Статистические методы расчета кинетических коэффициентов переноса газа (стр. 1 )

Глава3. Статистические методы расчета кинетических коэффициентов переноса газа

3.1. Элементарные кинетические теории

3.1.1. Введение

Решения уравнений Гамильтона достаточно большой совокупности частиц показывают, что начальные условия быстро «забываются», и поведение каждой частицы спустя некоторое время после начала процесса выглядит почти полностью хаотическим. Поэтому можно надеяться получить соответствующее эксперименту описание поведения газов, совершенно не опираясь на детали молекулярных столкновений или пользуясь минимальной информацией о них.

Яркими примерами успешности такого подхода являются максвелловский или больцмановский выводы равновесного распределения частиц по скоростям, которое действительно не зависит от сечений взаимодействия и начальных условий.

Когда возникает необходимость расчета кинетических коэффициентов, то кажется естественным на каждом этапе проводимых вычислений помнить и максимально использовать свойство систем многих частиц стремиться к наиболее вероятному, равновесному состоянию с полной потерей «памяти» о начальных условиях процесса. Хотя строгое описание неравновесных явлений призвано связывать макроскопические потоки, измеряемые в опыте, с характеристиками столкновений молекул и поэтому немыслимо без учета деталей взаимодействия атомов друг с другом, но эти детали в конечных выражениях для кинетических коэффициентов присутствуют, как правило, в виде комплекса параметров, имеющих смысл средней длины свободного пробега молекулы среди других частиц . Пользуясь представлением о средней длине свободного пробега частиц, можно попытаться найти выражения для некоторых кинетических коэффициентов, черпая остальные недостающие данные из предположения о полной хаотизации и почти полной потере памяти частицы о своей траектории.

На основе представлений о хаотическом движении частицы можно понять основные черты явлений переноса в газах, жидкостях и твердых телах. Рассмотрим эту задачу.

3.1.2. Коэффициенты диффузии случайного блуждания частиц

Ограничимся одномерным случаем и рассмотрим хаотическое блуждание частицы, моделируя его следующим образом:

1) частица может находится только в узлах одномерной решетки с координатами 0, ±a, ±2a, ±3a, ¼;

2) в моменты времени t = t, 2t, 3t, ¼ эта частица перескакивает из некоторого узла решетки в ближайшие узлы, причем вероятности перехода в левый или правый узел равны.

На первый взгляд модель кажется очень искусственной, однако она «ухватывает» основной характер диффузии примесных частиц с малой концентрацией в различных средах. Если мы имеем плоский фронт диффузии, например, в канале (то есть поверхность одинаковой концентрации представяет собой плоскость поперечного сечения канала), то смещения частиц в поперечном направлении (параллельном плоскости фронта) не приводят к изменению физической ситуации и значимыми будут только продольные смещения, которые как раз и учитывает рассматриваемая модель. Любая диффузия частиц в газе, жидкости или твердом теле характеризуется некоторым расстоянием - средней длиной скачка, и средним временем, которое приходится на один скачок. При диффузии частицы в газовой среде длина скачка соответствует средней длине свободного пробега, а в качестве времени скачка следует брать время свободного пробега с тепловой скоростью ut, тогда

.

При диффузии частицы в канале в свободномолекулярном режиме средняя длина скачка равна диаметру этого канала, а время «сидения» частицы на стенке в адсорбционной потенциальной яме можно принять в качестве времени скачка. Следует отметить, что характер диффузии в канале в свободномолекулярном режиме более близок к условиям, принятым в модели. Если же рассматривать плоский фронт диффузии примесных частиц в твердом теле по межузлиям, то и в этом случае, как в модели, примесные частицы занимают дискретные межузельные положения, в каждом из которых они пребывают некоторое время, необходимое для того, чтобы случайным образом в результате флуктуаций энергии при тепловом движении частица смогла преодолеть потенциальный барьер перехода между соседними межузельными положениями.

Следует заметить, что в нашей модели диффузии мы полностью исключили детерминистический характер движения частиц, которое должно происходить в полном соответствии с законами Ньютона. Законы механики Ньютона заменены простейшей стохастической моделью, в которой хаотические столкновения со средой вызывают беспорядочные перескоки из узла в узел с равной вероятностью налево или направо. Правомерность предположения о равной вероятности скачка налево или направо целесообразно обсудить подробнее.

