Статистические методы расчета кинетических коэффициентов переноса газа (стр. 6 )

3.4. Кинетические коэффициенты локальной неравновесной термодинамики (расчет методом Чепмена-Энскога)

3.4.1. Общая характеристика метода

Метод Чепмена-Энскога можно рассматривать как кинетическое обоснование локальной неравновесной термодинамики в применении к разреженным газам. Метод должен дать выражения для кинетических коэффициентов феноменологических соотношений (2.156-2.157). Поэтому в постановку задачи, естественно, входят те же ограничения, на которых основана локальная неравновесная термодинамика.

Основная идея заключается в следующем. В условиях, когда размер системы L много больше длины свободного пробега l молекул в газе, всю неравновесную систему можно разбить на ячейки, размером l « r « L и считать, что в каждой ячейке наступило равновесие с некоторой температурой T, химическими потенциалами компонентов mi и средней массовой скоростью u0. Однако эти равновесные характеристики могут быть различными для разных ячеек системы. Из всего неравновесного процесса такой метод рассматривает только последнюю, наиболее медленную стадию - выравнивание T, mi и u0 по пространству системы. Начальная стадия процесса, которая связана с установлением квазиравновесия в каждой ячейке и имеющая порядок времени релаксации l/ut, не рассматривается в этом методе, хотя само уравнение Больцмана такого ограничения не имеет.

В соответствии с предположением о квазиравновесии будем полагать, что газовые молекулы k-того компонента в каждой ячейке имеют функцию распределения, близкую к локальномаксвелловской функции:

(3.189)

Параметры nk, T, u0 определяют равновесное значение энтропии в ячейке и считаются равновесными. Вообще говоря, эти параметры являются моментами искомой функции распределения, которую можно представить в виде:

(3.190)

В связи с идеей квазиравновесности принимают, что nk, T, u0 полностью определяются локальномаксвелловской функцией, а малая добавка f0kjk не дает вклада в эти параметры:

(3.191)

(3.192)

(3.193)

интегралы (3.191-3.193) от f0kjk равны 0.

В соответствии с (3.191-3.193) считается, что jk = jk(uk), а зависимость от координат и времени входит в величину fk и в определяемые с ее помощью потоки тепла, диффузии и импульса только через параметры nk(r, t), T(r, t), u0(r, t). Иными словами, кинетическая задача в методе Чепмена-Энскога ставится так: необходимо найти выражение для потоков тепла, диффузионных потоков и тензора напряжений, если поле температур, парциальных плотностей и среднемассовой скорости задано, и, следовательно, известны градиенты этих параметров в любой точке неравновесного газа.

Чтобы найти неизвестную функцию возмущения jk(uk), в уравнение Больцмана (или его модель) подставляется функция распределения в виде (3.190). В соответствии с проведенными оценками (3.188) левая часть уравнения Больцмана содержит малый параметр Kn. Поэтому, пренебрегая членами, пропорциональными jkKn в левой части, и членами порядка  - в правой (аналогично (3.185)), можно записать:

(3.194)

Здесь использовано выражение для подынтегральной скобки (3.185).

Уравнение (3.194) совместно с (3.191-3.193) однозначно определяет jk(uk). Заметим, что (3.194) не содержит пространственных и временных производных от искомой функции возмущения и поэтому не возникает проблемы постановки начальных и граничных условий.

После получения решения в первой итерации по вышеописанному алгоритму, процедуру можно повторить, но уже с учетом полученной в первой итерации поправки в левой части уравнения. Тогда путем решения уравнения Больцмана мы получим поправку второго приближения. Итерации можно повторять сколько угодно раз, а решение в этом случае представимо в виде:

(3.195)

Но уже первая итерация, соответствующая линейной неравновесной термодинамике, дает вполне удовлетворительные результаты. Для получения выражений кинетических коэффициентов, найденная функция возмущения подставляется в определения потоков тепла, импульса и числа частиц (3.84, 3.87, 3.89). Для того, чтобы разобрать алгоритм Чепмена-Энскога более подробно, получим сначала законы сохранения числа частиц, энергии и импульса, исходя из уравнения Больцмана.

