Статистические методы расчета кинетических коэффициентов переноса газа (стр. 8 )

(3.320)

Система уравнений (3.320) является системой неоднородных интегральных уравнений, которая имеет нулевое решение в случае обращения в нуль термодинамических сил dnk/dz и dT/dz, величиной которых определяется свободный член (3.320). Обозначим через , решения (3.320), получаемые в случае, когда обращаются в нуль все термодинамические силы, кроме одной, указываемой в верхнем индексе hk. Так как уравнение (3.320) является линейным, то его решение при одновременном воздействии всех сил будет суперпозицией упомянутых выше решений:

(3.321)

Здесь через r и q обозначены полярные координаты в плоскости сечения канала.

Путем умножения уравнения (3.321) на молекулярные признаки

и последующего интегрирования в пространстве скоростей и по сечению канала в соответствии с определениями средней скорости (3.84) и плотности потока тепла (3.89) нетрудно получить феноменологические уравнения для потоков числа частиц компонентов и потока тепла в канале:

(3.322)

При этом кинетические коэффициенты представляют собой интегралы типа:

(3.323)

и т. д.

Заметим, что система феноменологических соотношений (3.322) полностью совпадает с системой (2.286), полученной методами неравновесной термодинамики. Феноменологические соотношения можно переформулировать, выбрав в качестве термодинамических сил величины

(3.324)

Этим силам будут соответствовать потоки, которые легко получить на основе (3.322):

(3.325)

Феноменологические выражения для этих потоков (2.292) были выписаны в макролокальной неравновесной термодинамике. Там же приводятся соотношения для кинетических коэффициентов системы (3.322) и коэффициентов, соответствующих термодинамическим силам (3.324).

Таким образом, для вычисления кинетических коэффициентов необходимо находить решение системы (3.320), которая представляет собой систему интегральных уравнений в пространстве скорости. Это слишком сложная задача даже для численных методов, реализуемых на современных мощных ЭВМ. Однако сравнительно простое решение этой задачи может быть получено для случая, когда функционалы от функций возмущения hk могут быть выражены через первые моменты (интегралы в пространстве скорости) от этих функций. После интегрирования в пространстве скорости уравнения (3.320) будут представлять собой систему уравнений для плотности потока тепла jq(r) и средних скоростей компонентов uk(r). В этом случае отпадает необходимость поиска функции возмущения hk(r, uck).

Возможность такого упрощения возникает при замене уравнения Больцмана на так называемые модельные кинетические уравнения, которые рассмотрим в следующем разделе.

3.5.3. Модельные уравнения Больцмана для бинарной смеси газов

Рассмотрим физический вывод таких уравнений. В неравновесной бинарной газовой смеси выделим частицы сорта k, расположенные в элементе объема dr и возле точки с радиус-вектором r и обладающие скоростью в интервале duk возле скорости uk. Такие частицы за время dt переместятся из точки M с радиус-вектором r в точку M¢ с радиус-вектором r¢ = r + uk dt (см. рис.3.37).

Перемещение частиц, обладающих скоростью .

Рис. 3.37.

Разность числа выделенных частиц в элементах объема возле точек M и M¢ может быть выражена, с одной стороны, через полную производную от функции распределения по времени, а, с другой стороны, через результирующее изменение этого числа за счет прихода и ухода частиц при столкновениях:

(3.326)

Здесь через  - обозначено число ежесекундных приходов (или уходов) частиц сорта k в заданные единичные интервалы (из заданных единичных интервалов) скоростей и физического пространства за счет столкновений частиц k-того и l-того компонентов.

Для упрощенного подсчета числа уходов введем вероятность nkl для молекул сорта k, имеющих скорость uk, столкнуться за единицу времени с молекулами сорта l. В общем случае такая вероятность зависит как от скорости uk, так и от функции распределения частиц l-го компонента. Однако для упрощения часто пренебрегают этими зависимостями и считают nkl зависящей только от плотности l-го компонента, температуры газа и характеристик столкновения молекул.

Тогда число ежесекундных уходов частиц k-того компонента из единичных интервалов скорости и физического пространства за счет столкновений с молекулами сорта k и сорта l, соответственно, можно представить в следующем виде:

(3.327)

Приход частиц в число рассматриваемых обусловлен столкновениями молекул самых разных скоростей. Общее число столкновений молекул сорта k с молекулами сорта l в единице объема в единицу времени запишется так:

(3.328)

Определенная часть этих столкновений после акта рассеяния частиц сорта k будет давать вклад в приход в единичный интервал скорости возле скорости uk. В общем случае число частиц, приходящих в заданный интервал скорости возле uk в результате рассеяния, определяется интегралом столкновений Больцмана сложной структуры. Причем распределение частиц после столкновения является функционалом функций распределения частиц, вступающих во взаимодействие. Для упрощения расчетов было предложено пренебречь этой функциональной зависимостью и считать, что распределение частиц, приходящих в избранный интервал скоростей определяется локальномаксвелловской функцией. Это означает полную хаотизацию (максвеллизацию) распределения частиц за одно столкновение.

