Статистические методы расчета кинетических коэффициентов переноса газа (стр. 3 )

Рассмотрим теперь перенос энергии непосредственно вблизи стенки. Температура газа у стенки в результате конечности длины свободного пробега не может быть равной температуре стенки T. Для молекул, летящих на стенку, температура равна:

. (3.69)

Здесь aw2 - безразмерная константа порядка 1.

Средняя температура по молекулам, летящим от стенки с T = T0 и по молекулам, летящим в слое Кнудсена на поверхность, будет определяться следующим выражением:

. (3.70)

Таким образом, при наличии градиента температуры, перпендикулярного к поверхности, в газе наблюдается скачок температуры

. (3.71)

Величина носит название коэффициента температурного скачка. Для полностью диффузного отражения молекул поверхностью . В соответствии с (3.71) длина релаксации энергии , что в 3,68 раза больше длины релаксации импульса ().

3.1.10.3. Диффузия

В рамках элементарной кинетической теории легко получить выражение только для коэффициента самодиффузии. В опыте этому явлению соответствует взаимная диффузия изотопов одного элемента. Рассмотрим бинарную газовую смесь изотопов, однородную по температуре и давлению, состав которой меняется с z. Ввиду того, что молекулы разных изотопов практически одинаковы, при диффузии в первоначально однородной по давлению и температуре смеси в ней не возникает градиентов этих параметров (см. рис.3.13).

Снова будем искать поток молекул через единицу поверхности плоскости z = a. Сверху вниз эту поверхность за единицу времени будет пересекать

(3.72)

молекул первого компонента, а снизу -

молекул того же компонента. Здесь a3 - безразмерная константа порядка 1.

Диффузия в бинарной смеси газов

Рис.3.13.

Результирующая плотность диффузионного потока в положительном направлении оси z запишется так:

. (3.73)

Для второго компонента выражение будет аналогичным:

. (3.74)

Так как плотность смеси n = n1 + n2 = const, то dn1/dz = – dn2/dz. Имея ввиду, что коэффициент диффузии определяется в соответствии с выражением

, (3.75)

найдем разность скоростей:

. (3.76)

Сравнивая с (3.75), легко определить коэффициент взаимной диффузии изотопов (коэффициент самодиффузии):

. (3.77)

Из (3.77) видно, что коэффициент диффузии случайного блуждания с точностью до неопределенных в элементарных теориях констант совпадает с коэффициентом самодиффузии.

Коэффициент D12 в силу того, что l ~ 1/n, обратно пропорционален давлению газа. Отношение

(3.78)

носит название числа Шмидта и для одноатомных газов равно 2/3. Это означает, что длины релаксации переноса числа частиц и импульса отличаются на ~ 30%. Выражение для разности скоростей компонентов, подобное (3.75), можно составить и в свободномолекулярном режиме, действительно, в соответствии с формулой Кнудсена

(3.79)

и, следовательно,

.

Учитывая, что Dn1 = – Dn2 (в условиях n = const), получим:

. (3.80)

По аналогии с (3.75) можно ввести коэффициент самодиффузии в свободномолекулярном режиме:

. (3.81)

Если число Kn ~ 1, то диффузионное сопротивление оказывают оба типа столкновений: молекул газа друг с другом и молекул газа со стенкой. Естественно полагать, что сопротивления по обоим типам столкновений необходимо складывать, для того, чтобы получить общее сопротивление. Поэтому можно записать выражение для обратного коэффициента диффузии в промежуточном режиме в следующем виде:

. (3.82)

Формула (3.82) описывает опытные данные во всем диапазоне чисел Кнудсена с ошибкой, не превышающей 10%.

3.1.11. Общие особенности элементарных кинетических теорий

Подводя итоги элементарного кинетического рассмотрения явлений переноса, необходимо отметить следующее:

1. Выражения для кинетических коэффициентов удалось получить, совершенно не применяя законов механики движения частиц, законов рассеяния.

2. Сравнение теории и эксперимента показывает, что предположения элементарной кинетики, основанные на идеях квазиравновесности и полной «потери памяти» об энергии и импульсе в каждом столкновении, в основном, оправдываются, являются адекватными природе механизмов переноса.

