РАБОЧАЯ (КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКАЯ) ПРОГРАММА
КУРСА «МАТЕМАТИКА (ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ)»
для студентов дневного отделения экономического факультета,
специальность «Менеджмент организаций»
1-Й КУРС, 1-Й СЕМЕСТР, 2004/2005 учебный год
Налбандян
ЛИТЕРАТУРА
1. , Демидович курс высшей математики. М., 1989 (и позднее).
2. Высшая математика для экономистов. Под ред. Н. Ш Кремера. М.: Банки и Биржи, ЮНИТИ. 1998 (и позднее).
3. Общий курс высшей математики для экономистов. Под ред. . М.: ИНФРА-М. 2000.
4. , , Браилов в экономике. – М.: Финансы и статистика, 2001.
5. , Позняк алгебра. - М.: Наука, 1974 (и позднее)
6. Колесников курс математики для экономистов. М.: ИНФРА-М, 1999 (и позднее)
7. Шевцов алгебра. – М.: Гардарики, 1999.
8. Справочник по математике для экономистов. Под ред. . М.: Высшая школа, 1987.
9. Минорский задач по высшей математике. М.: Наука, 1987 (и позднее)
10. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. . М.: ИНФРА-М. 2001.
ЛЕКЦИОННЫЙ КУРС
ЛЕКЦИЯ 1 (ВВОДНАЯ). Курс «Высшая математика» и его актуальность. Методы изучения математических дисциплин. Обзор необходимой литературы.
ЛЕКЦИЯ 2. Элементы теории множеств (равенство множеств, пустое множество, объединение, пересечение и разность множеств). Основные числовые множества. Понятие о комплексных числах, алгебраическое и геометрическое представление комплексного числа. Арифметика комплексных чисел.
Литература: [1, гл.2 § 1], [2, пп. 5.1], [3, раздел В пп. 1.1-1.2], [8, пп. 1.20-1.21, 1.24-1.25].
ЛЕКЦИЯ 3. Декартова плоскость (пространство R2). Длина отрезка, расстояние между двумя точками, координаты середины отрезка. Общее уравнение прямой на плоскости и вектор нормали. Уравнение прямой в отрезках. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Уравнение прямой с известным угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку, уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно (перпендикулярно) заданной прямой, уравнение прямой, проходящей через две точки.
Литература: [1, гл.1, гл.3 §§1-4.7], [2, пп. 4.1-4.3,4.6], [3, раздел А п. 6.2].
ЛЕКЦИЯ 4. Параметрическое уравнение прямой. Точка пересечения прямых. Полуплоскости, графическое решение систем линейных неравенств. Пространство R3, плоскость и прямая в пространстве. Общее уравнение геометрической фигуры, пример окружности как линии второго порядка. Экономич. приложения.
Литература: [1, гл.3 § 5, гл.4, гл.5, гл.19], [2, пп. 4.3, 4.4, 4.6, 4.7], [3, раздел А пп. 6.1, 6.3, 6.4, 6.6].
ЛЕКЦИЯ 5. Матрицы, основные обозначения. Виды матриц. Равенство матриц. Линейные арифметические операции с матрицами (сложение, умножение на вещественное число) и их свойства. Произведение матриц и свойства этой операции. Транспонирование матриц, свойства. Элементарные преобразования матриц, эквивалентные матрицы. Ступенчатая матрица и ранг матрицы.
Литература: [2, пп. 1.1, 1.2], [3, раздел А пп. 3.1-3.3], [4, пп. 2.1-2.3], [5, гл.1 § 1], [6, пп.6.1-6.2], [7, п.1.2]., [8, пп. 2.15-2.17, 2.22].
ЛЕКЦИЯ 6. Определители квадратных матриц: определители 1-го, 2-го, 3-го порядков, обобщение на n-й порядок. Миноры и алгебраические дополнения, формула для раскрытия определителя по любой строке (столбцу). Свойства определителей. Теорема Лапласа и минорный ранг матрицы[1]
Литература: [2, пп. 1.3-1.4], [3, раздел А пп. 4.1-4.4], [4, пп. 2.6-2.9], [5, гл.1 § 2], [7, п.1.3], [8, пп. 2.25-2.27].