Следовательно, если число столкновений nknkl умножить на вероятность молекулам сорта k иметь скорость в единичном интервале возле скорости uk

то получим искомое число приходов (в единичный интервал скорости в единице объема за единицу времени):

(3.329)

Таким образом, с учетом (3.327, 3.329) система уравнений Больцмана (3.326) примет следующий вид:

(3.330)

Уравнения типа (3.330) носят название модельных (релаксационных) уравнений Больцмана. Нередко их называют моделью БГК в честь авторов (Бхатнагар, Гросс и Крук), которые впервые в 1954г. предложили данную аппроксимацию [4]. Параметры модели nkk, nkl и среднюю скорость молекул k-го компонента, приходящих в заданный интервал возле скорости uk после столкновения с молекулами l-го компонента ukl, принято определять из условия совпадения моментов истинного и модельного интегралов столкновений. В результате такого сравнения было найдено, что:

(3.331)

Здесь hk, pk - парциальные вязкость и давление, du - безразмерная величина ~1.

Следует отметить, что модельные уравнения (3.330) сохраняют все основные свойства уравнения Больцмана:

1.  Если искомые функции распределения являются локально-максвелловскими и диффузионный поток равен нулю
((ul – uk) = 0), то столкновительный член (3.330) обращается в нуль.

2.  Выполняются законы сохранения массы, энергии, импульса.

3.  На основе (3.330) может быть доказана Н-теорема Больцмана.

3.5.4. Интегрально-моментный метод решения модельных уравнений

Систему уравнений (3.330) будем решать методом перехода к интегральному уравнению для функции возмущения путем проведения интегрирования вдоль характеристик. Эта процедура аналогична приведенной в разделе 3.5.2. Поэтому нам можно воспользоваться уравнением (3.320), предварительно установив соответствие обозначений. Для этого рассмотрим аналог интеграла столкновений в модельных уравнениях:

(3.332)

Учтем, что ввиду слабого возмущения равновесного состояния , тогда

(3.333)

Подставляя (3.333) в (3.332), получим:

(3.334)

Сравнивая выражения для истинного (3.312) и модельного (3.334) интегралов столкновений, нетрудно увидеть следующее соответствие обозначений:

(3.335)

Подставляя эти выражения в уравнение (3.320), в изотермическом случае получим:

(3.336)

В свободномолекулярном режиме (nkl, nkk ® 0)

(3.337)

Здесь suzk/uck - длина пути от точки старта частиц на стенке (xw, yw, zw) до точки наблюдения (x, y, z), s - проекция этого пути на плоскость поперечного сечения канала.

Выражение (3.337) представляет собой редкий случай строгого аналитического результата для неравновесной функции распределения.

Следует обратить внимание на то, что в правой части уравнения (3.336), в отличие от (3.320), не содержится функций возмущения в явном виде. Это позволяет перейти к интегральным уравнениям для моментов функции распределения, в данном случае, для скоростей компонентов. Воспользуемся определением средней скорости k-того компонента:

(3.338)

Здесь в пространстве скорости использована цилиндрическая система координат (uck, q, uzk), а для координат в плоскости поперечного сечения канала применили полярную систему координат (r, j), причем в силу аксиальной симметрии задачи функция возмущения и средняя скорость не должны зависеть от угла j (см. рис.3.38).

Системы координат в сечении канала

Рис. 3.38.

Для того, чтобы в левой части уравнения (3.336) получить среднюю скорость, умножим (3.336) на uzkf0kduk и проинтегрируем по всем скоростям:

После интегрирования по uzk с учетом равенства duck = uck duck dq, получаем замкнутую систему взаимосвязанных интегральных уравнений для скоростей компонентов:

(3.339)

При интегрировании по q и s¢ необходимо учесть, что s = s(r, q), а r¢ = r¢(s¢, r, q). Эти функции в явном виде можно получить, рассмотрев геометрические проекции траектории движения молекул в круглом канале на плоскость перпендикулярного сечения (см. рис.3.38).