3. Однако одновременно мы убедились, что ряд задач по предсказанию кинетических коэффициентов трудно решить в рамках элементарной кинетики. Некоторые кинетические коэффициенты перестают быть равными нулю только при учете эффектов «памяти» об энергии и импульсе частицы до столкновения и, поэтому, их вообще невозможно предсказать с помощью элементарной кинетической теории. Эта теория даже в простейших случаях учета одного типа столкновений в однокомпонентном газе не позволяет установить численных значений кинетических коэффициентов. При переходе к учету столкновений различного типа и описанию различных смесей с разными длинами свободного пробега для компонентов элементарная теория становится либо совсем бессильной, либо привносит такое количество неточностей и неуверенности в предсказаниях, что ее использование становится нецелесообразным, несмотря на преимущество простоты.

Следующая часть книги будет посвящена строгим методам предсказания кинетических явлений на основе расчета функции распределения молекул f(r, u, t).

3.2. Основные понятия строгой кинетической теории

3.2.1. Неравновесная функция распределения и ее моменты

3.2.1.1. Общее понятие о функции распределения

Рассмотрим какое-либо поле течения газа, например, выбрасываемого из сопла ракеты, находящейся вне пределов земной атмосферы. Эксперименты показывают, что плотность газовых частиц на носике ракеты столь высока, что это можно объяснить только попаданием в эту область части частиц, выбрасываемых из сопла. В рамках механики сплошных сред такое испускание молекул сгоревшего топлива в сторону носика ракеты объяснить невозможно. Требуется более подробное описание с помощью функции распределения молекул по скоростям и координатам. Например, определение потока частиц, выброшенных из сопла, в направлении, совпадающем с направлением ракеты, возможно только с помощью функции распределения по скоростям. Знать функцию распределения - это означает возможность указать в любой момент времени в любом элементе физического пространства dr число молекул, обладающих скоростями от u до u + du.

Таким образом, функция распределения задается так, что f(r, u, t)drdu есть среднее число частиц, находящихся в элементе физического пространства dr в момент времени t и обладающих скоростями в интервале от u до u + du, причем f(r, u, t) является функцией семи переменных. Это затрудняет ее графическое представление. Особенно сложно представить себе функции скоростей. Поэтому полезно использовать следующий прием: f(u) рассматривают в сферической системе координат пространства скоростей u=u(u, q, j). Распределение по модулю скорости u можно наносить на график отдельно, но это делают редко, так как это распределение, как правило, мало отличается от максвелловского.

Распределение по углам q, j направления скорости наносят на графики с помощью следующего приема: чертится вектор в избранном направлении (q, j) и его длина берется пропорциональной f(q, j) (т. е. числу молекул, летящих в данном направлении). Эта процедура повторяется для всевозможных направлений. Геометрическое место концов таких векторов даст некоторую замкнутую поверхность, по форме которой судят об угловом распределении скоростей. На плоском листе бумаги удается изобразить только разрез полученной таким образом замкнутой поверхности.

Для газа, находящегося в абсолютном равновесии, угловое распределение изображается в виде сферы. Медленные течения будут характеризоваться угловыми распределениями, мало отличающимися от сферы, однако, именно эти отличия и будут определять все неравновесные потоки (см. рис.3.14).

Угловое распределение

Рис.3.14.

Неравновесный газ, истекающий в свободномолекулярном режиме в вакуум через отверстие в стенке колбы, будет иметь угловое распределение, показанное на рис.3.15.

Распределение газа, истекающего через отверстие

Рис.3.15.

Распределение характеризуется разрывом в пространстве скоростей:

С помощью специальных источников заданной мощности можно получать самые разнообразные угловые распределения. Довольно значительные возмущения дают расположенные в газе поверхности. Например, угловое распределение молекул в кнудсеновском слое для газа, текущего вдоль поверхности, будет иметь следующий вид (рис.3.16).

Угловое распределение в кнудсеновском слое

Рис.3.16.