Если мы рассматриваем движение частиц в потенциальном поле других частиц в соответствии с законами механики, то очевидно, что каждый последующий шаг вдоль траектории будет обусловлен предысторией частицы, ее скоростью, ускорением. Однако в случае диффузии в свободномолекулярном режиме с адсорбцией на стенках частица, придя на новое место с какой-то определенной скоростью, сравнительно быстро ее «забывает».

Прежде, чем вырваться из потенциальной ямы, рассматриваемая частица, окруженная частицами твердого тела, находящимися в беспрерывном хаотическом движении, совершает миллионы колебаний. Естественно, что новый диффузионный скачок происходит практически с равной вероятностью направо или налево.

Итак, вернемся к предложенной модели и поставим себе цель найти средний квадрат расстояния áx2ñ = á(ma)2ñ, на которое смещается частица за время t = nt. Для этого введем вероятность p(m, n) того, что частица находится в узле x = ma в промежуток времени от nt до (n + 1)t. Для краткости этот промежуток времени будем называть промежутком времени nt. Если частица попала в узел ma в момент nt, то это могло произойти только в том случае, если в промежутке времени (n – 1)t частица находилась в соседних узлах (m – 1) или (m + 1). Этот факт можно записать с помощью введенной выше вероятности следующим образом:

. (3.1)

Предположим, что в промежуток времени от 0 до t (n = 0) частица находилась в узле x = 0 (m = 0). Рассмотрим дальнейшее поведение частицы в соответствии с уравнением (3.1). Наиболее наглядно это можно изобразить на координатных плоскостях x(t) и p(x) (см. рис.3.1).

Нетрудно убедиться, что сумма вероятностей для каждого n (0, 1, 2, 3, ¼) равна 1. Среднее значение квадрата номера узла определяется выражением:

. (3.2)

Оно характеризует ширину распределения p(m) и очевидно является функцией n (времени). С течением времени вероятность того, что узел занят, снижается для малых m, а распределение вероятностей распространяется на все более дальние от начала координат узлы оси x (см. огибающую кривую распределения p(m, n) на рис.3.1).

Случайное блуждание частиц

Рис. 3.1.

В соответствии с рис.3.1 и формулой (3.2) найдем ám2ñ для n = 1, 2, 3:

Эти вычисления легко продолжить и дальше, но уже из приведенных расчетов видно, что

ám2ñ = n. (3.3)

Учитывая, что m = x/a и n = t/t, получаем:

. (3.4)

Здесь следует обратить внимание, что если бы мы имели дело с ансамблем частиц с начальным условием нахождения в начале координат, то все вероятности были бы пропорциональны числу частиц. Такой ансамбль подобен реальной ситуации диффузии примеси с малой концентрацией от плоского источника. В этом случае расширение распределения p(m, n) будет подобно поведению поля концентрации c(x, t) с плоским фронтом диффузии.

При хаотическом движении, когда частица на каждый шаг вперед делает один-два шага назад, смещение фронта диффузии пропорционально корню квадратному из времени (а не просто времени, как при конвективном переносе).

Для того, чтобы найти выражение для коэффициента диффузии через параметры нашей модели, надо получить выражение для áx2ñ, исходя из феноменологического уравнения диффузии (см. 2.4.14):

. (3.5)

Следует заметить, что уравнение (3.5) можно получить из (3.1) путем предельного перехода к бесконечно большому числу скачков [2].

Решение уравнения (3.5) с начальным распределением в виде d-функции Дирака

c(x, 0) = d(x) (3.6)

представляет собой следующее выражение:

. (3.7)

На основе (3.7) нетрудно найти áx2ñ:

. (3.8)

Это известная формула Эйнштейна.

Сравнивая (3.8) и (3.4), легко убедиться, что

. (3.9)

Если необходимо найти коэффициент диффузии в газовой среде, то a соответствует l, и t = l/ut, тогда получим:

D ~ lut, (3.10)

а для кнудсеновского течения (Kn ® ¥), когда временем адсорбции можно пренебречь, роль длины скачка играет среднее смещение молекулы вдоль оси капилляра от одного столкновения со стенкой до другого. Для равновесного случая среднее смещение близко к диаметру капилляра. В качестве времени скачка естественно взять . Поэтому из (3.9) легко получить, что:

DKn ~ Rut, (3.11)

Более строгие подходы, связанные с решениями уравнений Больцмана (см. (3.293), (3.349)), уточняют постоянные множители в этих выражениях. Для трехмерной диффузии

, (3.12)

а диффузия в свободномолекулярном режиме в канале круглого сечения характеризуется коэффициентом

. (3.13)

Следует помнить, что на основе стохастического подхода к явлениям переноса, вообще говоря, можно построить достаточно строгую кинетическую теорию.