ЛЕКЦИЯ 7. Понятие обратной матрицы, ее свойства. Существование и единственность обратной матрицы. Построение обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений. Построение обратной матрицы методом Гаусса. Основные обозначения для систем линейных алгебраических уравнений и теорема Крамера.
Литература: [2, пп. 1.5, 2.2], [3, раздел А пп. 3.4, 5.2], [4, пп. 2.3-2.4,2.9], [5, гл.1 § 2 п.7, гл.3 § 2 п.1], [6, п.6.3], [7, пп.1.4-1.5], [8, пп. 2.21, 2.28].
ЛЕКЦИЯ 8. Общая теория систем линейных алгебраических уравнений: виды систем, равносильные системы и теорема о сведении любой совместной системы к канонической. Теорема Кронекера-Капелли. Теорема о количестве решений. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
Литература: [2, пп. 2.1, 2.3-2.4], [3, раздел А пп. 1.1-1.5, 5.1], [4, пп. 1.4-1.5], [5, гл.3 §§ 1-2], [6, п.6.4], [7, пп.1.1, 2.6], [8, пп. 2.1-2.4, 2.11].
ЛЕКЦИЯ 9. Однородные системы и их особенности. Фундаментальная система решений, ее построение. Связь между однородными и неоднородными системами.
Литература: [2, п. 2.5], [3, раздел А пп. 5.3-5.4], [4, п. 1.5], [5, гл.3 § 2], [8, пп. 2.12-2.13].
ЛЕКЦИЯ 10. Обзорная. Экономические приложения.
Литература: [2, п. 2.7], [4, п. 3.1-3.4], [6, пп.6.5], [8, пп. 2.12-2.13].
ЛЕКЦИЯ 11. Понятие о квадратичной форме. Знакоопределенные квадратичные формы и критерий Сильвестра. Канонический вид квадратичной формы, теорема о приведении к каноническому виду. Невырожденные линейные преобразования. Закон инерции. Понятие о методах Якоби и Лагранжа.
Литература: [2, п. 3.8], [3, раздел А пп. 8.1-8.4], [5, гл.7 §§ 2,3,4], [7, пп.7.1-7.6], [8, п.2.32].
ЛЕКЦИЯ 12. Линейные пространства (аксиоматика, примеры). Лемма о единственности. Линейность пространства Rn, линейная комбинация элементов линейного пространства, линейная зависимость и линейная независимость системы элементов, основные теоремы о линейно зависимых и линейно независимых системах. Понятие о базисе и ранге системы.
Литература: [2, п. 3.2], [3, раздел А п. 2.1, 2.5-2.7], [5, гл.2 § 1], [7, пп.2.1-2.2, п.2.3 пример 3].
ЛЕКЦИЯ 13. Свойства базиса и ранге системы элементов линейного пространства. Ранги матриц, свойства. Алгоритмы проверки системы векторов в пространстве Rn на линейную зависимость (независимость). Базис и размерность линейного пространства (определения, единственность разложения).
Литература: [2, п. 3.3], [3, раздел А пп. 2.5-2.7], [5, гл. 2 § 2], [7, п.2.4].
ЛЕКЦИЯ 14. Свойства базиса в n-мерном линейном пространстве, размерность пространства Rn . Скалярные произведения в пространстве Rn. Евклидовы пространства, евклидовость Rn. Норма в произвольном евклидовом пространстве и в пространстве Rn.
Литература: [2, п. 3.5], [3, раздел А п. 2.8], [4, п.1.7], [5, гл. 2 § 2, гл.4 § 1], [7, п.2.4, 6.1].
ЛЕКЦИЯ 15. Ортонормированный базис, корректность определения. Лемма об ортонормированном базисе в Rn. Теорема об ортонормированном базисе в n-мерном евклидовом пространстве. Процедура ортогонализации. Линейные операторы и их основные виды.
Литература: [1, гл.18 §§ 12-13], [2, пп.3.1, 3.5], [3, раздел А 2.9], [4 п.1.6], [5, гл. 4 § 2], [7, пп.3.1, 6.3].
ЛЕКЦИЯ 16. Пространство всех линейных операторов, действующих в линейном n-мерном пространстве, его линейность. Матрица линейного оператора. Характеристический многочлен, характеристическое уравнение матрицы. Собственные числа (характеристические значения) и собственные векторы матрицы, алгоритм их нахождения.