Однако вдали от источников и границ следует ожидать, что угловые распределения будут плавными и не будут иметь разрывов. В этом случае особенно полезными для сокращенного количественного описания процессов переноса являются интегралы от функции распределения, умноженной на скорость частиц в различных степенях. Такие интегралы носят название моментов функции распределения. При плавных угловых распределениях уже несколько первых моментов функции распределения позволяют ее восстановить достаточно точно. Кроме того, первые моменты функции распределения соответствуют гидродинамическим величинам. Рассмотрим первые моменты функции распределения более подробно.

3.2.1.2. Первые моменты функции распределения

Нулевой момент связан с нормировкой функции на плотность частиц n(r, t):

. (3.83)

Первый момент определяет среднюю гидродинамическую скорость газа u(r, t):

. (3.84)

Выражение (3.84) прямо связано со стандартным способом определения средних:

;

Последующие моменты функции распределения, употребляющиеся в гидродинамике, связаны с системой отсчета, движущейся вместе с выделенным элементом объема газа со скоростью u.

Второй момент связан со средней кинетической энергией хаотического движения, приходящейся на одну молекулу (т. е. температурой):

, (3.85)

а также со средней плотностью неконвективного потока импульса или тензором напряжений:

, (3.86)

что означает следующую запись в проекциях:

. (3.87)

Из проекций скорости можно составить шесть независимых произведений. В соответствии с этим имеем симметричный тензор второго ранга Pij. Физический смысл выражения (3.87) следующий.

 - есть число молекул со скоростями в интервале , пересекающих за единицу времени единичную площадку, перпендикулярную оси j и закрепленную в движущемся со скоростью u элементе объема.

Каждая из этих молекул несет на себе проекцию импульса m(ui ‑ ui), поэтому подынтегральное выражение (3.87) есть плотность потока i-компоненты импульса через площадку, перпендикулярную j-оси. Интегрирование дает усреднение этой величины по всем возможным скоростям. Плотность потока i-компонента импульса через j-ую площадку в соответствии со вторым законом Ньютона представляет собой i-компоненту силы, приходящуюся на единицу площади j-ой площадки.

Гидростатическое давление есть средняя по всем ориентациям площадки сила нормального давления, приходящаяся на единицу площади:

. (3.88)

И, наконец, специальная свертка третьего момента функции распределения представляет собой плотность потока тепла:

. (3.89)

Физический смысл (3.89) также легко устанавливается. есть число частиц, ежесекундно пересекающих единичную площадку, ориентированную перпендикулярно оси i. Площадка покоится относительно движущегося со скоростью u элемента объема. Подынтегральное выражение (3.89) дает количество энергии, переносимое этими молекулами за единицу времени. Интеграл суммирует переносимую энергию по всем возможным скоростям.

При вычислении момента функции распределения f (r, u, t) ее умножают на некоторую функцию скорости y(u) и затем интегрируют по всем скоростям.

Величину y(u) принято называть при этом молекулярным признаком. Если в качестве молекулярного признака взять

,

то соответствующий момент дает нам плотность энтропии:

.

3.2.1.3. Характеристики смеси газов

Рассмотрим теперь особенности моментов функций распределения молекул компонентов газовой смеси fk(r, uk, t). Все парциальные моменты функции распределения k-ой компоненты fk(r, uk, t) получаются совершенно аналогично однокомпонентному газу. Однако необходимо уметь определять не только все парциальные газодинамические характеристики компонентов, но и иметь характеристики смеси в целом.

Числовая плотность смеси равна сумме парциальных плотностей компонентов:

. (3.90)

Массовая плотность определяется выражением:

. (3.91)

Плотность потока числа частиц смеси можно выразить так:

, (3.92)

а плотность потока массы записывается следующим образом:

. (3.93)

Равенства (3.92, 3.93) можно понимать как определения среднечисловой скорости w и среднемассовой скорости u0.

Напомним, что диффузионная плотность потока k-того компонента вводилась в локальной неравновесной термодинамике в соответствии со следующим выражением:

jk = nk(uk – u0), (3.94)

причем .