Расстояние в плоскости сечения от точки старта s = 0 до точки наблюдения s состоит из двух отрезков, которые легко найти на основе рисунка:

(3.340)

и аналогично:

(3.341)

Чтобы найти r¢(s¢, r, q), рассмотрим треугольник со сторонами R, r¢, s¢ и углом q ¢. По теореме косинусов имеем:

(3.342)

Подставляя из (3.341) в выражение (3.342), получим:

(3.343)

Рассмотрим роль множителя в уравнении (3.339). Показатель имеет порядок , т. е. порядок обратного числа Кнудсена. Множитель представляет собой вероятность молекул пройти путь (s – s¢) без столкновений. Если Kn ® ¥, то эта вероятность стремится к единице, и молекула проходит путь от стенки к стенке без столкновений. При Kn « 1 множитель отличен от нуля только на расстоянии от точки наблюдения (s – s¢) порядка нескольких длин свободного пробега.

В свободномолекулярном пределе система уравнений (3.339) расцепляется и перестает быть интегральной:

(3.344)

Это означает, что движение компонентов в канале будет происходить независимо друг от друга. Производя интегрирование в (3.344), легко получить:

(3.345)

Здесь E(r/R) - полный эллиптический интеграл. На основе (3.345) нетрудно вычислить расход Gk через канал:

(3.346)

Это известная формула Кнудсена для расхода газа в свободномолекулярном режиме.

Для того, чтобы найти средние скорости компонентов при произвольных числах Кнудсена, необходимо решить систему интегральных уравнений (3.339). Если требуется знать зависимость средней скорости u­kz(r) от координат сечения (профиль скорости), то задачу решают численно, разбивая область определения (0 ¸ R) радиальной координаты r на достаточно большое число шагов, причем внутри каждого j-го шага считается постоянной. В этом случае, после проведения интегрирования на каждом шаге, уравнение (3.339) сведется к системе алгебраических уравнений для значений .

Если исследователю требуется знать только значения расходов, т. е. интегралов от ukz(r) по сечению, то обычно применяют вариационные методы.

Суть вариационных методов рассмотрим на примере метода Бубнова-Галеркина. В этом случае неизвестная функция ukz(r) аппроксимируется какой-либо простой пробной функцией - как правило, степенным рядом с ограниченным числом членов. Основная трудность такого подхода состоит в удачном подборе этой пробной функции. В данной задаче, ориентируясь на известную формулу Пуазейля для вязкого режима течения, используют в качестве пробной функции параболический профиль . Затем подставляют пробную функцию в уравнение и, предварительно умножая на 1 и r2, интегрируют по сечению. В результате получается система алгебраических уравнений для констант Ak и Bk, которая разрешается, и по найденным Ak, Bk находят усредненную по сечению скорость каждого компонента, как функцию числа Кнудсена и других характеристик смеси. Процедура эта слишком громоздкая, чтобы приводить ее здесь в подробностях. Рассмотрим только результаты таких расчетов.

3.5.5. Кинетические коэффициенты изотермического движения бинарной смеси газов в каналах

Если длина канала L много больше его радиуса R, то канал можно мысленно разбить на достаточно малые части длиной l(L » l » R), в которых сравнительно быстро устанавливается равновесие газа со стенками канала. В этом случае феноменологические соотношения для потоков можно записать для любого заданного сечения канала. Кинетические коэффициенты в этих соотношениях будут функциями характеристик системы в рассматриваемом сечении, а термодинамические силы выражаются через производные от температуры, давления и концентрации по координате z (а не через конечные разности).

Рассмотрим феноменологические уравнения изотермического движения бинарной смеси газов в длинных каналах, соответствующие макролокальной неравновесной термодинамике (2.292):

(3.347)

(3.348)

В свободномолекулярном режиме (Kn ® ¥) как прямыми расчетами из решения интегральных уравнений (3.339) методом Бубнова-Галеркина, так и путем применения формул Кнудсена для компонентов получаются следующие выражения кинетических коэффициентов в (3.347, 3.348)[5]:

(3.349)

(3.350)

(3.351)

Здесь  - тепловая скорость молекул k-го компонента, ek - доля диффузного отражения частиц k-го компонента от поверхности. Если использовать термодинамические силы вида (см. (3.322)), то при Kn ® ¥ перекрестные коэффициенты L12 = L21 зануляются, отражая тот факт, что компоненты движутся в канале независимо друг от друга.

