Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Дальневосточный государственный университет путей сообщения»
Естественно-научный институт
УТВЕРЖДАЮ:
Заведующий кафедрой
профессор
______________
«___»_________2010 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
дисциплины
«Теория вероятностей и математическая статистика»
направления подготовки:
010500 Прикладная математика и информатика
для специальности Прикладная математика и информатика
квалификации «Математик, cистемный программист»
бакалавр прикладной математики и информатики
Составитель: д-р физ. – матем. наук, профессор
Обсуждена на заседании кафедры «Прикладная математика»
«__» ____________ 20____ г., протокол № ___
Одобрена на заседании методической комиссии «Естественно-научного института»
«___» ____________ 20____ г., протокол № ___
2010 г.
Цель и задачи дисциплины, ее связь с другими дисциплинами
Цель - научить студентов математическим методам исследований случайных явлений в природе и человеческой практике.
Задачи дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» (ТВМС) состоят в том, чтобы дать представление о теории статистических выводов, познакомить с многомерным статистическим анализом.
в результате изучения дисциплины студент должен знать критерии выбора статистического метода, критерии нормировки, связь между различными статистическими методами;
уметь использовать программное обеспечение статистического анализа, применять вероятностные модели в естествознании, количественной оценке случайных величин.
Связь с другими дисциплинами направления подготовки
Дисциплина связана практически со всеми разделами математики, а также с физикой, экономикой и социологическими науками. Причем связь с математическими дисциплинами имеет двойственный характер.
Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» основана на математическом анализе, геометрии и алгебре. С другой стороны, такие дисциплины, как «Теория игр и исследование операций», «Криптография», «Прикладная статистика», не могут обойтись без результатов, полученных в ТВМС за более чем двухвековой период развития.
Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» входит в федеральный цикл общепрофессиональных дисциплин – ОПД. Ф.03
ОПД. Ф.03 | Теория вероятностей и математическая статистика: аксиоматика теории вероятностей; случайные величины, их распределение и числовые характеристики; предельные теоремы теории вероятностей; случайные процессы; точечное и интервальное оценивание, проверка статистических гипотез; линейные статистические модели. | 204 |
Объем дисциплины и его распределение по видам работ
Семестр 4 (18 недель)
Лекции | 36 | Формы отчетности | |
Лабораторные занятия | 0 | Экзамен | 1 |
Практические занятия | 36 | Зачет | 0 |
Всего аудиторных часов | 72 | Курсовой проект | 0 |
Индивидуальные занятия | Курсовая работа | 1 | |
Самостоятельная работа студента | 132 | Расчетно-графическая работа | 0 |
Всего часов | 204 | Форма рубежного контроля: опрос | 0 |
Тематическое содержание курса
Содержание лекционного курса
Номер лекции | Тема лекции |
|
1 | Введение. Классическое и частотное определения вероятности случайного события. | |
2 | 1.Операции над случайными событиями. Двойственность. 2. Теорема сложения. Ее объяснение на примере геометрической интерпретации событий и операций над ними. Следствия. 3. Условная вероятность. Теорема умножения. Определение независимости событий. Следствие теоремы сложения для независимых событий. Надежность схем. | |
3 | 1. Формула полной вероятности. Формула Байеса. 2. Независимые испытания. Формула Бернулли. Теорема о наивероятнейшем числе успехов. | |
4 | 1. Сведение задачи о выборе из конечного множества к задаче в схеме независимых испытаний. 2. Формулировка предельных теорем Муавра – Лапласа. 3. Доказательство локальной теоремы Муавра – Лапласа. | |
5 | 1. Нестрогое доказательство интегральной теоремы Муавра – Лапласа. Оценка погрешности. 2. Формулировка и доказательство пред. теоремы Пуассона. 3. Формулировка пред. теоремы Пуассона с оценкой погрешности. | |