Тензор напряжений смеси определяется как сумма парциальных тензоров компонентов:

. (3.95)

Давление , а вектор плотности теплового потока также определяется через сумму парциальных тепловых потоков:

. (3.96)

Плотности потоков числа частиц (3.94), импульса (3.95) и тепла (3.96) для смесей принято определять относительно площадки, движущейся со среднемассовой скоростью u0.

3.2.2. Функция рассеяния парного столкновения газовых молекул

3.2.2.1. Понятие функции рассеяния

Рассмотрим малый элемент физического объема в газе. Если размер этого элемента много меньше характерного размера задачи, то пространственное распределение частиц и их столкновений в нем будет близко к однородному. Выберем в этом элементе пару сталкивающихся молекул, обладающих скоростями u1 и u2 до столкновения. Начало отсчета удобно при этом поместить в центр тяжести первой молекулы, которая в такой системе координат будет покоиться. Вторая молекула в этом случае характеризуется относительной скоростью g21 = u1 – u2, прицельным расстоянием b и азимутальным углом e. При заданных значениях g21, b и e, при известных массах частиц m1 и m2 и потенциале их взаимодействия на основе детерминистических законов механики могут быть найдены скорости молекул после столкновения и . При столкновениях частиц в рассматриваемом элементе будут реализованы всевозможные прицельные расстояния и азимутальные углы. Вероятность определенного значения скоростей после столкновения и будет определяться вероятностью осуществления соответствующих значений b и e. При однородном распределении частиц последняя вероятность, очевидно, должна быть пропорциональна площади элемента bdbde (рис.3.17).

Столкновение частиц

Рис. 3.17.

Таким образом, результат столкновения частиц с заданными скоростями u1 и u2, массами m1 и m2 и потенциалом взаимодействия без задания значений b и e не будет определенным. Для описания результата столкновения частиц со скоростями u1 и u2 до столкновения в этом случае необходимо вводить вероятность приобрести после столкновения скорости в интервалах и . Эту вероятность обозначим следующим образом:

.

В соответствии с физическим смыслом введенной вероятности

. (3.97)

Интеграл (3.97) от w представляет собой вероятность столкновения молекул со скоростями u1 и u2, которое считается равным единице (достоверное событие).

Функция может быть определена лишь путем решения динамической задачи о столкновении частиц, но некоторые свойства этой функции полезно рассмотреть именно в таком, самом общем виде без ее конкретизации.

3.2.2.2. Принцип детального баланса

Так как функция рассеяния есть результат решения динамической задачи, то эта функция должна обладать определенным свойством, связанным с тем, что уравнения механики инвариантны относительно смены знака времени. Если в какой-либо момент времени после столкновения обратить скорости частиц, то их движение пойдет по тем же траекториям в обратном порядке. Поэтому при таком обращении скоростей вероятность w должна оставаться неизменной:

. (3.98)

Найдем число столкновений частиц, принадлежащих интервалу u1 ¸ u1 + du1, с частицами из интервала u2 ¸ u2 + du2 в единице объема за время dt. Вообще говоря, будем считать эти частицы разносортными (m1 ¹ m2). За время dt с каждой частицей-мишенью, обладающей сечением s12, столкнутся частицы, которые находятся в элементе объема |u1 – u2|dts12 (см. рис.3.18).

Приведенный рисунок соответствует системе координат, связанной со второй частицей. Поэтому упомянутое число столкновений будет равно произведению числа частиц первого компонента в цилиндре, указанном на рисунке, f1|u1 – u2|s12dtdu1 на число молекул мишеней второго компонента f2du2, приходящихся на интервал скоростей du2 в единице объема, то есть

f1|u1 – u2|s12 dt du1 f2du2. (3.99)

Цилиндр столкновений

Рис.3.18.

Число переходов из в в единице объема за единицу времени, очевидно, будет равным

. (3.100)

Выражение (3.100) и соотношение (3.98) позволяют сформулировать принцип детального баланса, который имеет место в равновесии, когда f1 = f01, f2 = f02:

(3.101)

Это равенство часто называют соотношением взаимности.

Если домножить обе части (3.101) на, то слева получим число прямых переходов , а справа число реверсивных переходов , т. е. переходов при обращении времени (рис. 3.19 б).