Литература: [2, пп. 3.6-3.7], [3, раздел А пп. 7.1-7.3], [4, п. 3.5-3.6], [5, гл.5 §§ 1-3], [7, пп.3.2,3.6, 3.7].
ЛЕКЦИЯ 17. Обзорное занятие.
ПРАКТИЧЕСКИЙ КУРС
ЗАНЯТИЕ 1. Операции с числовыми множествами (разбор 2-3 примеров на определение пересечения, разности и объединения множеств). Комплексные числа (алгебраическая и тригонометрическая формы записи, арифметика). Задачи на определение вещественной и мнимой части, на нахождение модуля и аргумента, сложение, умножение и деление комплексных чисел, нахождение корней квадратных уравнений, 1-2 примера на извлечение корней.
В аудитории и дома [10, NN 4.1-4.7, 4.12, 4.13] (обязательные), [10, NN 4.8-4.11] (дополнительные).
ЗАНЯТИЕ 2. Решение задач по аналитической геометрии (длины отрезков, середина отрезков, точка пересечения прямых, общее уравнение прямой, уравнение прямой в отрезках, уравнение прямой с угловым коэффициентом, угол между прямыми и проверка условий параллельности и перпендикулярности, составление уравнений прямых).
В аудитории [9, NN 28, 29 (искать только длину медианы), 63-64 (выборочно), 65, 82 (выборочно), 83, 88, 93(*)].
Дома [9, NN 63, 64, 82 (оставшиеся), 87, 95, 96, 98], а также задача вида:
Для прямой на плоскости, заданной общим уравнением , выписать вектор нормали и значение углового коэффициента, построить эту прямую. Составить уравнение прямой, параллельной данной и проходящей через точку A(1;-2). Найти угловой коэффициент прямых, перпендикулярных данной, и составить уравнение прямой, перпендикулярной данной и проходящей через точку B(3;7). Составить уравнение прямой (АВ), привести его к общему виду, выписать вектор нормали и угловй коэффициент. Построить графики найденных прямых.
ЗАНЯТИЕ 3. Решение задач по аналитической геометрии (составление уравнений прямых на плоскости, параметрическое уравнение прямой на плоскости и в пространстве, графическое решение числовых неравенств.)
Аудитория [9, NN 66, 72, 132 (выборочно)], [10, 2.57, 2.59], а также задачи вида
Для предложенного уравнения прямой в параметрическом виде проверить принадлежность к ней конкретных точек, определить ее направляющий вектор, указать точку, лежащую на прямой, провести переход от параметрического уравнения прямой к уравнению в общем виде.
Параметризовать предложенное уравнение прямой (уравнение общего вида или с угловым коэффициентом).
Составить параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку A(1;-2) параллельно вектору l=(-3;2); привести его к общему виду и выписать вектор нормали.
Составить параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку A(1;-2; 5) параллельно вектору l=(-2;3;4); привести его к общему виду.
Построить область, удовлетворяющую системе линейных неравенств: 2x+y³4, -x+y£4, x+2y £ 14, x £ 4, y ³ 0.
Дома [9, NN 72, 132 (оставшиеся)], [10, NN 2.56, 2.58 (и их аналоги для плоскости)], а также построение областей, удовлетворяющих неравенствам (например):
а) 2 x + y ³ 4, - x + y £ 4, x + 2 y £ 14, x £ 4;
б) 4 x - y ³ 0, - x + y £ 3, y³0;
в) -4 x+ y ³ 0, - x + y £ 3, x³0.
В качестве подготовки к самостоятельной работе можно предложить просмотреть дополнительно задачи [10, 2.2-2.8, 2.10, 2.14-2.24, 2.28]
ЗАНЯТИЕ 4. Самостоятельная работа.
ЗАНЯТИЕ 5. Арифметические действия с матрицами и эквивалентные преобразования матриц для определения их ранга. Обратить внимание на различие между понятиями «равенство» и «эквивалентность» матриц.
