравенство теории двойственности и две теоремы двойственности (формулировки, применение). Составление математической модели транспортной задачи. Решение открытой транспортной задачи и задачи с ограничениями на пропускную способность.