При получении (3.101) множители и к (3.98) можно добавлять, так как при столкновении выполняется закон сохранения энергии

,

а равенство модулей относительной скорости до и после столкновения (как далее будет показано) следует из законов сохранения импульса и энергии.

Принципу детального баланса можно придать так же несколько иную формулировку. Для этого наряду с обращением времени произведем изменение знака всех координат, которое называют инверсией (рис.3.19 в).

При таком двойном изменении знака и у координат, и у времени скорость в новой системе отсчета равна

,

то есть u остается прежней, но развитие событий после реверса (рис.3.19 б) идет в обратном порядке. После такой двойной операции изменения знака с поворотом частиц столкнувшиеся частицы снова идут на сближение (рис.3.19в). Получающееся в результате этого сближения взаимодействие частиц со скоростями и будет приводить в результате столкновения к скоростям частиц u1 и u2 (рис.3.19г).

Прямое (а), реверсивное (б), инверсно-реверсивное (в) и обратное (г) столкновения

Рис.3.19.

Столкновения такого типа носят название обратных столкновений. Прицельное расстояние и механизм прямых и обратных столкновений совпадают и поэтому для них можно по аналогии с (3.98) записать соотношение взаимности

. (3.102)

3.2.2.3. Сохранение импульса и энергии при парном столкновении частиц

Для конкретизации вида функции рассеяния рассмотрим более подробно столкновение двух молекул с массами m1 и m2. Будем считать, что сила их взаимодействия зависит только от расстояния между молекулами и действует по линии, соединяющей их центры тяжести. Молекулы предполагаются сферически симметричными. Скорости до столкновения считаются заданными, требуется найти скорости после столкновения и. Из этих шести неизвестных проекций и четыре определяются из закона сохранения импульса

(m1 + m2)G = m1u1 + m2u2 = m1 + m2 (3.103)

(здесь G - скорость центра масс) и закона сохранения энергии

. (3.104)

Введем относительные скорости до и после столкновения

и затем на основе (3.103) выразим u1, u2, , через скорость центра масс G и относительные скорости g21 и :

(3.105)

(3.106)

Из (3.106) следует, что для определения искомых скоростей и достаточно найти. Подставляя (3.105), (3.106) в (3.104), легко получить:

Отсюда следует, что , т. е. модуль относительной скорости при столкновении не меняет своего значения и, следовательно, для полного определения динамического эффекта столкновения достаточно определить изменение направления вектора g12, задаваемого двумя величинами - углами поворота.

3.2.2.4. Углы поворота относительной скорости

Чтобы определить поворот вектора g12 в результате столкновения, недостаточно знания скоростей частиц до столкновения. Поворот зависит от того, с какой стороны и насколько далеко одна частица пролетит около другой. Характер траекторий изобразил еще Максвелл в одной из своих статей (см. рис.3.20).

Вид траекторий при повороте

Рис. 3.20.

Чтобы более строго задать геометрию столкновений, перейдем в систему координат, связанную с молекулой-мишенью A. Начертим вектор относительной скорости, с которой частица В налетает на мишень (рис.3.21).

Геометрические параметры столкновения

Рис. 3.21.

Очевидно, что этот вектор не обязан проходить через точку A. Ось z системы координат, начало которой поместим в точку A, расположим параллельно вектору g12. Прямолинейное продолжение вектора g12 пересечет плоскость z = 0 в точке N(xb, yb). Только после задания точки N(xb, yb) полностью задаются условия столкновения. Вектор g12 и точка A задают положение плоскости BNA. Так как сила взаимодействия FAB молекул A и B направлена по линии, их соединяющей, то вектор А находится в той же плоскости и, следовательно, ускорение частицы B тоже лежит в плоскости BNA. Поэтому все движение молекулы B во время столкновения будет происходить в той же плоскости. Это дополнительно определяет нам один из углов. Чтобы лучше это показать, удобно точку N (рис.3.21) задавать в полярной системе координат в плоскости z = 0. Угол e отсчитывается от оси Y, расстояние NA обозначим через b. Величину b называют прицельным расстоянием. Азимутальный угол e задает положение линии пересечения плоскости столкновения с плоскостью z = 0. Так как вектор скорости частицы B после столкновения лежит в плоскости движения частицы BNA, то остается определить только плоский угол поворота g12, который обозначим через c.