Другой метод получения оценок для различных кинетических коэффициентов основан на идее квазиравновесности, т. е. идеи, которая была нами использована при обсуждении термодинамики неравновесных процессов. Будем считать, что при слабом отклонении от равновесия одночастичная функция распределения незначительно отличается от максвелловской и в первом приближении потоки частиц, энергии и импульса можно оценивать на ее основе. Для того, чтобы научиться делать такие оценки, рассмотрим сначала более подробно свойства функции Максвелла.

3.1.3. Свойства максвелловского распределения

Распределение Максвелла f0(r, u, t), или максвеллиан - это равновесная одночастичная функция распределения в трехмерном пространстве скорости и трехмерном физическом пространстве.

Эта функция определена так, что величина

f0(r, u, t)dux duy duz dxdydz

дает число частиц, находящихся в элементе физического объема dV = dxdydz и обладающих проекциями скорости в интервалах ux ¸ ux + dux, uy ¸ uy + duy, uz ¸ uz + duz.

Не следует путать эту функцию с функциями, описывающими число частиц, имеющих модуль скорости в интервале от u до u + du, или число частиц, имеющих энергию в интервале от E1 до E1 + dE1. Хотя распределение Максвелла может не зависеть от направления скорости u, но для того, чтобы отличать распределения частиц по модулю скорости от распределения в полном пространстве скоростей в обозначениях максвелловской функции удобно оставлять знак вектора у аргумента:

f0 = f0(u).

Для равновесного газа, находящегося в покоящейся колбе объемом V, максвелловская функция имеет вид:

. (3.14)

Здесь число частиц в единице объема, , а N - число частиц в объеме V.

В этом случае распределение молекул по координатам физического пространства является однородным. Функцию f00(u) (3.14) называют абсолютным максвеллианом.

Если колба с газом движется поступательно со скоростью u, а газ находится в равновесии относительно стенок колбы, то, очевидно, что функция распределения газовых частиц должна иметь в системе координат, связанной с колбой, такой же вид, как и (3.14):

, (3.15)

где u¢ = u – u, ,

u¢, u - скорости молекул в движущейся и лабораторной системах координат, соответственно.

Если произвольный неравновесный газ можно разбить на квазиравновесные элементы объема, характеризующиеся параметрами n(r, t), T(r, t) и u(r, t), то каждому такому элементу объема можно поставить в соответствие так называемую локально-равновесную функцию распределения частиц этого объема по скоростям, аналогичную (3.15):

. (3.16)

Следует заметить, что функция (3.16) является первым приближением к реальной функции распределения молекул по скоростям для ситуаций, в которых локальное равновесие действительно имеет место.

Условиями для этого являются:

1.  возможность разбить всю неравновесную область на части с характерным размером r, удовлетворяющим неравенству , где λ – длина свободного пробега, а L – характерный размер задачи или расстояние, на котором параметры T, n, u меняются на свою величину;

2.  возможность пренебречь временем релаксации выделенного элемента объема с размером r к равновесию.

Возвращаясь к абсолютному максвеллиану, заметим, что вероятность иметь скорость от u до u + du в соответствии с (3.14) распадается на три множителя для проекций скорости:

. (3.17)

Следовательно, равновесные распределения частиц по проекциям скоростей на декартовы оси координат являются независимыми. Они имеют вид гауссовской кривой с характерной полушириной (см. рис.3.2).

Максвелловское распределение по проекции ux

Рис. 3.2.

Следует заметить, что f00(ux) - четная функция, т. е. f00(ux) = f00(–ux). Очевидно, что интеграл от –¥ до +¥ от нечетной функции j, для которой j (ux) = –j (–ux), взятый с весом f00(ux), обращается в нуль (см. рис.3.2):

По известной функции f00(u) (3.14) можно найти число частиц, приходящихся на интервал модуля скорости от u до u + du. Рассмотрим трехмерное пространство скорости u(ux, uy, uz). Заметим, что . Эту связь можно представлять как уравнение поверхности сферы радиуса u в пространстве (ux, uy, uz) (см. рис.3.3).

