Физические основы механики (стр. 2 )

4. Частная обратная задача кинематики:

По известным зависимостям скорости или ускорения необходимо восстановить зависимость пути от времени :

Раздел: Кинематика вращательного движения

2. Кинематика вращательного движения. Введение

2.1. Угол поворота твердого тела

2.2. Угловая скорость

2.3. Период и частота обращения

2.4. Угловое ускорение

2.5. Связь угловых и линейных величин

2. Кинематика вращательного движения. Введение

Абсолютно твердым телом называется тело, представляющее собой совокупность материальных точек, взаимное расположение которых остается неизменным, т. е., тело, которое ни при каких условиях не может деформироваться или деформациями которого можно в данных условиях пренебречь. Если в процессе движения абсолютно твердого тела (рис.2.1) его точки А и В остаются неподвижными, то и любая точка С тела, находящаяся на прямой АВ, также должна оставаться неподвижной. В противном случае расстояния АС и ВС должны были бы изменяться, что противоречило бы предположению об абсолютной твердости тела.

Поэтому движение твердого тела, при котором две его точки А и В остаются неподвижными, называют вращением тела вокруг неподвижной оси, а неподвижную прямую АВ называют осью вращения.

Рассмотрим произвольную точку М тела, не лежащую на оси вращения АВ. При вращении твердого тела расстояния М А и МВ и расстояние ρ точки М до оси вращения должны оставаться неизменными.

Таким образом, все точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения, а плоскости перпендикулярны этой оси.

Движение абсолютно твердого тела, закрепленного в одной неподвижной точке, называют вращением тела вокруг неподвижной точки - центра вращения.

Такое движение абсолютно твердого тела в каждый момент времени можно рассматривать как вращение вокруг некоторой оси, проходящей через центр вращения и называемой мгновенной осью вращения тела. Положение мгновенной оси относительно неподвижной системы отсчета и самого тела с течением времени может изменяться.

2.1. Угол поворота твердого тела

При вращательном движении, в отличие от поступательного, скорости разных точек тела неодинаковы. Поэтому скорость какой-либо точки вращающегося тела не может служить характеристикой движения всего тела.

Пусть т. О - центр вращения тела, а - неподвижная (или мгновенная) ось вращения (рис.2.2).

Положение произвольной т. М тела будем задавать с помощью радиус-вектора , проведенного из центра О. Из рисунка видно, что:

,

где- радиус-вектор, проведенный в точку дуги окружности, по которой движется т. М.

За малое время вектор поворачивается в плоскости перпендикулярной , на малый угол . На такой же угол поворачивается за время радиус-вектор любой другой точки тела, т. к в противном случае расстояние между этими точками должны были измениться.

Таким образом, угол поворота характеризует перемещение всего вращающегося тела за малый промежуток времени.

Удобно ввести вектор элементарного (малого) поворота тела, численно равный и направленный вдоль мгновенной оси так, чтобы из его конца поворот тела был виден происходящим против часовой стрелки.

В системе «СИ» единицей измерения угла поворота тела называется радиан (рад).

2.2. Угловая скорость

Векторная величина

(2.1)

называется угловой скоростью тела.

Вектор направлен вдоль мгновенной оси вращения в сторону, определяемую правилом винта, т. е. также как вектор элементарного поворота .

Модуль вектора угловой скорости равен .

Вращение с постоянной угловой скоростью называется равномерным, при этом:

т. е. при равномерном вращении показывает, на какой угол поворачивается тело за единицу времени.

В системе «СИ» единица измерения угловой скорости называется радиан в секунду .

2.3. Период и частота обращения

Время, за которое тело совершает один оборот, т. е. поворачивается на угол , называется периодом обращения.

Так как промежутку времени соответствует угол поворота , то

откуда

(2.2)

Число оборотов в единицу времени, очевидно, равно:

(2.3)

отсюда следует, что угловая скорость

(2.4)

2.4. Угловое ускорение

В случае неравномерного движения не остается постоянной.

Величина, характеризующая скорость изменения угловой скорости называется угловым ускорением и равна:

(2.5)

В случае вращения тела вокруг неподвижной оси изменение вектора обусловлено только изменением его численного значения. При этом вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в ту же сторону, что и при ускоренном вращении и при замедленном в обратном направлении. ( рис 2.3 а),б) )

В системе «СИ» единица измерения углового ускорения называется радиан в секунду за секунду.

2.5. Связь угловых и линейных величин

Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости . Скорость каждой точки, будучи направлена по касательной к соответствующей окружности, непрерывно изменяет свое направление. Величина скорости определяется скоростью вращения тела и расстоянием R рассматриваемой точки от оси вращения. Пусть за малый промежуток времени тело повернулось на угол (рис 2.4). Точка, находящаяся на расстоянии R от оси проходит при этом путь, равный

Линейная скорость точки по определению.

