Математическая модель краткосрочных прогнозов погоды

Основой для построения моделей являются уравнения движения идеальной среды:

(3.1.1)

(3.1.2)

(3.1.3)

где S — энтропия (постоянная вдоль траекторий движения жидкой частицы);

—показатель адиабаты Пуассона; k – орт, направленный против сил тяжести; q – их ускорение. Ось х направлена на восток по касательной к параллелям, ось y на север по касательной к меридиану, а ось z - вертикально вверх (по орту k). Центростремительными силами пренебрегаем.

Вычислим логарифмическую индивидуальную производную от последнего выражения системы (3.1, учтя уравнение стояния Клапейрона:

Тогда после простых выкладок будем иметь соотношение

Оно может быть преобразовано к виду

(3.1.4)

в котором параметр

Выражение (3.1.4) заменяет собой уравнения (3.1.3). Величина называется адиабатическим градиентом температуры. Помимо него в метеорологии введено понятие потенциальной температуры :

где ГПа—давление воздуха при нормальных температуре и давлении (Н. Т.Д.).

При построении модели краткосрочных прогнозов погоды членами порядка и , где - радиус Земли, пренебрегается по сравнению с единицей. При таких предположениях из (3.1.2) в проекции на ось z получают уравнение

(3.1.5)

которое соответствует гидростатическому приближению для давления.

Из (3.1.3) следует, что для каждой частицы энтропия сохраняется, но она меняется с переходом от частицы к частице. Однако часто можно S и A(S)) считать постоянными во всем пространстве. Такое предположение существенно для дальнейшего преобразования уравнения (3.1.5). Поступая при дифференцировании по z так же, как при выводе выражения (3.1.4), получаем уравнение

Именно оно позволяет назвать адиабатическим градиентом температуры.

Пусть - широта места на поверхности земли; - скорость вращения Земли; u,v и w проекции вектора скорости v на оси х, у и z. Обычно слагаемым, зависящим от вертикальной составляющей скорости w пренебрегают. Тогда

Величина l называется параметром Кориолиса.

Учитывая сказанное, из (3.1.1) – (3.1.5) получаем систему:

(3.1.6)

(3.1.7)

(3.1.8)

(3.1.9)

(3.1.10)

Имеем пять уравнений для определения пяти искомых функций: и, v, w, p и (или Т, так как уравнение состояния известно). Пятое уравнение называют уравнением притока теплоты.

Для этой системы необходимо задать начальные и граничные условия. Выдвинем для нее следующие граничные условия:

при , (3.1.11)

при

Здесь Н - высота слоя атмосферы, на которой . Для простоты предполагаем, что решение задачи является периодическим по отношению к прямоугольному параллелепипеду:

( и порядка 103 км). Для решения уравнения (3.1.9) нужно задать также давление и температуру при или .

В качестве начальных значений при t = t задаются следующие параметры:

(3.1.12)

Величины и известные функции координат.