Физика (стр. 4 )

Пример 2.5. На какой высоте h плотность газа вдвое меньше его плотности на уровне моря? Температуру газа считать постоянной и равной Задачу решить для: а) воздуха, б) водорода.

Решение. Из уравнения Менделеева-Клапейрона можно получить выражение для плотности газа :

. (1)

Согласно барометрической формуле,

Поэтому плотности газа на уровне моря и на высоте h равны

и

По условию, тогда или Прологарифмируем полученное выражение: отсюда

a)  для воздуха б) для водорода

Пример 2.6. В сферической колбе объемом находится азот. При какой плотности азота средняя длина свободного пробега молекул азота становится больше размеров сосуда?

Решение. Т. к. колба сферическая, то ее объем

Отсюда диаметр колбы Средняя длина свободного пробега молекул

(1)

Из уравнения состояния идеального газа в форме найдем концентрацию молекул

(2)

Плотность газа можно выразить из уравнения Менделеева-Клапейрона (см. предыдущий пример): Отсюда давление Подставив это выражение в (2), получим и после подстановки данного результата в (1):

По условию, следовательно,

Значит, плотность должна быть

Пример 2.7. Найти внутреннюю энергию U массы М=20 г кислорода при температуре Какая часть этой энергии приходится на долю поступательного движения молекул и какая часть на долю вращательного движения?

Решение. Внутренняя энергия кислорода

Здесь число степеней свободы из них приходится на долю поступательного движения и - на долю вращательного движения. Следовательно, при полной внутренней энергии

3/5 этой энергии приходится на долю поступательного движения (2,2 кДж) и 2/5 – на долю вращательного движения (1,5 кДж).

Пример 2.8. Масса кислорода находится при давлении и температуре После нагревания при p=const газ занял объем Найти количество теплоты Q, полученное газом, изменение внутренней энергии газа и работу А, совершенную газом при расширении.

Решение. Количество теплоты, полученное газом, определяется следующим соотношением:

(1)

Молярная теплоемкость кислорода при p=const Запишем уравнения состояния газа до и после нагревания:

(2)

(3)

Вычитая из уравнения (3) уравнение (2), получим

(4)

Из (2) (5)

Выразим из (4) с учетом (5):

(6)

Тогда уравнение (1) можно записать в виде

Изменение внутренней энергии кислорода или, подставляя (6),

Работа, совершаемая при изменении объема газа или, с учетом (5),

Пример 2.9. Масса кислорода, находящегося при нормальных условиях, сжимается до объема Найти давление p2 и температуру Т2 кислорода после сжатия, если кислород сжимается: а) изотермически; б) адиабатически. Найти работу А сжатия в каждом из этих случаев.

Решение. а) При изотермическом сжатии газа T=const, поэтому Из уравнения Менделеева-Клапейрона, давление Работа при изотермическом сжатии

б) Поскольку кислород – двухатомный газ, Из уравнения Пуассона

(1)

или (2)

Разделим (1) на (2): или Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона, тогда Подставим в (1) откуда

Подставим в (2) откуда

Работа при адиабатическом сжатии

Пример 2.10. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно (рис.2.3). Воздух при давлении и температуре занимает объем После изотермического расширения воздух занял объем после адиабатического расширения объем стал равным Найти: а) координаты пересечения изотерм и адиабат; б) работу А, совершаемую на каждом участке цикла; в) полную работу А, совершаемую за весь цикл; г) к. п.д. h цикла; д) количество теплоты Q1, получаемое машиной за один цикл от нагревателя; е) количество теплоты Q2, отдаваемое за один цикл холодильнику.

Решение. а) Запишем уравнение изотермы АВ (рис.2.3):

(1)

Поскольку точка А принадлежит АВ, то откуда Тогда (1) можно записать в виде По закону Бойля-Мариотта для точки В Точки В и С принадлежат адиабате ВС, следовательно, откуда Уравнение изотермы CD имеет вид отсюда Координаты точек D и А удовлетворяют уравнению адиабаты DA, следовательно, откуда Кроме того, откуда Таким образом, координаты искомых точек: здесь объем измеряется в литрах, давление – в килопаскалях.

б) Работа на участке АВ (изотерма):

Работа на участке ВС (адиабата):

Работа на участке CD (изотерма):

Работа на участке DA (адиабата):

в) Работа за полный цикл

г) К. п.д. цикла

д) Количество теплоты, полученное от нагревателя за один цикл,

е) Количество теплоты, отданное холодильнику за один цикл

Пример 2.11. Масса кислорода нагревается от температуры до температуры Найти изменение энтропии, если нагревание происходит: а) изохорически; б) изобарически.