Пространство скорости

Рис. 3.3.

Модуль скорости u может иметь только вектор, конец которого принадлежит этой сфере. Все вектора, модули которых будут находиться в диапазоне от u до u + du, очевидно будут оканчиваться в шаровом слое от u до u + du. Так как на единицу объема пространства скорости в единице объема физического пространства приходится f00(u) частиц, то в шаровом слое 4pu2du будет находится следующее их число:

. (3.18)

Распределение f00(u) имеет вид кривой проходящей через начало координат с максимумом в точке самого вероятного модуля скорости (см. рис.3.4). Учитывая, что кинетическая энергия частиц равна , можно найти распределение по энергиям E1 на основе того, что из физического смысла распределений f00(E1) и f00(u) следует равенство:

f00(E1)dE1 = f00(u)du, (3.19)

в котором dE1 и du соответствуют друг другу. Следовательно,

(3.20)

Распределение по модулю скорости

Рис.3.4.

В литературе можно встретить все три модификации максвеллиана (3.14), (3.18), (3.20).

Найдем среднюю тепловую скорость частицы в равновесном газе, находящемся при температуре T:

(3.21)

Найдем средний квадрат модуля скорости и среднюю энергию:

(3.22)

. (3.23)

В этой задаче можно воспользоваться и максвеллианом, заданным в векторном пространстве:

(3.24)

Здесь учли, что трехмерные интегралы с различными слагаемыми , и являются одинаковыми.

Определим среднюю гидродинамическую скорость газа, описываемого локальномаксвелловской функцией. Найдем сначала x-компоненту гидродинамической скорости áuxñ:

(3.25)

Прибавим и вычтем в подынтегральном выражении (3.25) величину ux:

.

Учтем, что d(ux – ux) = dux, d(uy – uy) = duy, d(uz – uz) = duz, тогда

.

Очевидно, что другие компоненты скорости получаются аналогично и, следовательно, áuñ = u. В частном случае абсолютного максвеллиана áuñ = 0.

3.1.4. Плотность столкновений молекул друг с другом в равновесном однокомпонентном газе

Все неравновесные явления в замкнутой газовой системе сопровождаются ростом энтропии и происходят благодаря столкновениям молекул газа друг с другом и с молекулами поверхности. Поэтому плотность столкновений является одной из самых важных характеристик неравновесных процессов. Под плотностью столкновений молекул газа друг с другом будем понимать число столкновений, происходящих в единице объема газа за единицу времени. Чтобы определить эту величину, сначала найдем частоту столкновений пробной молекулы со всеми остальными.

За единицу времени пробная молекула проходит в среднем путь ut, на этом пути при средней длине свободного пробега l она испытывает

(3.26)

столкновений.

Так как все молекулы одинаковы, то в газе с плотностью n атомов в единице объема за 1 секунду будет происходить

(3.27)

столкновений.

При учете максвелловского распределения частиц по скоростям и их относительного движения вместо (3.27) имеем

. (3.28)

Плотность столкновений определяет интенсивность всех происходящих в газе процессов и, в частности, химических реакций.

3.1.5. Плотность столкновений молекул равновесного газа с плоской поверхностью

Плотность столкновений молекул с поверхностью - это число столкновений частиц с единицей площади поверхности за единицу времени.

Определим сначала число столкновений молекул, приходящихся на бесконечно малый интервал скорости от u до u + du, с выбранным элементом поверхности dS за время dt. Ввиду того, что абсолютная максвелловская функция распределения равновесного газа f00 зависит только от модуля скорости u, удобно в пространстве скорости работать со сферической системой координат. Вектор скорости u(ux, uy, uz) задается в этом случае значением модуля скорости u, углами q и j : u = u(u, q, j).

Поясним постановку задачи с помощью рис.3.5, на котором удобно совместить декартовы системы координат в физическом пространстве и в пространстве скоростей. Попарно совпадают начала координат и направления осей (ux, x), (uy, y), (uz, z).

Столкновение молекул с плоской поверхностью

Рис.3.5.

Но масштабы различны вдоль осей, различны и единицы измерения. Среди всех молекул возле поверхности выделим те, которые обладают скоростью в интервале от u до u + du. Их плотность составляет f00(u)du.

