Физика (стр. 3 )

, (2)

где - изменение угловой скорости маховика при торможении; - время торможения.

Момент инерции маховика в виде сплошного диска определяется по формуле

.

Изменение угловой скорости выразим через конечную п2 и начальную п1 частоты вращения, пользуясь соотношением :

.

Подставив в формулу (2) выражения для и , полу­чим

. (3)

Проверим, дает ли расчетная формула единицу мо­мента силы (Н-м). Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы измерения:

.

Произ­ведем вычисления, учитывая, что и :

.

Знак минус показывает, что момент сил трения ока­зывает на маховик тормозящее действие.

Пример 1.7. Платформа в виде сплошного диска радиу­сом R=1,5 м и массой m1=180 кг вращается около вертикальной оси с частотой n=10 мин-1 . В центре плат­формы стоит человек массой m2=60 кг. Какую линейную скорость v относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Решение. Согласно условию задачи, момент внеш­них сил относительно оси вращения z, совпадающей с геометрической осью платформы, можно считать рав­ным нулю. При этом условии проекция Lz момента им­пульса системы платформа – человек на ось z остается по­стоянной:

, (1)

где – момент инерции платформы с человеком отно­сительно оси z; – угловая скорость платформы.

Момент инерции системы равен сумме моментов инер­ции тел, входящих в состав системы, поэтому в началь­ном состоянии , а в конечном состоянии .

С учетом этого равенство (1) примет вид

, (2)

где значения моментов инерции и платформы и человека соответственно относятся к начальному состоя­нию системы; и – к конечному.

Момент инерции платформы относительно оси z при переходе человека не изменяется: .Мо­мент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материаль­ную точку, то его момент инерции в начальном состоя­нии (в центре платформы) можно считать равным нулю. В конечном состоянии (на краю платформы) момент инерции человека .

Подставим в формулу (2) выражения моментов инер­ции, начальной угловой скорости вращения платформы с человеком () и конечной угловой скорости (, где – скорость человека относительно пола):

.

После сокращения на R2 и простых преобразований находим скорость:

.

Проведем вычисления:

.

5. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

5.1. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа

В данном разделе физики изучаются свойства так называемых макроскопических, или термодинамических систем, состоящих из большого числа частиц. Количество вещества в макроскопической системе n измеряется в молях. 1 моль – это количество вещества, содержащего столько структурных единиц (атомов, молекул, частиц), сколько их содержится в изотопе углерода массой 0.012 кг. Число структурных единиц в моле называется числом Авогадро NA и равняется 1/моль. Физические величины, характеризующие состояние макроскопической системы, называются термодинамическими параметрами. Основными термодинамическими параметрами являются объем V, давление p и температура T. Параметры состояния системы могут изменяться с течением времени. Любое изменение хотя бы одного из термодинамических параметров макросистемы называется термодинамическим процессом. Между термодинамическими параметрами системы существует определенная связь, называемая уравнением состояния, которое в общем виде дается выражением Вид функции f зависит от природы макросистемы.

Наиболее простой для анализа макросистемой является идеальный газ. Эта система является довольно реалистичной моделью реального газа при не слишком высоких давлениях и не слишком низких температурах. Для облегчения анализа в этой модели предполагается, что:

1)  молекулы газа являются материальными точками, взаимодействующими между собой и со стенками сосуда только при столкновениях, которые можно считать абсолютно упругими;

2)  в промежутках между столкновениями молекулы движутся равномерно и прямолинейно, причем продолжительность такого свободного движения много больше продолжительности процесса соударения.

Для произвольной массы идеального газа M уравнение состояния (уравнение Менделеева-Клапейрона) имеет вид:

где m - молярная масса вещества (масса одного моля), R=8.31 Дж/(моль К) – универсальная газовая постоянная. Часто пользуются несколько иной формой уравнения состояния идеального газа, применяя постоянную Больцмана: В этом случае

где n – концентрация молекул (число молекул в единице объема газа).

Следствиями уравнения состояния идеального газа являются газовые законы, справедливые для так называемых изопроцессов.