6 | 1. Аксиоматика Колмогорова. 2. Дискретные случайные величины (с. вИндикаторное и биномиальное распределения. | |
7 | 1. Гипергеометрическое, пуассоново и геометрическое распределения. 2. Связь между пятью изученными дискретными распределениями. 3. Совместные дискретные распределения. Независимость случайных величин. | |
8 | 1. Математическое ожидание дискретной с. в. Моменты вероятностных распределений. Дисперсия. 2. Свойства MX и DX. 3. Нормировка с. в. | |
9 | 1. Функция распределения (ф. р.). Свойства. Вид ф. р. для дискретных с. в. 2. Определение непрерывного распределения. Определение абсолютно непрерывного распределения. Функция плотности. Свойства. 3. MX и DX для абсолютно непрерывных с. в. 4. Замечание о сингулярных распределениях. Канторова лестница. 5. Равномерное распределение. | |
10 | 1. Определение гамма-функции. Показательное распределение. Связь с гамма-функцией. 2. Моменты абсолютно непрерывных с. в. Вопрос существования моментов. 3. Распределение Коши. Отсутствие обычной нормировки. | |
11 | 1. Нормальное распределение. Функция плотности. Функция распределения. Стандартное нормальное распределение. Связь между стандартным и общим нормальным распределениями. 2. Вычисление вероятности попадания нормальной с. в. в интервал с помощью таблицы. 3. Центральные моменты нормального распределения. | |
12 | 1. Неравенство Чебышева. Правило “3 предельной теоремы (ЦПТ) для независимых одинаково распределенных слагаемых. Связь ЦПТ с интегральной теоремой Муавра-Лапласа. 4. Оценка погрешности в ЦПТ. | |
13 | 1. Введение в математическую статистику. Выборка числовая. Выборка случайная. Выборочное распределение. 2. Эмпирическая функция распределения. Теорема Гливенко. 3. Моменты выборочного распределения. Точечные оценки параметров исследуемого распределения. | |
14 | 1. Интервальный вариационный ряд. Гистограмма. 2. Статистические критерии. 3. Критерий Пирсона. Теорема Пирсона – Фишера. | |
15 | Доверительный интервал для MX в случае выборки из нормального распределения с известной дисперсией. | |
16 | 1. Условное математическое ожидание. Функция регрессии. 2. Коэффициент корреляции. | |
17 | 1. Средняя квадратическая регрессия и м. н.к. 2. Линейная средняя квадратическая регрессия. 3. Выборочное условное среднее. Эмпирическая функция регрессии. 4. Эмпирическая линейная средняя квадратическая регрессия. | |
18 | Состоятельность и несмещенность оценок. | |
Итого 36 час |
”. 2. Формулировка Содержание практического курса
Номер практического занятия | Содержание занятия |
1 | Элементы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Применение числа сочетаний. |
2 | 1. Классическое определение вероятности. Применение числа сочетаний. 2. Теорема сложения. Независимость событий. Следствие теоремы сложения для независимых событий. Надежность схем. |
3 | 1. Формула полной вероятности 2. Формула Бернулли. Применение теоремы о наивероятнейшем числе успехов. |
4 | 1. Сведение задачи о выборе из конечного множества к задаче в схеме независимых испытаний. 2. Применение локальной теоремы Муавра – Лапласа. 3. Применение интегральной теоремы Муавра – Лапласа с оценкой погрешности. |
5 | Применение предельной теоремы Пуассона с оценкой погрешности. |
6 | 1. Дискретные случайные величины. Нахождение вероятности попадания дискретной с. в. в интервал. Математическое ожидание и дисперсия. Нормировка случайных величин. 2. Индикаторное и биномиальное распределения. Их нормировки. Связь между ними. |
7 | Гипергеометрическое, пуассоново и геометрическое распределения. Их нормировки. Связь между ними. |
8 | Функция распределения дискретных с. в. Нахождение вероятности попадания дискретной с. в. в интервал. |
9 | 1. Абсолютно непрерывные случайные величины. Функция распределения. Плотность распределения. Нахождение вероятности попадания с. в. в интервал. 2. Равномерное распределение, MX и DX. Нахождение вероятности попадания с. в. в интервал. Нормировка. |