Вдоль выбранного вектора u выделим цилиндр (физического пространства), опирающийся на площадку dS с длиной образующей, равной u dt (см. рис.3.5). Очевидно, что все молекулы, находящиеся в этом цилиндре и обладающие скоростью u за время dt столкнутся с поверхностью. Объем рассматриваемого цилиндра dV = dS cosq u dt. Следовательно, записывая элемент объема пространства скоростей в сферической системе (du = u2du sinq dq dj), для числа столкновений молекул, обладающих скоростью от u до u + du, с площадкой dS за время dt получим следующее выражение:

dNW = f00(u) dS cosq udt u2du sinq dq dj . (3.29)

Точно такое же выражение описывает равновесное излучение или отражение молекул с поверхности, так как (3.29) инвариантно по отношению к смене знака скорости. При изучении рассеяния молекул поверхностью зачастую интересуются общим числом молекул со всевозможными модулями скорости, попадающими в окно детектора площадью S0, установленного под определенным углом q к нормали поверхности (см. рис.3.6).

Рассеяние молекул поверхностью

Рис.3.6.

Телесный угол в пространстве скоростей

Рис.3.7.

В окно детектора попадут те молекулы, которые распространяются в телесном угле W = S0/r2.

В соответствии с (3.29) роль элемента телесного угла играет величина

,

что легко видеть из рис.3.7.

Следовательно, плотность потока молекул, приходящихся на единичный телесный угол, будет получаться делением (3.29) на dS dt sinq dq dj с последующим интегрированием по всем значениям модуля скорости:

(3.30)

Именно по этому закону (NW(q ) ~ cosq ) будет изменяться число регистрируемых в детекторе молекул при варьировании угла наблюдения q при постоянном расстоянии от излучающей точки. Распределение (3.30) носит название закона косинуса. Получаемое в опыте в соответствующих условиях косинусоидальное распределение служит признаком равновесного излучения.

Число молекул, излучаемое площадкой и попадающее в окно детектора, расположенного на расстоянии и имеющего площадь , можно найти по формуле

.

Общее число молекул, соударяющихся с единицей поверхности за единицу времени, можно найти путем интегрирования (3.30) по всем возможным телесным углам:

. (3.31)

Выражение (3.31) может быть применено не только в кинетической теории газов, но и в кинетике жидкостей и твердых тел. Например, в проблеме испарения число соударений молекул с поверхностью со стороны жидкости можно оценивать по этой же формуле.

Элементарная кинетическая теория основывается на идее квазиравновесности, т. е. считается, что нарушение равновесия невелико и для расчета потоков частиц, энергии и импульса можно воспользоваться максвеллианом. Существуют даже такие кинетические задачи, которые можно решить абсолютно строго, основываясь только на максвелловской функции распределения и полученном с помощью нее выражении (3.31). Остановимся сначала именно на таких задачах.

3.1.6. Перенос газов через отверстие в свободномолекулярном режиме

На основе знания максвеллиана могут быть рассчитаны кинетические коэффициенты свободномолекулярного движения (переноса) газовых смесей в мембране, представляющей собой отверстие в бесконечно тонкой перегородке (длина канала L = 0, см. рис.3.8).

Перенос газов через отверстие

Рис.3.8.

Если в одном из резервуаров - вакуум, а в другом поддерживается давление однокомпонентного газа p, то очевидно, что объемный поток будет равен

. (3.32)

Здесь G есть число частиц, проходящих через мембрану в единицу времени, или числовой расход (поток). Найдем условия справедливости формулы (3.32). Для этого надо обеспечить иерархию времен релаксации. Время выравнивания давлений между колбами с объемом должно быть много больше времени релаксации давления в отдельноц колбе . Оценим отношение этих времен

.

Чтобы было достаточно большим, необходимо обеспечить малость площади отверстия по сравнению с площадью сечения трубы.