3.4.2. Уравнения переноса произвольного молекулярного признака

Рассмотрим газовую смесь из K компонентов. Функция распределения молекул k-того сорта удовлетворяет уравнению Больцмана:

(3.196)

Умножим (3.196) на произвольную функцию скорости jk = jk(uk) и проинтегрируем по пространству скоростей:

(3.197)

Каждое слагаемое левой части рассмотрим отдельно:

(3.198)

(3.199)

В следующем выражении учтем, что сила Fk зависит только от r и t, но не зависит от скорости молекул:

(3.200)

где i, j, j¢ не равны друг другу.

Беря интеграл (3.200) по частям, получим:

(3.201)

Ограничимся такими jk(uk), для которых jk fk ® 0 при uk ® ¥. Так как равновесная функция пропорциональна (то есть очень быстро стремится к 0 с ростом uk), то такое предположение оставляет набор возможных молекулярных признаков очень широким.

Учитывая, что jk fk ® 0 при uki ® ±¥, получим:

(3.202)

Собирая все преобразованные члены (3.198), (3.199), (3.202), будем иметь:

(3.203)

Для дальнейшего анализа представляет интерес уравнение переноса молекулярного признака для всей газовой смеси, которое следует из (3.203) после суммирования по всем значениям k:

(3.204)

Здесь использовано соотношение (3.163) для суммы моментов от интегралов столкновений.

На основе уравнения переноса произвольного молекулярного признака получим законы сохранения для сумматорных инвариантов.

3.4.3. Уравнение сохранения числа молекул и массы газа

Уравнение сохранения числа молекул сорта k следует из (3.203), если положить jk = 1. В этом случае правая часть (3.203) обращается в нуль согласно (3.160). Таким образом, получаем:

(3.205)

что соответствует полученному ранее выражению (2.114).

Уравнение сохранения числа молекул для всей смеси получается либо суммированием (3.205) по всем k, либо из (3.204), если для всех k положить jk = 1:

(3.206)

Уравнение сохранения массы k-того компонента смеси следует из (3.203) при jk = mk:

(3.207)

Суммируя (3.207) по k получим закон сохранения массы смеси:

(3.208)

что, как и следовало ожидать, соответствует выражению (2.117).

3.4.4. Закон сохранения импульса

В (3.204) положим jk = mkuki и рассмотрим левую часть этого уравнения почленно:

Здесь использованы определения среднемассовой скорости (3.93) и тензора давлений смеси (3.95).

Учитывая, что правая часть (3.204) обращается в нуль, и собирая рассмотренные выше члены этого уравнения, имеем:

(3.209)

Здесь и далее по повторяющимся индексам i, j идет суммирование. Преобразуем полученное уравнение. С учетом (3.208) имеем:

Тензор напряжений представим в виде:

Pij = pdij + Pij.

Тогда уравнение сохранения импульса (3.209) перепишется в виде, соответствующем (2.123):

(3.210)

3.4.5. Закон сохранения энергии

Уравнение сохранения энергии следует из (3.204) при . Рассмотрим каждый член получаемого таким образом выражения:

Здесь использовано определение температуры смеси газов (2.110), (3.85).

В дальнейших преобразованиях удобно использовать обозначение

Следует отметить, что

Последующий член (3.204) принимает вид:

Применяя определения температуры (2.110), (3.85), тензора напряжений (3.95) и плотности потока тепла (3.96), далее получим:

Последний член левой части (3.204) можно преобразовать следующим образом:

Учитывая, что правая часть (3.204) для обращается в нуль, имеем:

(3.211)

Уравнение (3.210) умножим на ru0i и перенесем все члены в левую часть:

(3.212)

Затем вычтем (3.212) из (3.211):

(3.213)

Выделим производные по температуре:

Заметим, что сумму вторых членов этих уравнений можно преобразовать к виду:

Окончательно получим следующее уравнение, соответствующее (2.137):

(3.214)

Физический смысл уравнения (3.214): изменение внутренней энергии газа при движении элемента объема со скоростью u0 обусловлено потоком тепла через границу элемента, диссипативными вязкими эффектами, диффузионным переносом тепла через границу, а также действием внешних сил.

Таким образом, для определения (4N + 10) искомых функций (температура T, N парциальных плотностей rk, 3 компонента среднемассовой скорости u0, 3 компонента вектора плотности теплового потока, 6 компонентов симметричного тензора напряжений Pij, (3N – 3) компонентов диффузионных скоростей) имеем (N + 5) независимых уравнений:

·  N уравнений сохранения массы (3.207);

·  3 уравнения сохранения импульса (3.210);

·  уравнение сохранения энергии (3.214);

·  уравнение состояния p = nkT.