(2.6)

Найдем линейные ускорения точек вращающегося тела. Нормальное ускорение:

подставляя значение скорости из (2.6), находим:

(2.7)

Тангенциальное ускорение

Воспользовавшись тем же отношением (2.6) получаем

(2.8)

Таким образом, как нормальное, так и, тангенциальное ускорения растут линейно с расстоянием точки от оси вращения.

Раздел: Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

3. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

3.1. Первый закон Ньютона

3.2. Понятие о силе

3.3. Масса. Второй закон Ньютона

3.4. Принцип независимости действия сил

3.5.Основное уравнение динамики поступательного движения материальной точки. Импульс материальной точки

3.6. Центр инерции системы

3.7. Универсальная форма второго закона Ньютона, выраженная через импульс системы

3.8. Основное уравнение динамики поступательного движения твердого тела

3.9.Третий закон Ньютона

3.10 Преобразование координат Галилея и механический принцип относительности

3.11.Изолированная (замкнутая) система. Закон сохранения импульса

3.12. Методические указания к решению задач по динамике



3. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

3.1. Первый закон Ньютона

Свободным телом называется физическое тело, не взаимодействующее с другими телами или действия других тел на которое полностью скомпенсированы.

Первый закон Ньютона гласит: всякое свободное тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока какое-либо внешнее воздействие не заставит его изменить это состояние.

Первый закон Ньютона показывает, что состояние покоя или равномерного прямолинейного движения не требует для своего поддержания внешних воздействий: В этом проявляется особое динамическое свойство тел, называемое инертностью. Соответственно первый закон Ньютона обычно называют законом инерции, а движение тела, свободного от внешних воздействий - движением по инерции.

Опыт показывает, что первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета.

Системы отсчета, по отношению к которым выполняется закон инерции, называются инерциальными системами отсчета.

То есть, это такие системы отсчета, относительно которых материальная точка, на которую не действуют другие тела, либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно.

3.2. Понятие о силе

С точки зрения наших личных наблюдений, с чем мы связываем «причину движения»? Можно ответить, с мускульной тягой или с толчком. Чтобы передвинуть стол, мы должны его очень сильно толкать, тогда как для перемещения листа бумаги по письменному столу вам достаточно лишь незначительного усилия. Эти тяговые и толкающие усилия мы называем силами.

Таким образом, под силой мы понимаем физическую величину, которая является мерой механического воздействия на тело со стороны других тел.

Силой называют векторную физическую величину являющаяся мерой действия одного физического тела на другое, в результате которого тело изменяет состояние своего движения или деформируется. Сила, приложенная к телу, полностью определена, если указаны ее численное значение, направление действия и точка; приложения М (рис.3.1).

Прямую, проведенную через точку приложения силы в направлении действия силы, называют линией действия силы.

Две силы называются численно равными и противоположными по направлению, если одновременное приложение этих сил в одной и той же точке тела не вызывает изменения его механического движения. В частности, если до приложения таких двух сил тело покоилось, то оно продолжает оставаться в покое и после их приложения. Поэтому говорят, что две численно равные и противоположно направленные силы, приложенные в одной и той же точке тела, взаимно уравновешиваются.

Если на тело одновременно действует n сил, приложенных в одной точке А тела, то их можно заменить одной эквивалентной силой , равно их геометрической сумме

(3.1)

и приложенной в той же точке.

Эта сила называется результирующей или равнодействующей силой. Действие силы на абсолютно твердое тело не изменяется при переносе точки ее приложения вдоль линии действия.

3.3. Масса. Второй закон Ньютона

Опыт показывает, что под действием силы свободное тело изменяет скорость своего поступательного движения, приобретая ускорение . При этом ускорение тела прямо пропорционально вызывающей его силе и совпадает с ней по направлению:

где - положительный коэффициент пропорциональности, постоянный для каждого конкретного тела.

Величина ускорения, приобретенного под действием силы , зависит от тела, на которое действует сила. Так как большим телам труднее придать ускорение, чем малым, принято пропорциональность между силой и ускорением выражать в следующем виде:

(3.2)

Коэффициент пропорциональности m зависит от предмета. Его величина растет с увеличением размеров тел, если они однородны. Постоянная m называется массой тела.

Массой тела m называют скалярную физическую величину, являющуюся мерой инертности физического тела и определяемую отношением модуля ускорения эталона массы к модулю ускорения тела , приобретаемых ими, при их взаимодействии.