Если второй резервуар заполнить каким-либо другим газом, то в свободномолекулярном по размеру колбы режиме (R0 « l) из-за того, что преобладающим типом столкновений будут столкновения со стенками, компоненты не будут чувствовать друг друга, и процесс переноса каждого компонента будет идти так, как если бы второго компонента не было. Эти рассуждения справедливы не только для разных компонентов. Суть в том, что каждая частица в свободномолекулярном режиме совершает свое движение от одного соударения со стенкой до другого так, как если бы остальных частиц не было. Поэтому, если в одном резервуаре поддерживаются давление p1 и температура T1, а в другом - p2, T2, то результирующий поток частиц через отверстие будет находиться как разность потоков из левой колбы в правую вакуумную полость и из правой колбы в левую вакуумную полость:

. (3.33)

Если температуры в колбах будем поддерживать постоянными и равными T1 и T2, а количество газа в системе двух колб не менять, то должно установиться стационарное состояние первого порядка с минимумом производства энтропии, которое отвечает G = 0. Поэтому на основе (3.33) можно найти, каким будет отношение давлений в колбах (эффект термомолекулярной разности давлений)

. (3.34)

Это соотношение известно как закон Кнудсена для термомолекулярной разности давлений. Следует обратить внимание, что в канале с произвольной длиной L расход в кнудсеновском (свободномолекулярном) режиме будет отличаться от расхода через отверстие (3.32) только множителем W - вероятностью того, что молекула, вошедшая в канал через один торец, покинет его с другого конца (или, коротко, W - вероятность прохождения канала). Поэтому числовой расход в канале при истечении газа в вакуум в свободномолекулярном режиме можно найти по формуле:

. (3.35)

Так как W слабо зависит от температуры и характеристик молекул газа и твердого тела, а определяется, в основном, формой и размерами канала, то ясно, что формула (3.34) останется приближенно верной и для каналов произвольной длины.

На основе соотношения (3.33) можно найти выражения кинетических коэффициентов Lpp и Lpq для рассматриваемого случая. Действительно, принимая, что

и, используя правила дифференциального исчисления, легко получить:

(3.36)

Здесь использовано обозначение .

На основе (3.36) получаются следующие выражения для кинетических коэффициентов:

. (3.37)

Следует отметить, что диагональный коэффициент Lpp - действительно неотрицательная величина, что находится в соответствии с выводами неравновесной термодинамики ().

Далее найдем два других кинетических коэффициента, описывающих перенос тепла через отверстие. Они представляют особый интерес с точки зрения иллюстрации выполнения соотношений Онзагера для перекрестных коэффициентов Lpq и Lqp.

В соответствии с определением потока тепла в мембране (2.281) можно записать:

Jq = Je - Jph. (3.38)

Поток кинетической энергии ищется совершенно аналогично потоку частиц (3.29), только с добавлением множителя , так как каждая молекула, пересекая площадку, несет энергию . Количество энергии, переносимое молекулами, обладающими скоростью от u до u + du, за время dt через площадку dS запишется следующим образом:

. (3.39)

Деля (3.39) на dS и dt и интегрируя по u, q, j, получим искомый поток энергии в вакуумную полость через единичную площадку за единицу времени:

(3.40)

Если пользоваться для среднего от произведения величиной, равной произведению средних, и находить поток энергии как произведение потока частиц на среднюю энергию 3/2kT, то получили бы ошибку 25%:

.

Найдем теперь результирующий поток энергии для случая, когда и в левой, и в правой колбах находится газ с незначительно отличающимися для разных объемов температурами и давлениями:

(3.41)

Поток тепла определяется через поток энергии (3.41) за вычетом конвективного переноса энтальпии с использованием (3.36):

(3.42)

Учитывая, что термодинамические силы определяются по формулам:

на основе (3.42) получим выражение для кинетических коэффициентов:

(3.43)

Сравнивая (3.43) и (3.37), видим, что перекрестные коэффициенты Lpq и Lqp в соответствии с принципом Онзагера равны. Из условия неотрицательности производства энтропии также следует, что кинетические коэффициенты должны удовлетворять условию

. (3.44)

Замечая, что из (3.37, 3.43) можно получить

легко убедиться в выполнении неравенства (3.44).

Подводя итоги рассмотрения переноса тепла и массы газа через отверстие в свободномолекулярном режиме, необходимо отметить, что полученные выражения для кинетических коэффициентов справедливы не только для условий l » R0 (R0 - размер колбы), но и для условий l » R (R - радиус отверстия), при которых может быть реализован вязкий режим по размеру системы (l « R0). В последнем случае размер области возмущения функций распределения должен охватывать район размером ~ R возле отверстия. Но при таких размерах режим переноса является свободномолекулярным, что объясняет достаточность условия l » R для применения полученных выше формул для кинетических коэффициентов (3.43), (3.37).