Следовательно, система уравнений не замкнута. (3N + 5) уравнений необходимо получить с помощью системы уравнений Больцмана для (3N – 3) компонентов векторов плотности диффузионных потоков jk, 3 компонента вектора плотности потока тепла и 5 независимых компонентов тензора давлений Pij ().

3.4.6. Уравнения Эйлера

Вернемся к уравнению (3.194) метода Чепмена-Энскога. Преобразуем левую часть, подставляя в нее явный вид функции распределения f0k (3.189). Рассмотрим первый член левой части уравнения (3.194):

(3.215)

В методе Чепмена-Энскога производные по времени вычисляются на основе законов сохранения, соответствующих приближению fk = f0k. Такое предположение в соответствии с определениями (3.94), (3.96) для jk, jq обращает эти плотности потоков в нуль, а тензор напряжений (3.95) в единичный тензор, умноженный на давление:

Pij = dij p. (3.216)

На основе уравнений сохранения (3.205), (3.210), (3.214) с jk, jq = 0 и Pij = dij p имеем:

(3.217)

(3.218)

(3.219)

Система уравнений (3.впервые была получена Л. Эйлером феноменологическим путем и носит его имя. Уравнения движения (3.217-3.219) соответствуют модели идеальной жидкости (то есть сплошной среды, лишенной вязкости и теплопроводности). Вместе с уравнением состояния эта система уравнений является замкнутой.

3.4.7. Вывод интегральных уравнений для функции возмущения

С учетом (3.217 - 3.219) выражение (3.215) можно переписать в виде

(3.220)

Далее рассмотрим второй член левой части уравнения (3.194):

(3.221)

И, наконец, третий член:

(3.222)

Теперь складываем (3.220, 3.221, 3.222) для того, чтобы получить левую часть уравнения (3.194):

(3.223)

К полученному выражению прибавим и вычтем из него величину:

При приведении подобных членов в первом слагаемом (3.223) 3/2 заменяется на 5/2, а в третьем члене проведем следующие преобразования с целью перехода к производным от p и nk/n = ck:

(3.224)

Учитывая (3.224), (3.223) можно переписать в виде:

(3.225)

где вектор

(3.226)

Нетрудно убедиться, что , и, следовательно, число независимых векторов dk на один меньше, чем число компонентов. Для бинарной смеси d1 = – d2 = d.

Найдем выражение для d в случае бинарной смеси:

(3.227)

В случае механического равновесия бинарной смеси, когда можно пренебречь влиянием инерциальных членов уравнения (3.210) и считать, что тензор вязких напряжений , будем иметь

Ñp = n1F1 + n2F2. (3.228)

Механическое равновесие не запрещает процесса взаимной диффузии, при этом вектор d (3.227) преобразуется к виду:

. (3.229)

Для действия гравитационных сил Fk = mkg, и, следовательно:

(3.230)

Следует обратить внимание на то, что Ñp, входящий в (3.226) представляет собой градиент давления уравнений Эйлера (3.218), то есть градиент давления идеальной жидкости. Например, в стационарном случае при малых скоростях (в пренебрежении нелинейными по скоростям членами) и отсутствии внешних сил Ñp ® 0. В частности, вектор d не включает Ñp, уравновешивающий действие сил трения.

Вводя обозначение для линеаризованного интеграла столкновений (3.194)

(3.231)

можно записать окончательный вид уравнений первого порядка метода Чепмена-Энскога:

(3.232)

Уравнение (3.232) является линейным по отношению к функции возмущения равновесия jk и к силам, вызывающим это возмущение: , и dki. Поэтому можно находить функцию возмущения отдельно для каждой силы, остальные полагая равными нулю:

(3.233)

(3.234)

(3.235)

Линейность (3.232) позволяет записать общее решение jk в виде суммы решений (3.233 - 3.235):

3.4.8. Функция возмущения

Проведем анализ общих свойств решения уравнения (3.233). Функция зависит только от Vk, является скалярной величиной, и, очевидно, пропорциональна ÑT/T. Так как в постановке задачи отсутствуют какие-либо другие вектора, кроме ÑT и Vk, то единственный способ организации из этих векторов скалярной величины - это их скалярное произведение. Поэтому неизвестная функция должна быть представима в виде:

(3.236)

Совершенно аналогичные рассуждения и выводы следуют из анализа уравнения (3.235):

(3.237)

В соответствии с уравнением (3.234) должна быть пропорциональна всем компонентам производной ¶u0i/¶xj и в то же время должна оставаться скалярной величиной. Чтобы обеспечить скалярность необходимо из компонентов Vk организовать тензор второго ранга, который должен быть, кроме того, таким же бездивергентным, как и в левой части (3.234). Оказывается, такой бездивергентный тензор второго ранга из компонентов Vk является единственным и имеет форму:

Поэтому неизвестную функцию можно представить в виде:

(3.238)

Следует заметить, что неизвестная функция jk(Vk) может, вообще говоря, содержать слагаемые, не связанные с возмущающими силами. Эти слагаемые являются решением однородных уравнений

(3.239)

Как известно, уравнениям типа (3.239) удовлетворяет любая линейная функция сумматорных инвариантов. Однако условия (3.191), согласно которым возмущение функции распределения f0kjk не может давать вклада в n, T, u0, зануляют слагаемые подобного типа.

Таким образом, общий вид неизвестной функции таков:

(3.240)

Функции модуля скорости , , являются решениями уравнений (3.234, 3.233, 3.235).

3.4.9. Макроскопические потоки и коэффициенты переноса

3.4.9.1. Диффузионный поток

При заданном виде функции возмущения (3.240) можно найти выражение для плотностей потоков тепла, импульса и числа частиц в соответствии с определениями этих потоков (3.94 - 3.96). Подставляя (3.240) в определение (3.94), получим выражение для разности скоростей компонентов бинарной смеси:

(3.241)

Так как вклад функции возмущения в числовую плотность , то (3.241) можно переписать, заменяя uki на Vki = uki – u0i:

(3.242)

или, с учетом выражения (3.240) для jk(Vk), будем иметь:

(3.243)

где .

Здесь опущено слагаемое выражения (3.240), которое пропорционально тензору второго ранга, так как в этом случае в подинтегральном выражении получается нечетная степень скорости, которая при интегрировании по скоростям в бесконечных пределах дает нуль.

Рассмотрим первый интеграл (3.243), полагая i = x:

(3.244)

Слагаемые, пропорциональные нечетным степеням проекций скорости, будут занулять интеграл, поэтому вместо (3.244) можно записать:

Другие интегралы (3.243) преобразуются аналогично:

(3.245)

В соответствии с (3.245) диффузионная скорость совпадает (или противоположна) по направлению с градиентом температуры или с направлением вектора d. Выражения в квадратных скобках представляют собой кинетические коэффициенты термодиффузии и взаимной диффузии (2.157). Согласно (3.245) возмущение функции распределения, вызываемое градиентом температуры, дает вклад не только в перенос тепла, но и в диффузионную скорость. Это связано с тем, что градиент температуры является довольно грубым «инструментом» воздействия на функцию распределения и, соответственно, интеграл от такой функции не только с весом , но и с весом V не обращается в нуль, что порождает перекрестный эффект термодиффузии.

3.4.9.2. Тепловой поток

Плотность потока тепла для бинарной смеси получим, подставляя (3.240) в определение этой величины (3.96):

(3.246)

Рассмотрим первый интеграл правой части (3.246), полагая i = x:

Так как нечетные по V1x слагаемые будут обращать этот интеграл в нуль, то слагаемые, пропорциональные V1y и V1z, можно опустить:

(3.247)

Равенство (3.247) позволяет заключить, что направление вектора плотности потока тепла, вызываемого градиентом T, совпадает с направлением этого градиента. Производя аналогичные преобразования со всеми слагаемыми (3.246), получим:

(3.248)

В локальной термодинамике необратимых процессов (см. (2.142)) плотность потока тепла была введена как величина, сопряженная термодинамической силе , когда в качестве другой термодинамической силы принимается Ñc1. Так как d1i ~ (Ñс1)i, то ясно, что нам необходимо иметь дело именно с. Эта величина входит в производство энтропии (2.145), поэтому именно в выражении для , а не для jqi, кинетические коэффициенты должны обладать свойствами, характерными для матриц кинетических коэффициентов неравновесной термодинамики. В соответствии с (2.142) и учитывая тождество

получим:

(3.249)

Сравнивая (3.249) с феноменологическими соотношениями (2.157), нетрудно заключить, что выражения в фигурных скобках соответствуют кинетическим коэффициентам и .