Закон Бойля-Мариотта: для данной массы газа, находящегося при постоянной температуре (изотермический процесс), произведение давления газа и его объема есть величина постоянная:

при

Закон Гей-Люссака: для данной массы газа, находящейся при постоянном давлении (изобарический процесс), отношение объема газа к его абсолютной температуре есть величина постоянная:

при

Закон Шарля: для данной массы газа, находящейся при постоянном объеме (изохорический процесс), отношение давления газа к его абсолютной температуре есть величина постоянная:

при

Закон Дальтона: давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений газов, образующих эту смесь:

где pi – парциальное давление i-го газа, т. е. давление, которое оказывал бы i-й газ, если бы он один занимал объем, равный объему смеси при той же температуре.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа связывает термодинамические параметры идеального газа с характеристиками движения его молекул, т. е. устанавливает зависимость между давлением p, концентрацией молекул газа n и средней кинетической энергией их поступательного движения :

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа пропорциональна абсолютной температуре:

Из этого уравнения следует, что при Т=0 К т. е. при 0 К прекращается поступательное движение молекул идеального газа, а, следовательно, его давление равно нулю. Таким образом, термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа.

Средняя кинетическая энергия молекул идеального газа равномерно распределена по их степеням свободы. Числом степеней свободы молекулы i называется число независимых движений, на которые можно разложить любое ее сложное движение, или число независимых переменных, однозначно определяющих положение молекулы в пространстве. Согласно теореме о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул, на каждую степень свободы молекулы приходится в среднем одинаковая кинетическая энергия, равная kT/2. Любые молекулы имеют 3 поступательные степени свободы, соответствующие поступательным движениям в направлении трех координатных осей. Двухатомные молекулы с жесткой связью между молекулами (например, молекулы O2, H2, N2 и др.) имеют еще по 2 вращательных степени свободы, соответствующие вращениям вокруг двух осей, перпендикулярных оси молекулы и друг другу (i=5). Молекулы, состоящие из трех и более атомов (CO2, H2O, CH4 и др.), имеют 3 вращательных степени свободы, соответствующие вращениям вокруг трех взаимно перпендикулярных осей. Наконец, при высоких температурах (порядка 103-104 К) возбуждаются колебательные степени свободы молекул. Каждой колебательной степени свободы соответствует средняя кинетическая энергия kT/2 плюс такая же величина потенциальной энергии.

Среди различных состояний любой макроскопической системы особое место занимают равновесные состояния. Это состояния, в которых параметры системы не изменяются со временем, в системе отсутствуют потоки тепла, молекул и их импульса, причем для поддержания такого состояния не нужны никакие внешние воздействия на систему. В состоянии термодинамического равновесия в системе устанавливаются:

- равномерное распределение частиц по объему системы (в отсутствие внешних полей);

- равновероятное распределение молекул по направлениям скорости;

- максвелловское распределение молекул по значениям модуля скорости.

Закон распределения молекул по скоростям Максвелла описывается некоторой функцией f(V), которая называется функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон скоростей v молекул на малые интервалы, равные dv, то на каждый такой интервал будет приходиться некоторое число молекул dN(v), имеющих скорости, заключенные в интервале от v до v+dv. Функция f(v) определяет относительное число молекул dN(v)/N, скорости которых лежат в указанном интервале:

(здесь N – общее число молекул в системе). Максвелл установил конкретный вид функции f(v):

Из этого выражения видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (массы его молекул m) и от температуры Т. График функции распределения приведен на рис.2.1.

Относительное число молекул dN(v)/N, скорости которых лежат в интервале от v до v+dv, находится как площадь заштрихованной полоски. Из графика следует, что функция распределения стремится к нулю при и и проходит через максимум при некоторой скорости vв, называемой наиболее вероят-

ной, или вероятнейшей скоростью. Продифференцировав функцию распределения Максвелла и приравняв производную нулю, можно показать, что

Наряду с наиболее вероятной скоростью, распределение молекул по скоростям можно характеризовать средней и средней квадратичной скоростями. Они определяются выражениями:

и ,

где vi – скорость i-й молекулы.

Используя функцию распределения Максвелла, можно показать, что

и

Значения vв, и представлены на рис.2.1, причем =1.13 vв , =1.22 vв.

Распределение молекул идеального газа по кинетическим энергиям определяет долю dN(e)/N из общего числа N молекул, которые имеют кинетические энергии заключенные в интервале от e до e+de :

где f(e) – функция распределения молекул по кинетическим энергиям.

Если газ находится во внешнем силовом поле (например, в поле силы тяжести), распределение его молекул по объему перестает быть равномерным. В этом случае концентрацию молекул в той области пространства, где их потенциальная энергия во внешнем поле равняется U, может быть найдена из формулы, выражающей распределение Больцмана молекул по потенциальным энергиям:

где n0- концентрация молекул в той области, где их потенциальная энергия принята равной нулю.

