УДК 539.3

Расчет произвольной оболочки на основе МКЭ в смешанной формулировке с учетом геометрической нелинейности

, ,

Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия, Волгоград, Россия

Разработан объемный конечный элемент на шаге нагружения в форме произвольного шестигранника с узловыми неизвестными в виде приращений перемещений и напряжений. Для получения функций формы использована трилинейная аппроксимация приращений перемещений и напряжений как векторных и тензорных полей, что позволило выполнить учет смещения конечного элемента как жесткого целого.

1. Геометрия оболочки. Радиус-вектор точки М срединной поверхности оболочки имеет вид где x, y, z – координаты точки, – орты декартовой системы. Векторы локального базиса точки М0 определяются выражениями

.

Производные векторов локального базиса можно разложить по векторам локального базиса и записать в матричном виде , где .

Радиус-вектор точки М0t, отстоящей на расстоянии t от срединной поверхности, определяется выражением . Векторы локального базиса точки Мt имеют вид .

При реализации шагового нагружения точка М0t рассматривается в трех положениях: исходном М0t, деформированном после j шагов нагружения Мt (вектор перемещения ) и соседнем – после (j+1)-го шага нагружения Мt* (вектор перемещения).

Вектор перемещений представляются в локальном базисе точки М0t

. (1.1)

Производные векторов перемещений определяются дифференцированием (1.1) , где m, k принимают значения 1, 2, 3; – функции компонент вектора и их производных; – функции компонент вектора и их производных.

Положение точки Mt определяется радиус-вектором . Векторы локального базиса точки Mt определяются выражениями . Деформации после j шагов нагружения являются известными [1] .

Положение точки Мt* определяется радиус-вектором

. (1.2)

Вектор локального базиса точки Мt* определяются дифференцированием (1.2): . Приращения деформаций на (j+1)-ом шаге нагружения считаются линейными функциями и представляются в матричном виде , где , , – матрица алгебраических и дифференциальных операторов.

2. Матрица жесткости конечного элемента на шаге нагружения. В качестве конечного элемента выбран произвольный шестигранник [2] с узлами i, j, k, l, m, n, p, h. Для выполнения численного интегрирования он отображается на куб с локальными координатами . Вектор перемещения внутренней точки конечного элемента и тензор ее напряжений аппроксимируются с использованием трилинейных функций формы

, , (2.1)

где – строка векторов перемещений узловых точек элемента, – строка тензоров напряжений в узловых точках, – вектор перемещения узловой точки , – тензор напряжений в узловой точке , .

Векторы локальных базисов узловых точек конечного элемента можно выразить через векторы локального базиса внутренней точки конечного элемента соотношениями

, , (2.2)

где .

Преобразованием (2.1) с учетом (2.2) можно получить матричные зависимости

, , , (2.3)

где , – вектор узловых перемещений конечного элемента,

– вектор приращений напряжений в узлах конечного элемента.

Для формирования матрицы жесткости используется равенство на шаге нагружения возможных и действительных работ внешних и внутренних сил

, (2.4)

где V – объем оболочки, s – площадь поверхности с заданной нагрузкой, , – векторы нагрузок после j-го и (j+1)-го шагов соответственно.

После замены действительной работы внутренних сил на шаге нагружения разностью полной и дополнительных работ , где [Е] – матрица податливости материала, и использования соотношений (2.3), функционал (2.4) принимает вид

(2.5)

Выполняя минимизацию функционала (2.5) по и и объединяя полученные уравнения, запишем матричное выражение

,

где

, , , .

Реализация изложенного алгоритма на примере нелинейного упругого деформи­рования цилиндрической панели под действием сосредоточенной силы показала его преимущество перед алгоритмом аппроксимации приращений перемещений и напря­жений как скалярных полей, при использовании которого наблюдался срыв вычисли­тельного процесса при нагрузке, значительно меньшей предельной.

Литература

1. Седов сплошной среды. Т. 1. – М.: Наука, 1976. – 536 с.

2. Гуреева объемный конечный элемент оболочки вращения с неизвестными напряжениями и перемещениями в узлах // Изв. ВУЗов. Строительство. – 2007. – № 4. – С. 33–39.