Чтобы воспользоваться равенством перекрестных коэффициентов, необходимо выбирать потоки и силы в соответствии с локальной неравновесной термодинамикой (2.156):

а в качестве диффузионного потока надо брать величину (u1–u2)n. Применяя эти определения, перепишем выражения (2.157) в виде:

(3.250)

(3.251)

Таким образом, в качестве перекрестных кинетических коэффициентов выступают коэффициенты пропорциональности перед термодинамической силой в выражении для диффузионного потока и перед термодинамической силой в выражении для теплового потока .

3.4.10. Соотношения Онзагера для перекрестных коэффициентов

В феноменологических соотношениях (2.156) равенство перекрестных кинетических коэффициентов LqD и LDq постулировано. На основе кинетических теорий оно может быть доказано.

Равенство перекрестных коэффициентов связано со свойством симметрии моментов линеаризованного интеграла столкновений. Рассмотрим это свойство. Для этого запишем линеаризованный интеграл столкновений:

(3.252)

Для произвольной функции скорости h(uk) можно определить момент интеграла столкновений, который в дальнейшем будем обозначать с помощью квадратной скобки:

(3.253)

Так как такие моменты интеграла столкновений представимы в виде:

(3.254)

то, очевидно, что

(3.255)

Равенство (3.255) представляет собой искомое свойство симметрии моментов линеаризованного интеграла столкновений.

Выпишем теперь перекрестный поток из (3.249):

(3.256)

В дальнейших преобразованиях воспользуемся соотношениями (3.233, 3.235), которые перепишем в виде:

(3.257)

(3.258)

Учитывая (3.257), из (3.256) будем иметь:

(3.259)

Учитывая (3.258), вместо первого слагаемого (3.245) легко получить:

(3.260)

Анализируя (3.259, 3.260) нетрудно видеть, что слагаемые в фигурных скобках этих выражений представляют собой интегральные скобки (3.253) типа

и ,

которые согласно (3.254, 3.255) равны.

Это свойство приводит к соотношениям Онзагера. Возможность представить интегралы столкновений в виде (3.252) связана с соотношением взаимности функции рассеяния и, следовательно, имеет первопричиной инвариантность законов механики по отношению к смене знака времени.

3.4.11. Коэффициент теплопроводности однокомпонентного газа

Рассмотрим более подробно методику расчета кинетических коэффициентов на примере коэффициента теплопроводности однокомпонентного газа. В соответствии с (3.249) выражение для теплопроводности однокомпонентного газа принимает вид:

(3.261)

Введем безразмерную собственную скорость молекул:

(3.262)

Тогда (3.261) можно переписать в виде:

(3.263)

где .

Выражение (3.263) содержит неизвестную функцию y(с2), которая может быть найдена путем решения уравнения (3.257). Запишем это уравнение более подробно, опуская индекс «k» ввиду однокомпонентности:

(3.264)

С учетом того, что , (3.264) можно переписать в виде:

(3.265)

Неизвестная скалярная функция y может быть разложена в ряд по полной системе ортогональных функций, например, по полиномам Сонина. Коэффициенты ряда можно находить, умножая (3.265) на соответствующие полиномы и интегрируя потом в полном пространстве скоростей. Однако, как показывают подобные расчеты, если , то вполне удовлетворительные результаты получаются уже при учете нулевого члена разложения yT(c2). То есть можно положить, что yT(c2) = a0 (a0 - некоторая константа). Подставляя этот результат в (3.263), получим:

(3.266)

Подставляя в (3.265), умножая (3.265) на и интегрируя в пространстве скоростей, получим алгебраическое выражение для определения константы a0:

(3.267)

где .

Рассмотрим сначала интеграл в числи:

(3.268)

Учитывая свойство момента интеграла столкновений

(3.269)

знаменаможно переписать в виде:

(3.270)

Скорости молекул после столкновения с¢ и связаны со скоростями до столкновения c и c1 законами сохранения импульса и энергии:

(3.271)

(3.272)

Вместо четырех скоростей c, c1, c¢, удобно иметь дело с относительными скоростями и и скоростью центра инерции . Следует напомнить, что сохранение энергии приводит к неизменности модуля относительного движения