В системе «СИ» единица измерения массы является основной единицей измерения и называется «килограмм» (кг).

Кроме второго закона динамики масса фигурирует также и в законе всемирного тяготения (гравитации).

,

где она характеризует уже не инертные свойства физического тела, а его гравитационные свойства, т. е. способность тел притягивать друг друга.

В связи с этим возникает вопрос, не следует ли различать инертную массу и массу гравитационную . Ответ на этот вопрос может дать только опыт. Проведенные многочисленные эксперименты по определению отношения позволяют в настоящее время считать доказанным, что инертная и гравитационная массы равны друг другу с точностью, не меньшей из значения. По этой причине в дальнейшем мы не будем делать различия между инертной и гравитационной массами, а будем говорить просто о массе тела m/

Масса является мерой инертности тела в поступательном движении. Чем меньше инертность тела, тем большее ускорение оно должно приобретать под действием какой-либо определенной силы.

Таким образом, второй закон Ньютона можно сформулировать в следующем виде: ускорение тела прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе тела.

3.4. Принцип независимости действия сил

Если на материальную точку действуют несколько сил, то

(3.3)

где - ускорение материальной точки, вызываемое действием на нее одной силы . Таким образом, если на материальную точку одновременно действуют несколько сил, то каждая из них сообщает м. т. такое же ускорение, как если бы других сил не было. Это утверждение называется принципом независимости действия сил.

3.5.Основное уравнение динамики поступательного движения материальной точки. Импульс материальной точки

Второй закон Ньютона можно записать в другой форме.

Согласно определению:

,

тогда

или

Вектор называется импульсом или количеством движения тела и совпадает по направлению с вектором скорости , а выражает изменение вектора импульса.

Преобразуем последнее выражение к следующему виду:

(3.6)

В системе «СИ» единица измерения импульса называется килограмм-метр в секунду.

Вектор называется импульсом силы .

Это уравнение является выражением основного закона динамики материальной точки: изменение импульса тела равно импульсу действующей на него силы.

3.6. Центр инерции системы

В рассматриваемом выше уравнении Ньютона предполагалось, что тело имеет настолько малые размеры, что его можно считать материальной точкой. Движение любого недеформируемого тела конечных размеров может быть описано уравнениями, аналогичными (3.6), если ввести понятие «центра масс» («центра инерции») тела.

Если тело состоит из n материальных точек с массами и радиус-векторами , то центром масс системы материальных точек называют такую т. С, радиус-вектор которой определяется следующим образом:

(3.7)

где и - масса и радиус-вектор i-ой точки системы, m - общая масса всей системы.

Соответственно соотношения между декартовыми координатами центра инерции и всех точек системы имеют вид:

Скорость центра инерции:

(3.8)

Импульс системы.

Геометрическую сумму импульсов всех материальных точек системы называют импульсом системы и обозначают буквой :

,

тогда скорость центра масс

(3.9)

Таким образом, из (3.9) следует, что импульс системы равен произведению массы всей системы на скорость ее центра инерции:

(3.10)

3.7. Универсальная форма второго закона Ньютона, выраженная через импульс системы

Используя выражение для импульса

и второй закон Ньютона можем записать

(3.11)

где - главный вектор всех внешних сил, действующих на систему.

Последнее уравнение является обобщением уравнения импульса на произвольную механическую систему, т. к. ее всегда можно представить, в виде системы материальных точек, взаимодействующих друг с другом и с внешними телами.

Внешними телами называются тела, не входящие в состав рассматриваемой системы, а силы, действующие на систему со стороны этих тел - внешними силами. Соответственно силы взаимодействия между материальными точками, принадлежащими рассматриваемой системе называются внутренними силами, и их равнодействующая равна нулю.

Уравнение (3.11) показывает, что скорость изменения импульса механической системы равна главному вектору всех внешних сил, действующих на эту систему.

3.8. Основное уравнение динамики поступательного движения твердого тела

Используя уравнения:

и

можем записать

или

(3.12)

Таким образом, центр инерции механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действует сила, равная главному вектору внешних сил, приложенных к системе.

В общем случае движение твердого тела можно рассматривать как сумму двух движений: поступательного со скоростью , равной скорости центра инерции тела, и вращения вокруг центра инерции. Поэтому последнее уравнение часто называют основным уравнением динамики поступательного движения твердого тела.

3.9.Третий закон Ньютона

Третий закон Ньютона формулируется следующим образом:

При взаимодействии физические тела действуют друг на друга с силами, одна из которых называется силой действия, а другая – противодействия, одной и то же природы, направленными вдоль прямой, соединяющей центры масс взаимодействующих тел, равными по модулю и противоположными по направлению.