При малых числах Кнудсена (вязкий режим) кинетические коэффициенты представимы в виде степенного ряда по Kn, в котором ограничимся двумя первыми членами разложения:

(3.352)

(3.353)

(3.354)

Коэффициенты sh, sD, sa характеризуют так называемый режим со скольжением, когда кинетические коэффициенты отклоняются от своих предельно вязких значений при постепенном разрежении газовой смеси. Вторые члены этих разложений позволяют использовать формулы (3.352 - 3.354) для числа Kn < 0.1, их роль велика в диапазоне чисел Kn (0.1 ¸ 0.01). Эти коэффициенты носят название вязкого скольжения (sh), скольжения взаимной диффузии (sD) и скольжения бародиффузии (sa). Заметим, что коэффициент, описывающий взаимную диффузию (3.353), пропорционален коэффициенту D12, который вводится в локальном подходе к описанию смешения газов:

(3.355)

Выражение (3.348) записано для средних по сечению скоростей компонентов и при подстановке в него (3.353) при Kn = 0 дает:

(3.356)

Совпадение выражений (3.355) и (3.356) говорит о плоском профиле разности скоростей , а также о том, что применение модельных уравнений с параметрами (3.331) вместо истинной системы уравнений Больцмана и использование приближенного метода решения интегральных уравнений (3.339) не привело к ошибкам в описании взаимной диффузии. Это решение подтверждает, что взаимная диффузия определяется только частотой перекрестных столкновений n12 (см. (3.331)).

Анализируя выражение для коэффициента (3.352), нетрудно видеть, что оно соответствует известной формуле Пуазейля для вязкого течения газов со скольжением.

При рассмотрении перекрестных коэффициентов и удобно иметь дело с безразмерными отношениями:

(3.357)

(3.358)

Причем при Kn ® 0 ()

(3.359)

Здесь s12 носит название коэффициента диффузионного скольжения (диффузионного ветра), а величину называют постоянной бародиффузии в канале.

Прямые вычисления и , например, методом Бубнова-Галеркина, показывают их равенство (). Следует заметить, если рассматривать не средние по сечению скорости компонентов, а скорости как функции координат сечения, то равенство и нарушается. Это связано с тем, что производство энтропии в элементе длины канала пропорционально потокам числа частиц и тепла через все сечение канала, и, соответственно, для описания этих потоков требуются кинетические коэффициенты, осредненные по сечению канала. Только для таких кинетических коэффициентов, осредненных по сечению канала, должны выполняться соотношения Онзагера в макролокальной неравновесной термодинамике.

Коэффициенты и имеют разностный характер, то есть они обращаются в нуль, если характеристики компонентов полностью совпадают. Для близких значений параметров компонентов эти коэффициенты могут быть представлены в виде:

(3.360)

Здесь A, B, C - функции числа Кнудсена, не зависящие от разностей характеристик молекул компонентов, e1, e2 - доли диффузного отражения молекул компонентов от стенок канала.

В свободномолекулярном пределе движение компонентов становится независимым, а кинетические коэффициенты в соответствии с (3.351) будут определяться только характеристиками столкновений молекул с поверхностью канала e1, e2 и массами частиц (через средние скорости их движения). Поэтому , AKn = 1, CKn = 2.

В пределе вязкого режима течения:

(3.361)

Следует отметить, что формула (3.360) с константами (3.361), полученными на основе строгих кинетических расчетов, достаточно эффективно описывает опытные данные по коэффициенту диффузионного скольжения. Чтобы убедиться в этом, в таблице приведено сравнение опытных значений в пределе вязкого режима с рассчитанными значениями по формуле (3.360), взятое из работы[6].

Таблица 3.3

Коэффициенты некоторых смесей газов

Смесь	Эксперимент	Расчет (3.360) ()
He-Ar	1,09	1,00
He-Ne	0,80	0,82
Ne-Ar	0,32	0,26
H2-Ar	1,37	1,36
H2-Ne	1,22	1,22
N2-Ar	0,21	0,216

Сравнивая значения коэффициентов А и С в предельных режимах , , нетрудно убедиться, что коэффициенты A и C слабо зависят от числа Кнудсена. Независимость A от Kn связана с тем, что тепловая скорость частиц, определяющая диффузионные скорости компонентов, не зависит ни от частоты столкновений атомов друг с другом, ни от частоты столкновений с поверхностью. Слабая зависимость C от Kn менее очевидна, но она подчеркивает неугасающую роль столкновений с поверхностью даже при Kn ® 0, когда число столкновений в объеме становится гораздо больше числа столкновений со стенками. Этот кажущийся парадокс объясняется тем, что столкновения с поверхностью наряду с объемными столкновениями определяют скорость сноса смеси относительно канала. Перекрестные столкновения частиц компонентов определяют скорость их взаимного проникновения или разность скоростей, но при этом остается еще одна степень свободы - скорость сноса смеси как целого относительно канала. Эта последняя определяется, в частности, характеристиками столкновений частиц с поверхностью не потому, что молекула в толще объема вдали от стенки «помнит» об импульсе, с которым молекула стартовала с поверхности. Дело в том, что весь объем газа имеет возможность перемещаться относительно стенки с той скоростью, которая определяется столкновениями атомов (друг с другом и с поверхностью) в тонком поверхностном слое толщиной порядка длины свободного пробега.