В аудитории [10, NN 5.1, 5.2, 5.4, 5.6 (на этом примере показать отсутствие коммутативности у произведения), 5.8, 5.9, 5.11, 5.56, 5.60]. Н
Дома [10, NN 5.3, 5,7 (проверить коммутативность), 5.12, 5.58б 5.61-5.63], задачи, включающие одновременно все арифметические действия с матрицами, а также дополнительные задания теоретического характера [10, NN 5.18, 5.20, 6.64-5.65].
ЗАНЯТИЕ 6. Различные приемы вычисления определителей (по 1-й строке, по «удобной» строке или столбцу, путем преобразования матрицы к диагональному или треугольному виду). Обратить особое внимание на свойства определителей.
В аудитории [10, NN 4.21, 4.23, 4способа), 4.28, 4.36], а также задания на нахождение миноров и алгебраических дополнений (в N 4.36 обязательно найти A33.).
Дома [9, NN 4.22, 4.30, 4.31, 4.37, 4.41, дополнительно 4.33, 4.34].
ЗАНЯТИЕ 7. Различные способы нахождения обратных матриц (обращать внимание на проверку).
В аудитории [10, NN 5.25, 5.28 (через алг. дополнения), 5.24, 5.27 (способ Гаусса), 5.33 (способ Гаусса), 5.39, 5.44].
Дома [10, NN 5.25, 5.29 (два способа), 5.30 (через алг. дополнения), 5.35 (способ Гаусса), 5.40, 5.41, 5.46, дополнительно 5.37, 5.47, 5.49].
ЗАНЯТИЕ 8. Решение квадратных систем по методу Крамера. Метод Гаусса.
В аудитории [10, NN 6.2, 6.7 – метод Крамера, в 6.7 найти одно из неизвестных, а потом перейти к решению методом Гаусса до конца, 6.18 – метод Гаусса, 6.25 – метод Гаусса, предварительно убедившись, что определитель матрицы системы равен нулю, 6.17, дополнительно 6.26, 6.28]
Дома [10, NN 6.3, 6.5 – двумя способами, 6.17, 6.19, 6.20, 6.22, 6.23, 6.34(*)].
ЗАНЯТИЕ 9. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
ЗАНЯТИЕ 10. Поиск фундаментальной системы решений однородных системы линейных алгебраических уравнений, выписывание общего решения основной системы линейных алгебраических уравнений в векторном виде.
В аудитории [10, NN 7.116,7.114, 7.117, 7.120, 7.122, запас - 7.119, 7.125].
Дома [10, NN 6.21, 7.115, 7.118, 7.121, 7.123, 7.124].
ЗАНЯТИЕ 11. Квадратичные формы (приведение к каноническому виду и проверка знакоопределенности).
В аудитории [10, NN 9.59 – для разминки, 9.62, 9.64 – сведение к каноническому, причем один из примеров рассмотреть и через выделение полных квадратов, и по методу Якоби, 9.77, 9.78 (взять функцию со знаком «минус»), 9.74 – или любые другие три примера, чтобы квадратичные формы оказались разными по знакоопределенности; 9.66, 9.69, 9.72].
Дома [10, NN 9.63, 9.64 – сведение к каноническому виду, определить знак квадратичной формы для 9.62, 9.65, 
, а так же 9.68, 9.70, 9.71].
ЗАНЯТИЕ 12. Проверка системы векторов на линейную зависимость, определение базиса системы векторов, разложение элементов по базису.
В аудитории [10, NN 7.23,7.25, 7.28, 7.45 и 7.48 (в этих примерах – а) проверить систему на линейную зависимость, б) выделить базис, в) не вошедшие в базис вектора разложить по базису)].
Дома [10, NN 7.24, 7.26, 7.27, 7.44, 7.47, 7,40(*)].
ЗАНЯТИЕ 13. Нахождение характеристических значений и собственных векторов линейных операторов. На занятии: рассмотреть матрицу 
и номера [9, NN 9]. Дома [9, NN 9.8, 9.9, 9.11, 9.12].
ЗАНЯТИЕ 14. Скалярное произведение векторов. Евклидовы пространства, ортонормированные базисы.
В аудитории и дома [10, 1.17-1.19, 1.24, 7.99, 7.101 (только проверка ортогональности и ортонормированности), 7.92-7.97 выборочно]
ЗАНЯТИЕ 15. Самостоятельная работа.
[1] Данная тема разбирается только в сильных по составу группах.