Используя распределение Больцмана, известное уравнение и выражение для потенциальной энергии молекулы в поле силы тяжести , можно получить так называемую барометрическую формулу, определяющую зависимость давления газа от высоты h:

где p0 – давление на высоте h=0, т. е. на уровне моря.

В ходе своего хаотического теплового движения каждая молекула пробегают различные расстояния от одного соударения с другими молекулами до другого. Промежутки времени между двумя последовательными соударениями также изменяются хаотически. Однако можно ввести среднюю длину свободного пробега молекул, т. е. среднее расстояние, пробегаемое молекулой между соударениями, и среднюю частоту соударений , т. е. среднее число соударений, испытываемое молекулой за 1 секунду. Можно показать, что

и

где - эффективный диаметр молекул, значения которого для различных газов приводятся в таблицах.

5.2. Основы термодинамики

Важной характеристикой термодинамической системы является ее внутренняя энергия U, т. е. энергия хаотического теплового движения всех молекул и энергия их взаимодействия между собой. При высоких температурах появляются дополнительные слагаемые внутренней энергии – кинетическая энергия колебаний атомов внутри молекулы и потенциальная энергия их взаимодействия.

Для идеального газа, молекулы которого не взаимодействуют на расстоянии, при не слишком высоких температурах можно считать, что внутренняя энергия равна сумме энергий теплового движения всех молекул. Тогда внутренняя энергия, приходящаяся на одну молекулу, равна а внутренняя энергия произвольной массы газа М определяется выражением:

Возможны два различных способа изменения энергии макросистемы при ее взаимодействии с внешней средой: путем совершения работы и путем теплообмена. Работа совершается при силовом взаимодействии системы с окружающими телами и сопровождается направленным перемещением тел, ограничивающих систему (например, движением поршня в цилиндре). При этом всегда изменяется объем системы. При бесконечно малом его изменении совершается работа а при конечном изменении объема от V1 до V2 работа определяется выражением:

При теплообмене имеет место передача кинетической энергии хаотического теплового движения от внешних тел к системе или наоборот. Количество энергии, переданное системе в результате теплообмена, называется теплотой, или количеством теплоты. Важной характеристикой теплообмена является теплоемкость.

Теплоемкость тела С равна количеству теплоты, необходимому для нагревания этого тела на 1 К:

Дж/К

(здесь dT – изменение температуры тела при сообщении ему теплоты ).

Удельная теплоемкость вещества с – количество теплоты, необходимое для нагревания 1 килограмма вещества на 1 К:

Дж/(моль К).

(М – масса тела).

Молярная теплоемкость вещества (c) – количество теплоты, необходимое для нагревания 1 моля вещества на 1 К:

Дж/(моль К).

Теплоемкость зависит от того, в каких условиях протекает процесс теплообмена. Поэтому различают теплоемкость при постоянном объеме (с)V и теплоемкость при постоянном давлении (c)P.

Первый закон (начало) термодинамики устанавливает связь между подведенной к системе теплотой Q, изменением внутренней энергии системы DU и работой А, совершенной системой над внешними телами:

.

Для бесконечно малого изменения состояния системы уравнение первого закона термодинамики примет вид:

,

где dU – бесконечно малое изменение внутренней энергии системы, - бесконечно малая работа, - бесконечно малое количество теплоты.

Первый закон термодинамики позволяет рассчитать теплоемкость и работу расширения идеального газа при различных изопроцессах.

Например, при изохорическом процессе dV=0 и, следовательно, Тогда и

При изобарическом процессе и поскольку, согласно уравнению Менделеева-Клапейрона, при этом получаем и, наконец,

Работа расширения идеального газа при изобарическом процессе определяется выражением:

При изотермическом процессе в предыдущее подынтегральное выражение, согласно уравнению Менделеева-Клапейрона, подставим и после интегрирования получим:

Адиабатическим называется процесс, при котором отсутствует теплообмен между макросистемой и окружающей средой ( Из первого закона термодинамики следует, что для адиабатического процесса т. е. работа против внешних сил совершается системой за счет уменьшения ее внутренней энергии. При адиабатическом процессе изменяются все три термодинамических параметра: p, V и Т. Связь между ними определяется одним из следующих соотношений: (уравнение Пуассона), или В этих соотношениях безразмерная величина

называется коэффициентом Пуассона, или показателем адиабаты.