Решение. а) При изохорическом нагревании где Тогда изменение энтропии

Т. к. кислород – двухатомный газ, то число степеней свободы и изменение энтропии

б) При изобарическом расширении изменение энтропии где Удельная теплоемкость при постоянном давлении тогда

6. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО

6.1. Электростатика

Свойства электрических зарядов:

1)  Электрические заряды бывают двух типов – положительные и отрицательные. Суммарный положительный заряд в природе в точности равен суммарному отрицательному заряду.

2)  Электрические заряды взаимодействуют между собой – одноименные заряды отталкиваются, разноименные – притягиваются. Это взаимодействие описывается законом Кулона:

,

где - сила взаимодействия точечных зарядов и , - расстояние между зарядами, - диэлектрическая проницаемость среды, - электрическая постоянная.

3)  Электрический заряд системы равен алгебраической сумме зарядов подсистем, образующих данную систему (свойство аддитивности):

.

4)  Закон сохранения электрического заряда: суммарный электрический заряд изолированной системы есть величина постоянная, т. е. с течением времени не изменяется

.

5)  Все известные в природе электрические заряды кратны элементарному заряду, носителем которого является электрон

Переносчиком взаимодействия между электрическими зарядами служит электрическое поле. Силовой характеристикой электрического поля является напряженность - ВФВ, равная силе, действующей на единичный положительный заряд, помещенный в данную точку поля

.

Напряженность поля, создаваемого точечным зарядом

,

где - расстояние от заряда до точки, в которой опре­деляется напряженность.

Графически электрические поля изображаются с помощью силовых линий. Это воображаемые линии, проведенные таким образом, что в каждой точке силовой линии вектор направлен по касательной к этой линии. В электростатике силовые линии всегда начинаются на положительных и оканчиваются на отрицательных зарядах (рис.3.1).

Электрические поля не взаимодействуют друг с другом, поэтому для них справедлив принцип суперпозиции: суммарная напряженность электрического поля в данной точке пространства равна векторной сумме напряженностей всех полей, существующих в данной точке

.

Пример применения принципа суперпозиции для случая двух зарядов приведен на рис.3.2.

Электростатическое поле потенциально. Его энергетической характеристикой является потенциал . Это СФВ, численно равная работе силы Кулона по перемещению единичного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность

.

Потенциальная энергия взаимодействия заряда с электростатическим полем может быть записана в виде

.

Работа сил поля по перемещению заряда из точки поля с потенциалом в точку с потенциалом

.

Потенциал поля, создаваемого точечным зарядом

,

где - расстояние от заряда до точки, в которой опре­деляются напряженность и потенциал.

Если в данной точке пространства существует несколько электрических полей, то результирующий потенциал находится по принципу суперпозиции

.

Напряженность и потенциал поля, создаваемого про­водящей заряженной сферой радиусом R на расстоянии от центра сферы:

, при ,

, при ,

, , при ,

где - заряд сферы, - диэлектрическая проницаемость окружающей сферу среды.

Для расчета электрических полей. создаваемых протяженными заряженными проводниками, существует два основных способа:

1) Применение принципа суперпозиции. Если заряд равномерно распре­делен вдоль линии с линейной плотностью , то на линии выделяется малый участок длиной с зарядом . Такой заряд можно рассматривать как точечный и применять формулы

, ,

где - радиус-вектор, направленный от выделенного элемента к точке, в которой вычисляются напряжен­ность и потенциал (рис.3.3). Результирующие напряженность и потен­циал поля, создаваемого распределенным зарядом находим интегрированием

, .

Здесь интегрирование ведется вдоль всей длины заряжен­ной линии. По этой же схеме поступают в случаях двумерного и трехмерного распределения зарядов.

2) Применение теоремы Гаусса: Поток вектора через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охваченных данной поверхностью, деленной на

.

В этом методе сначала вокруг заряженного тела или его части выбирают воображаемую замкнутую поверхность (как правило, в виде сферы или цилиндра), затем считают интеграл, стоящий в левой части теоремы Гаусса, а потом полученное алгебраическое выражение приравнивают правой части теоремы. Отсюда находят формулу для модуля . Например:

Напряженность поля, создаваемого бесконечной, пря­мой равномерно заряженной нитью или бесконечно длинным цилиндром

,

где - расстояние от нити или оси цилиндра до точки, напряженность поля в которой определяется, - линейная плотность заряда.

Напряженность поля, создаваемого бесконечной, рав­номерно заряженной с поверхностной плотностью заряда , плоскостью

.