Коэффициент B формулы (3.360) меняется от нуля в свободномолекулярном пределе до 0.78 при Kn ® 0. Зависимость B(Kn) может быть выражена полуэмпирической формулой, хорошо описывающей опытные данные и строгие теоретические расчеты:

(3.362)

Далее более подробно рассмотрим кинетический коэффициент , описывающий течение бинарной смеси газов в капилляре под действием градиента давления. Обычно результаты по зависимости представляются в виде следующего отношения, называемого приведенным расходом w(Kn, c1):

(3.363)

Здесь в знаменателе используется выражение свободномолекулярного расхода через капилляр, полученное в предположении полностью диффузного отражения молекул поверхностью.

На основе (3.363), (3.349) нетрудно понять, что при Kn ® ¥ приведенный расход стремится к некоторой константе, независящей от числа Кнудсена и близкой к единице, если отражение близко к диффузному.

В пределе вязкого режима путем деления (3.352) на (3.349) легко получить:

(3.364)

то есть приведенный расход пропорционален обратному числу Кнудсена. Действительно, если характеристики компонентов близки (однокомпонентный газ), то

(3.365)

Переход зависимости от горизонтальной асимптотики при Kn‑1 ® 0 к наклонной при Kn ® 0 связан со сменой режима движения от диффузионного при свободномолекулярном течении к вязкому, континуальному движению, когда молекулы увлекают друг друга.

Приведенный расход как функция числа Кнудсена ведет себя немонотонно, при промежуточных числах Kn наблюдается минимум приведенного расхода (рис. 3.9, рис. 3.10), глубина минимума сравнительно невелика для однокомпонентного газа ( ~ 9%) и достигает ~ 25% для смеси газов с существенно различающимися массами молекул. Происхождение минимума обусловлено тем, что по мере увеличения давления свободномолекулярный режим сменяется на промежуточный, при котором еще нет взаимного увлечения молекул друг другом, а дополнительные столкновения молекул уменьшают среднюю длину свободного пробега в канале, которая становится меньше диаметра канала. В режиме учета первых столкновений характер движения молекул остается диффузионным, но с меньшим коэффициентом диффузии за счет уменьшения длины свободного пробега в канале.

3.5.6. Кинетические коэффициенты неизотермического переноса однокомпонентного газа в длинном канале

Рассмотрение неизотермического поведения газа, особенно, описание перекрестных явлений требует, как правило, более подробных и более сложных теоретических моделей, чем в изотермическом случае. С особой чувствительностью коэффициента термодиффузии к деталям потенциальной функции взаимодействия молекул мы уже столкнулись. Для адекватного описания неизотермического переноса газа в каналах также требуются более сложные модели столкновительных процессов. Это касается как столкновений атомов газа друг с другом, так и их столкновений с поверхностью. В частности, являются недостаточными зеркально-диффузная модель отражения молекул поверхностью и модель БГК уравнения Больцмана. Для описания взаимодействия атомов с поверхностью необходимо применять ядра рассеяния с частичной релаксацией «памяти» об импульсе до столкновения. Такие ядра рассеяния в качестве параметров могут использовать коэффициенты аккомодации тангенциального импульса at (3.131).

При более точной аппроксимации интеграла столкновений Больцмана приход молекул в заданный интервал скорости предполагают не локально-максвелловским, как в БГК-модели, а представляют в виде разложения в ряд по скоростям возле локального максвеллиана. Здесь мы не будем подробно рассматривать эти усложнения в исходных уравнениях и в граничных условиях к ним, но обсудим результаты вычислений, основанных на интегрально-моментном методе решения модельных уравнений (п. 3.5.4).

В соответствии с макролокальной неравновесной термодинамикой неизотермическое движение однокомпонентного газа в цилиндрическом канале радиусом R описывается следующей системой феноменологических соотношений:

(3.366)

(3.367)

Для свободномолекулярного предела (Kn ® ¥) кинетические коэффициенты, описывающие потоки тепла под действием градиента температуры (), а также потоки частиц под действием градиента температуры () и градиента давления будут иметь следующий вид[7]: