Физические основы механики (стр. 6 )

Откуда

или, окончательно

Таким образом, длина стержня , измеренная в системе относительно которой он движется, оказывается меньше длины , измеренной в системе, относительно которой он покоится.

Это явление называется лоренцевым сокращением.

Скорости, при которых сокращение размеров движущихся материальных тел становится заметным, носят название релятивистских скоростей, и в настоящее время они достигнуты в крупных масштабах в лабораторной практике и в новых промышленных аппаратах.

В ядерных реакторах атомных электростанций быстрые нейтроны движутся со скоростями, для которых , т. е. сокращение длины порядка 0,3%. Релятивистские частицы, приходящих на Землю космических лучей имеют и продольные размеры сокращаются в 10 миллионов раз. Для быстро летящих заряженных частиц подобной продольной деформации подвергается сопровождающее их электромагнитное поле.

На рис.6.За изображены линии поля и постоянного потенциала электрического поля точечного заряда, когда он неподвижен.

На рис. 6.36 тот же заряд, движущийся с не слишком большой скоростью, на рис.6.3в - со скоростью, очень близкой скорости света.

Если в первом случае поле сферически симметрично, то в последнем оно практически сжимается в «лепешку», перпендикулярную к направлению движения. Эту деформацию электромагнитного поля можно обнаружить на опыте. Релятивистская частица будет взаимодействовать с неподвижным пробным зарядом , помещенным на ее пути, лишь в течении очень краткого времени, когда «лепешка» силовых линий проходит через заряд . Любопытно, что визуально (или на фотографии) изменение формы тела даже при сравнимых со скоростью света скоростях, не может быть обнаружено. Причина этого весьма проста. Наблюдая визуально или фотографируя какое-либо тело, мы регистрируем импульсы света от разных участков тела достигшие одновременно сетчатки глаза или фотопластинки. Испускаются же эти импульсы не одновременно. Импульсы от более удаленных участков тела были испущены раньше, чем от более близких участков.

Таким образом, если тело движется, на сетчатке глаза получается искаженное изображение тела.

Соответствующий расчет показывает, что следствием искажения будет уничтожение лоренцевого сокращения, так что тела кажутся не искаженными, а лишь повернутыми. Если бы лоренцевого сокращения не было, тела казались бы вытянутыми в направлении движения.

6.4. Длительность событий в разных системах отсчета

Пусть в точке х’, неподвижной относительно системы K’, происходит событие длящееся время . Началу события соответствует в этой системе координата и момент времени, концу события - координата и момент времени . Относительно системы K точка, в которой происходит событие, перемещается. Согласно преобразованиям Лоренца началу и концу события соответствуют в системе K’.

Откуда

или

Время , отсчитанное по часам, движущимся вместе с телом, называют собственным временем этого тела.

Kак видно из уравнения, собственное время всегда меньше, чем время, отсчитанное по часам, движущимся относительно тела. Релятивистский эффект замедления хода времени позволяет в принципе осуществить «путешествие в будущее» (но не в прошлое). В самом деле, пусть космический корабль, движущийся со скоростью (где ) относительно Земли, совершает перелет от Земли до некоторой звезды и обратно. Если свет проходит путь от звезды до Земли за время , то и для земного наблюдателя продолжительность перелета равна:

Именно настолько постареют люди на Земле к моменту возвращения космонавтов. С другой стороны, по часам, установленным на космическом корабле, полет займет меньшее время , которое:

В соответствии с принципом относительности все процессы на космическом корабле (в том числе и процесс старения космонавтов) идут так же, как и на Земле, но не по земным часам, а по часам, установленным на корабле.

Пусть, например, = 500 лет и = 0,9999.

Тогда

лет, а лет.

Пусть в системе отсчета K’ материальная точка движется вдоль оси х’ с постоянной скоростью Система K’ движется относительно системы K в том же направлении со скоростью v ,

Определим, чему равна скорость материальной точки vo, относительно системы K, т. е. чему равно . Пусть при м. т. находится в начале координат, причем .

Для системы K:

Подставляя и t в формулу для vo

Делим числитель и знаменатель на t

Это равенство выражает собой релятивистский закон сложения скоростей. При малых значениях скоростей и имеем

т. е. релятивистский закон сложения скоростей переходит в классический

6.5. Релятивистский закон сложения скоростей

Пусть в системе отсчета K’ материальная точка движется вдоль оси х’ с постоянной скоростью Система K’ движется относительно системы K в том же направлении со скоростью v . Определим, чему равна скорость материальной точки vo, относительно системы K, т. е. чему равно .

Пусть при м. т. находится в начале координат, причем .

Для системы K:

Подставляя и t в формулу для vo

Делим числитель и знаменатель на t

Это равенство выражает собой релятивистский закон сложения скоростей.

При малых значениях скоростей

и

имеем

т. е. релятивистский закон сложения скоростей переходит в классический

6.6. Релятивистский импульс

Уравнения классической механики инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея, по отношению же к преобразованиям Лоренца они оказываются неинвариантными. Из теории относительности следует, что уравнение динамики, инвариантное по отношению к преобразованиям Лоренца, имеет вид:

где - инвариантная, т. е. одинаковая во всех системах отсчета величина называемая массой покоя частицы, v - скорость частицы, - сила действующая на частицу. Сопоставим с классическим уравнением

Мы приходим к выводу, что релятивистский импульс частицы равен

(6.7)

Релятивистская масса.

Определив массу частицы m как коэффициент пропорциональности между скоростью и импульсом, получим, что масса частицы зависит от ее скорости.

(6.8)

Энергия в релятивистской динамике.

Для энергии частицы в теории относительности получается выражение:

(6.9)

Из (2.3) следует, что покоящаяся частица обладает энергией

(6.10)

Эта величина носит название энергии покоя частицы. Кинетическая энергия, очевидно, равна

(6.11)

Приняв во внимание, что , выражение для полной энергии частицы можно написать в виде

(6.12)

Из последнего выражения вытекает, что энергия и масса тела всегда пропорциональны друг другу. Всякое изменение энергии тела сопровождается изменением массы тела

и, наоборот, всякое изменение массы сопровождается изменением энергии .Это утверждение носит название закона взаимосвязи или закона пропорциональности массы и энергии.

Раздел: Механические колебания и волны

7. Механические колебания. Введение

7.1 Основные понятия и определения

7.2. Колебания под действием упругой силы (пружинный маятник)

7.3. Энергия колеблющегося тела

7.4. Основное уравнение гармонических свободных колебаний. (Дифференциальное уравнение гармонических колебаний)

7.5. Математический и физический маятники

7.6. Сложение механических колебаний

7.7.Затухающие колебания

7.8. Вынужденные колебания

8. Механические волны

8.1. Распространение волн в упругой среде

8.2. Уравнение плоской одномерной волны

8.3. Фазовая скорость

8.4.Волновая поверхность, фронт волны

8.5. Уравнение плоской волны распространяющейся в произвольном направлении

8.6. Волновое уравнение

8.7. Энергия волны

8.8. Объемная плотность энергии волны

8.9. Плотность потока энергии. Вектор Умова

8.10. Стоячие волны

Раздел: Механические колебания

7. Механические колебания. Введение

7.1 Основные понятия и определения

7.2. Колебания под действием упругой силы (пружинный маятник)

7.3. Энергия колеблющегося тела

7.4. Основное уравнение гармонических свободных колебаний. (Дифференциальное уравнение гармонических колебаний)

7.5. Математический и физический маятники

7.6. Сложение механических колебаний

7.7.Затухающие колебания

7.8. Вынужденные колебания

7. Механические колебания. Введение

Акустика, радиотехника, оптика и другие разделы науки и техники базируются на учении о колебаниях и волнах. Большую роль играет теория колебаний в механике, в особенности в расчетах на прочность летательных аппаратов, мостов, отдельных видов машин и узлов.

7.1 Основные понятия и определения

Периодическим колебанием называется процесс, при котором система (например, механическая) возвращается в одно и то же состояние через определенный промежуток времени. Этот промежуток времени называется периодом колебаний.

Возвращающая сила - сила, под действием которой происходит колебательный процесс. Эта сила стремится тело или материальную точку, отклоненную от положения покоя, вернуть в исходное положение.

В зависимости от характера воздействия на колеблющееся тело различают свободные (или собственные) колебания и вынужденные колебания.

Свободные колебания имеют место тогда, когда на колеблющееся тело действует только возвращающая сила. В том случае, если не происходит рассеивания энергии, свободные колебания являются незатухающими. Однако, реальные колебательные процессы являются затухающими, т. к. на колеблющееся тело действуют силы сопротивления движению (в основном силы трения).

Вынужденные колебания совершаются под действием внешней периодически изменяющейся силы, которую называют вынуждающей.

Во многих случаях системы совершают колебания, которые можно считать гармоническими.

Гармоническими колебаниями называют такие колебательные движения, при которых смещение тела от положения равновесия совершается по закону синуса или косинуса:

(7.1)

Для иллюстрации физического смысла рассмотрим окружность, и будем вращать радиус ОК с угловой скоростью ω против часовой (7.1) стрелки. Если в начальный момент времени ОК лежал в горизонтальной плоскости, то через время t он сместится на угол . Если начальный угол отличен от нуля и равен φ0, тогда угол поворота будет равен

Проекция на ось ХО1 равна

.

По мере вращения радиуса ОК изменяется величина проекции, и точка будет совершать колебания относительно точки - вверх, вниз и т. д. При этом максимальное значение х равно А и называется амплитудой колебаний; ω - круговая или циклическая частота; - фаза колебаний; – начальная фаза. За один оборот точки К по окружности ее проекция совершит одно полное колебание и вернется в исходную точку.

Периодом Т называется время одного полного колебания.

По истечению времени Т повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебания. За один период колеблющаяся точка проходит путь, численно равный четырем амплитудам.

Угловая скорость определяется из условия, что за период Т радиус ОК сделает один оборот, т. е. повернется на угол 2π радиан:

или

Частота колебаний - число колебаний точки в одну секунду, т. е. частота колебаний определяется как величина, обратная периоду колебаний:

7.2. Колебания под действием упругой силы (пружинный маятник)

Пружинный маятник состоит из пружины и массивного шара, насаженного на горизонтальный стержень, вдоль которого он может скользить. Пусть на пружине укреплен шарик с отверстием, который скользит вдоль направляющей оси (стержня).

На рис. 7.2,а показано положение шара в состоянии покоя; на рис. 7.2,б - максимальное сжатие и на рис. 7.2,в - произвольное положение шарика.

Под действием возвращающей силы, равной силе сжатия, шарик будет совершать колебания.

Сила сжатия F = - kx,

где k - коэффициент жесткости пружины.

Знак минус показывает, что направление силы F и смещение х противоположны. Потенциальная энергия сжатой пружины

кинетическая

.

Для вывода уравнения движения шарика необходимо связать х и t. Вывод основывается на законе сохранения энергии.

Полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергии системы.

В данном случае :

.

В положении б)

:

.

Так как в рассматриваемом движении выполняется закон сохранения механической энергии, можно записать:

.

Определим отсюда скорость:

Но в свою очередь

и, следовательно,

.

Разделим переменные

.

Интегрируя это выражение, получим:

,

где- постоянная интегрирования.

Из последнего следует, что

(7.2)

Сравнивая (7.1) с (7.2), получаем

(7.3)

Таким образом, под действием упругой силы тело совершает гармонические колебания.

Силы иной природы, чем упругие, но в которых выполняется условие F = - kx, называются квазиупругими.

Под действием этих сил тела тоже совершают гармонические колебания.

При этом:

смещение:
скорость:
ускорение:

7.3. Энергия колеблющегося тела

Кинетическая энергия

(7.4)

Потенциальная энергия учитывая то, что

т. е.

,

последнее выражение можно записать в виде:

(7.5)

Полная энергия колеблющегося тела равна сумме кинетической и потенциальной энергий

7.4. Основное уравнение гармонических свободных колебаний. (Дифференциальное уравнение гармонических колебаний)

В случае упругих колебаний возвращающая сила F = - kx. Если нет других сил, кроме упругой силы, то колебания называют свободными.

Согласно второму закону Ньютона

,

Или

.

Разделим оба слагаемых на m:

(7.7)

Последнее соотношение носит название основного уравнения гармонических свободных колебаний.

Общее решение этого уравнения имеет вид

,

в чем легко убедиться подстановкой х в исходное дифференциальное уравнение.

7.5. Математический и физический маятники

Математический маятник.

Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити, совершающая колебательное движение в одной вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

Таким маятником можно считать тяжелый шар массой m, подвешенный на тонкой нити, длина l которой намного больше размеров шара. Если его отклонить на угол α (рис.7.3.) от вертикальной линии, то под влиянием силы F – одной из составляющих веса Р он будет совершать колебания. Другая составляющая , направленная вдоль нити, не учитывается, т. к. уравновешивается силой натяжения нити. При малых углах смещения и, тогда координату х можно отсчитывать по горизонтальному направлению. Из рис.7.3 видно, что составляющая веса, перпендикулярная нити, равна