Теперь можно рассмотреть условия этого поворота, совместив плоскость траектории полета молекулы B с плоскостью листа (рис.3.22). В центрально-симметричном центральном поле траектория полета будет симметрична относительно биссектрисы угла, образуемого асимптотами траектории.

Траектория движения молекулы,
рассеянной в центрально-симметричном поле

Рис.3.22.

Обратное столкновение - это столкновение, в которое молекула B вступает с относительной скоростью, являющейся конечной в прямом столкновении, но происходящее в той же плоскости и с тем же прицельным расстоянием (рис.3.23).

Обратное столкновение

Рис. 3.23.

Так как угол поворота c определяется величиной модуля g12 и прицельным параметром b, то такое обратное столкновение дает в результате скорость g12 (первоначальную скорость прямого столкновения). В случае молекул - твердых сфер угол поворота c не зависит от относительной скорости (только в «мягких» потенциальных полях глубина захода частиц в эти поля зависит от кинетической энергии сталкивающихся частиц). Это значительно упрощает задачу определения зависимости c(b) в случае столкновения упругих шаров. Чтобы определить c(b), начертим положение молекул - сфер в момент столкновения (рис.3.24).

Момент столкновения молекул – твердых сфер

Рис.3.24.

Здесь jп - угол падения, для упругих сфер угол падения равен углу отражения (jп = jо).

Из рис.3.24 очевидны следующие соотношения:

,

. (3.107)

Для других потенциалов взаимодействия функции c(b, g12) имеют более сложный вид, обычно не выражаемый аналитически. Но для того, чтобы понять суть кинетических теорий вполне достаточно использования модели твердых сфер, которую мы в дальнейшем, в основном, и будем применять.

Обычно предсказания значений кинетических коэффициентов при использовании модели твердых сфер отличаются от экспериментальных значений в пределах 10%.

3.2.2.5. Вывод выражений для функции рассеяния парного столкновения

Таким образом, приведенное выше рассмотрение столкновения показывает, что вероятность перехода w(ui, uj ® , ) может быть упрощена путем выбора системы координат, такой, что ui = 0.

Все скорости в системе, связанной с i-ой частицей, будем обозначать через x:

x = u – ui.

Относительная скорость gji = uj – ui = xj не меняет своего значения при такой замене системы координат. Тогда вероятность перехода w(ui, uj ® ) в новой системе отсчета можно записать как
w(gji ® ). Закон сохранения импульса в этой системе координат будет выглядеть следующим образом:

,

. (3.108)

Вектор относительной скорости в результате столкновения поворачивает на угол c и не меняет своего модуля. Это соответствует следующей связи указанных векторов (см. рис.3.25).

Поворот вектора относительной скорости

Рис. 3.25.

В соответствии с рисунком искомый вектор можно определить по формуле:

. (3.109)

Здесь n - единичный вектор, перпендикулярный вектору gji и лежащий в плоскости траектории частицы.

Подставляя (3.109) в (3.108), получим:

. (3.110)

Нетрудно также найти и скорость i-той частицы после столкновения:

(3.111)

Учитывая, что w(gji ® ) будет равна 0, если только не будут выполнены закон сохранения импульса и закон сохранения энергии (), можно записать:

(3.112)

Левая часть (3.112) является, вообще говоря, функцией 9 переменных. Однако для центрально-симметричного взаимодействия результат не может зависеть от направления вектора gji (2 переменных). Из шести координат векторов , четыре определяются d-функциями. Поэтому в качестве независимых аргументов у функции осталось 9-2-4=3 переменных. Множитель находится из условия нормировки.

Если вернуться в лабораторную систему координат, то получим:

(3.113)

В (3.112) учли, что не является независимой величиной (см. (3.111)). Вместо удобно воспользоваться , однако модуль этого вектора задается второй d-функцией, и независимой остается только величина  - единичный вектор направления скорости, определяемый углами сферической системы координат e и c (см. рис.3.21 - 3.22).