Связь потенциала с напряженностью:

а) или в об­щем случае;

б) в случае однородного поля;

в) в случае поля, обладающего централь­ной или осевой симметрией.

6.2. Электрическое поле в веществе

Все вещества можно условно разделить на две большие группы – диэлектрики и проводники.

Диэлектрики всегда ослабляют внешнее электрическое поле. Количественной характеристикой такого ослабления является диэлектрическая проницаемость среды . Это безразмерная величина. Она показывает, во сколько раз поле в веществе слабее, чем поле в вакууме

,

где - напряженность электрического поля в вакууме, а - в веществе.

Проводники, из-за наличия в них почти свободных носителей зарядов, полностью компенсируют в своем объеме внешнее электрическое поле, т. е. поле внутри проводника отсутствует.

Если проводнику сообщают электрический заряд, то он распределяется только в тонком приповерхностном слое проводника, при этом неравномерно – поверхностная плотность заряда ( ) на выступах значительно больше, чем во впадинах. Электрическое поле, возникающее вокруг заряженного проводника, получается неоднородным, однако, все точки проводника имеют одинаковый потенциал, т. е. объем проводника является эквипотенциальным объемом, а поверхность – эквипотенциальной поверхностью.

Между зарядом на проводнике и его потенциалом существуют прямо пропорциональная зависимость

,

где - электроемкость проводника. Электроемкость характеризует способность проводника накапливать электрический заряд. Она зависит от формы и размеров проводника и диэлектрических свойств окружающей проводник среды. Уединенные проводники обладают малой электроемкостью. Значительно больше она у конденсатора – системы, состоящей из двух близкорасположенных проводников.

Если конденсатор заряжен, то на его обкладках находятся одинаковые по модулю, но противоположные по знаку заряды. При этом электрическое поле сосредоточено преимущественно в объеме между обкладками конденсатора. Электроемкость конденсатора находится как

,

где - заряд на одной обкладке, - разность потенциалов между обкладками.

Электроемкость плоского конденсатора

,

где - площадь пластины (одной) конденсатора, d - расстояние между пластинами, - диэлектрическая проницаемость вещества, находящегося между пластинами конденсатора.

На практике конденсаторы соединяют между собой двумя способами – последовательно и параллельно. При последовательном подключении между собой соединяются разноименно заряженные пластины соседних конденсаторов (рис.3.4). Емкость батареи при этом уменьшается, но уменьшается и разность потенциалов между пластинами каждого конденсатора. При таком способе подключения заряд на всех конденсаторах одинаков. При параллельном подключении соединяются одноименно заряженные пластины соседних конденсаторов (рис.3.5). Емкость батареи возрастает, а разность потенциалов на всех конденсаторах одинакова.

Электроемкость батареи конденсаторов:

а) - при последовательном соединении,

б) - при параллельном соединении,

где N — число конденсаторов в батарее.

Энергия заряженного конденсатора

.

6.3. Постоянный ток

Электрическим током называется направленное движение электрических зарядов. Чтобы в образце потек электрический ток, необходимо

- существование в образце свободных носителей заряда;

- наличие разности потенциалов между концами образца.

Традиционно за направление тока принимают направление движения положительных зарядов.

Сила постоянного тока , где Q — заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время t. Для тока, изменяющегося во времени, .

Плотность тока , где - площадь поперечного сечения проводника.

Связь плотности тока со средней скоростью ( ) направленного движения заряженных частиц , где Q - заряд частицы, п - концентрация заряженных частиц.

Закон Ома:

а) - для участка цепи, не содержащего ЭДС, где - разность потенциалов на концах участка цепи, R — сопротивление участка;

б) - для участка цепи, содержащего ЭДС, где - ЭДС источника тока, - полное сопро­тивление участка (сумма внешних и внутренних сопро­тивлений);

в) - для замкнутой (полной) цепи, где R - внешнее сопротивление цепи, - внутреннее сопротив­ление цепи.

Электродвижущая сила (ЭДС) источника тока – СФВ, численно равная работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда с одного полюса источника на другой:

Сопротивление R и проводимость проводника

, ,

где - удельное сопротивление, - удельная прово­димость, - длина проводника, - площадь поперечно­го сечения проводника.

Сопротивление системы проводников:

а) при последовательном соединении,

б) при параллельном соединении, где и - сопротивление и проводимость i-ro проводника.

Для большинства проводников их сопротивление линейно увеличивается с ростом температуры

,

где - удельное электросопротивление проводника при , - температура по шкале Цельсия, - температурный коэффициент сопротивления.