10 | 1. Показательное распределение. Применение гамма-функции для вычисления MX и DX. Нахождение вероятности попадания с. в. в интервал. Нормировка. 2. Распределение Коши. Моменты. Нахождение вероятности попадания с. в. в интервал. Отсутствие обычной нормировки. |
11 | 1. Нормальное распределение. Функция плотности. Функция распределения. Стандартное нормальное распределение. Вычисление вероятности попадания нормальной с. в. в интервал с помощью таблицы. 2. Стандартное нормальное распределение как результат нормировки произвольного нормального распределения. |
12 | 1. Свертка функций. 2. Лемма о распределении суммы незвисимых случайных величин.3. Распределение суммы независимых нормальных с. в. 4. Гамма-функция и бета-функция. |
13 | 1. Распределение хи-квадрат. Два определения. Теорема об их эквивалентности. Таблицы. 2. Распределение Стьюдента. Два определения. Теорема об их эквивалентности. Таблицы |
14 | 1. Вариационный ряд. Эмпирическая функция распределения. 2. Параметры выборочного распределения как оценки параметров исследуемого распределения. 3. Интервальный вариационный ряд. Гистограмма. |
15 | 1. Критерий Пирсона. 2. Доверительный интервал для MX в случае выборки из нормального распределения с известной дисперсией. |
16 | 1. Выборочное условное среднее. Эмпирическая функция регрессии. 2. Вычисление выборочного коэффициента корреляции. 3. Эмпирическая линейная средняя квадратическая регрессия. |
17 | Критерий Стьюдента для проверки гипотезы о независимости координат в случае выборки из двумерного нормального распределения. |
18 | Итоговая аттестация. |
Виды самостоятельной работы студентов и их формы и содержание
Самостоятельная работа студентов направлена на закрепление теоретических навыков, правильное оформление результатов практических работ, на работу с учебно-методической литературой.
Формы самостоятельной работы:
1. Проработка лекционного материала.
2. Подготовка к тестированию.
3. Выполнение индивидуальных домашних заданий.
4. Выполнение курсовой работы.
5. Подготовка к экзамену.
Формы текущего контроля знаний
Текущий контроль осуществляется в форме проверки самостоятельных домашних заданий и собеседования преподавателя со студентом по соответствующей теме. Во второй половине семестра предусмотрено тестирование, целью которого является определение уровня усвоения студентом учебного материала. В конце семестра студенты сдают курсовую работу.
Основные формы контроля:
- сдача самостоятельных домашних заданий,
- тестирование,
- сдача курсовой работы.
Темы промежуточного контроля.
1. Применение комбинаторики к нахождению классической вероятности.
2. Теоремы сложения и умножения в решении задач
3. Формула полной вероятности в решении задач.
4. Формула Бернулли в схеме независимых испытаний.
6. Использование локальной теоремы Муавра - Лапласа.
7. Использование интегральной теоремы Муавра – Лапласа с оценкой погрешности.
8. Дискретные распределения и их моменты. Функция распределения.
9. Абсолютно непрерывные распределения и их моменты. Плотность распределения и функция распределения.
10. Нормальное распределение.
11. Неравенство Чебышева.
12. Закон больших чисел в формах Бернулли, Чебышева и Хинчина.
13. Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин.
Вопросы к экзамену
1. Сумма, произведение случайных событий. Несовместность событий.
2. Классическое определение вероятности.
3. Частотное определение вероятности. Теорема сложения (геометрическое объяснение).
4. Условная вероятность, теорема умножения, независимые события.
5. Формула полной вероятности.
6. Формула Бернулли.
7. Теорема о наивероятнейшем числе успехов.
8. Формулировки и доказательства теорем Муавра-Лапласа. Оценка погрешности.
9. Формулировка предельной теоремы Пуассона с оценкой погрешности.
10. Формулировка и доказательство предельной теоремы Пуассона без
оценки погрешности.
11. Вероятностное пространство. Аксиоматика Колмогорова.