Работа, совершаемая газом при адиабатическом изменении объема, определяется выражениями:

Круговым процессом (циклом) называется процесс, при котором система, пройдя через ряд состояний, возвращается в исходное состояние. Следовательно, полное изменение внутренней энергии системы в ходе цикла равно нулю и первый закон термодинамики принимает вид: т. е. работа, совершаемая за цикл, равна количеству теплоты, полученной системой в ходе цикла. В циклическом режиме работают тепловые машины. Известно, что для того, чтобы тепловая машина совершила за цикл положительную (полезную) работу, она должна после получения некоторого количества теплоты от нагревателя Q1 и совершения полезной работы при расширении газа, понизить его температуру, отдав некоторое количество теплоты Q2 холодильнику (например, окружающему воздуху), и только после этого возвращаться в исходное состояние. Таким образом, общее количество теплоты, полученное машиной в ходе цикла, равняется Поэтому коэффициент полезного действия любой тепловой машины определяется выражением:

Французским физиком С. Карно предложен так называемый идеальный цикл Карно, при котором теплота наиболее эффективно превращается в полезную работу. Этот цикл состоит из двух изотермических и двух адиабатических процессов. С. Карно показал, что ни одна из тепловых машин не может иметь КПД выше, чем КПД идеального цикла Карно при тех же температурах нагревателя Т1 и холодильника Т2. В свою очередь, КПД идеального цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и определяется только указанными температурами:

Опыт показывает, что все процессы, протекающие в изолированных макросистемах необратимы. Это означает, что они проходят в определенном направлении и не могут самопроизвольно проходить в противоположном направлении. Существует термодинамическая величина, зависящая от состояния системы, которая единообразно изменяется при всех необратимых процессах в изолированных системах и называется энтропией. Согласно второму закону (началу) термодинамики, при всех необратимых процессах в изолированных макросистемах энтропия системы возрастает и в состоянии термодинамического равновесия достигает максимума.

Изменение энтропии при любом процессе можно рассчитать по формуле

где - бесконечно малое количество теплоты, полученное системой на бесконечно малом участке процесса, Т – температура этого участка.

5.3. Примеры решения задач

Пример 2.1. Посредине откачанного и запаянного с обоих концов капилляра, расположенного горизонтально, находится столбик ртути длиной l=20 см. Если капилляр поставить вертикально, то столбик ртути переместится на Dl=10 см. До какого давления p0 был откачан капилляр? Длина капилляра L=1 м.

Решение. Объем воздуха с каждой стороны от столбика ртути при горизонтальном положении капилляра (рис.2.2а):

где S – площадь поперечного сечения капилляра, Давление в этом положении равно p0.

При вертикальном положении капилляра (рис.2.2б) объем воздуха в его верхней части давление равно p1. Т. к. Т=const, то по закону Бойля-Мариотта или

(1)

Давление р2 в нижней части капилляра складывается из давления воздуха р1 и давления столбика ртути р. Тогда для нижней части капилляра

(2)

Решая совместно уравнения (1) и (2), найдем

В условиях данной задачи Отсюда

Пример 2.2. В сосуде находится количество молей кислорода и масса азота. Температура смеси давление в сосуде Найти объем сосуда V, парциальные давления р1 и р2 кислорода и азота и число молекул п в единице объема сосуда.

Решение. По закону Дальтона,

(1)

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона,

(2)

и

(3)

где m1 – молярная масса кислорода, m2 – молярная масса азота. Решая (1)-(3), получим

или

откуда

Парциальное давление кислорода р1 найдем из уравнения Менделеева-Клапейрона откуда Парциальное давление азота Для нахождения числа молекул п в единице объема сосуда воспользуемся уравнением состояния идеального газа в форме Тогда

Пример 2.3. Какое число молекул N двухатомного газа содержит объем при давлении и температуре ? Какой энергией теплового движения U обладают эти молекулы?

Решение. Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона,

Количество вещества где N – число молекул в данном объеме вещества, NA – число Авогадро. Тогда Но - постоянной Больцмана. Отсюда получаем и, наконец,

Энергия теплового движения двухатомных молекул идеального газа – это его внутренняя энергия:

где Тогда

Пример 2.4. Какая часть молекул кислорода при обладает скоростями от до ?

Решение. Вычисление вероятностей с использованием функции распределения молекул по скоростям Максвелла

(1)

затруднительно, т. к. эта функция зависит не только от скорости, но и от температуры. Число переменных можно сократить, если перейти к безразмерному параметру – относительной скорости молекул , где vв – вероятнейшая скорость молекул:

(2)

Подстановка (2) в (1) дает:

(3)

где - число молекул, имеющих относительную скорость в пределах от до По условия, и Наиболее вероятная скорость Тогда Подставляя в (3) числовые значения, найдем Т. е. число молекул, скорости которых лежат в заданном интервале, равно 0,4% заданного числа молекул.