12. Определение случайной величины. Что понимается под
вероятностью попадания случайной величины в какой либо интервал?
13. Определение дискретной случайной величины. Математическое
ожидание. Механический смысл.
14. Распределение функции дискретной случайной величины, суммы и произведения случайных величин. Совместное распределение. Независимость случайных величин.
15. Свойства математического ожидания.
16. Моменты и центральные моменты. Дисперсия.
17. Свойства дисперсии.
18. Индикаторное, биномиальное, гипергеометрическое, геометрическое и пуассоново распределения. Связь между ними. Их математические ожидания и дисперсии.
19. Функция распределения. Ее свойства. Вид функции распределения
дискретной случайной величины.
20. Абсолютно непрерывные случайные величины. Функция плотности. Ее
свойства. Связь с функцией распределения.
21. Математическое ожидание и дисперсия для абсолютно непрерывной случайной
величины. Механический смысл математического ожидания.
22. Математическое ожидание функции случайной величины. Моменты и центральные моменты распределения.
23. Равномерное и показательное распределения; распределение Коши. Их
моменты.
24. Нормальное распределение. Лемма о связи между нормальным
распределением общего вида и стандартным нормальным распределением. Умение пользоваться таблицами стандартного нормального распределения.
25. Лемма о моментах нормального распределения.
26. Неравенство Чебышева и правило трех сигм.
27. Формулировка закона больших чисел (ЗБЧ) в форме Хинчина. Доказательство ЗБЧ в
форме Чебышева. ЗБЧ Бернулли как частный случай теоремы Хинчина.
28. Формулировка и смысл центральной предельной теоремы (ЦПТ). Оценка погрешности.
29. Связь между интегральной теоремой Муавра-Лапласа и ЦПТ.
30. Лемма о распределении суммы независимых случайных величин.
Свертка распределений.
31. Решение задачи о распределении суммы независимых нормальных случайных величин.
32. Определение условного математического ожидания (дискретный и
непрерывный случаи). Свойства. Функция регрессии. Корреляционная зависимость между случайными величинами.
33. Определение и свойства коэффициента корреляции
34. Вывести формулы коэффициентов регрессии в случае линейной
корреляции.
35. Определение средней квадратической регрессии. Лемма о средней квадратической регрессии. Лемма о линейной средней квадратической регрессии.
36. Коэффициент корреляции как характеристика линейной зависимости между двумя случайными величинами.
37. Определение двумерного нормального случайного вектора. Формулировка теоремы о линейности корреляции между координатами двумерного нормального случайного вектора.
38. Гамма-функция и ее свойства.
39. Распределение хи-квадрат. Два определения. Теорема об их эквивалентности. Умение пользоваться таблицами распределения хи-квадрат.
40. Распределение Стьюдента. Два определения. Теорема об их эквивалентности. Умение пользоваться таблицами распределения Стьюдента.
41. Выборка. Случайная выборка. Вариационный ряд. Выборочное распределение. .
42. Эмпирическая функция распределения как случайная функция. Формулировка теоремы Гливенко.
43. Интервальный вариационный ряд. Гистограмма.
44. Статистики. Точечные оценки параметров. Способ построения оценок, основанный на выборочном распределении. Оценки для математического ожидания, дисперсии, моментов теоретического распределения.
45. Сходимость по вероятности. Определение состоятельности оценок.
Следствие закона больших чисел о состоятельности выборочного среднего и
выборочных начальных моментов.
46. Теорема о состоятельности оценок выборочной дисперсии и исправленной выборочной дисперсии.
47. Определение несмещенности и асимптотической несмещенности оценок. Доказать соответствующие свойства для оценок математического ожидания и дисперсии.
48. Понятия статистической гипотезы и статистического критерия. Критерии согласия.
49. Формулировка теоремы Пирсона -- Фишера. Критерий хи-квадрат.
50. Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины при известной дисперсии.
51. Выборочный коэффициент корреляции.
52. Критерий Стьюдента для проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициента корреляции.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
