Физические основы механики (стр. 4 )

Векторную сумму моментов импульсов всех материальных точек, из которых состоит абсолютно твердое тело, называют моментом импульса (количества движения) тела относительно точки О:

Векторы и взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости перпендикулярной оси вращения тела.

Поэтому

.

С учетом связи линейных и угловых величин

и направлен вдоль оси вращения тела в ту же сторону, что и вектор .

Таким образом.

Момент импульса тела относительно оси вращения

т. е.

(5.9)

Следовательно,

момент импульса тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость вращения тела вокруг этой оси.

4.7. Основное уравнение динамики вращательного движения

Согласно уравнению (5.8) второй закон Ньютона для вращательного движения

По определению угловое ускорение

и тогда это уравнение можно переписать следующим образом

с учетом (5.9)

или

(5.10)

Это выражение носит название основного уравнения динамики вращательного движения и формулируется следующим образом:

Изменение момента количества движения твердого тела , равно импульсу момента всех внешних сил, действующих на это тело.

4.8. Закон сохранения момента импульса (количества движения).

Из основного уравнения динамики вращательного движения следует, что

Для замкнутой (изолированной) системы результирующий вектор момента всех внешних сил, действующих на тело, равен нулю и

или

Это утверждение представляет собой содержание закона сохранения момента количества движения: и формулируется следующим образом:

Если результирующий момент всех внешних сил относительно неподвижной оси вращения тела равен нулю, то момент импульса относительно этой оси не изменяется в процессе движения.

Этот закон может быть обобщен на любую незамкнутую систему тел, если результирующий момент всех внешних сил, приложенных к системе, относительно какой-либо неподвижной оси тождественно равен нулю, то момент импульса системы относительно той же оси не изменяется с течением времени.

4.9. Гироскоп. Гироскопический эффект

Гироскопом (или волчком) называют массивное симметричное тело, вращающееся с большой скоростью вокруг оси симметрии (рис.5.5).

Момент количества движения гироскопа совпадает с его осью вращения.

Для того, чтобы изменить направление в пространстве оси гироскопа, т. е. направление вектора необходимо в соответствие основным уравнением динамики вращательного движения подействовать на него моментом внешних сил . Пусть это пара сил создающая вращающий момент относительно оси , лежащей в плоскости чертежа перпендикулярно оси ОО (вращение вокруг ).

При этом наблюдается следующее явление, получившее название гироскопического эффекта:

под действием пары сил, которые, казалось бы, должны были вызвать поворот оси гироскопа ОО вокруг оси , ось гироскопа поворачивается вокруг прямой перпендикулярно к этим осям (т. е. к ОО и ).

«Противоестественное» на первый взгляд поведение гироскопа оказывается, как легко видеть, полностью соответствует законам динамики вращательного движения, т. е. в конечном счете, законам Ньютона.

Рассмотрим поведение гироскопа под действием момента силы действующего вдоль оси . За время момент количества движения гироскопа получит приращение , которое имеет такое же направление, как и . Момент количества движения гироскопа спустя время будет равен результирующей , лежащей в плоскости чертежа. Направление вектора совпадает с новым направлением оси вращения гироскопа.

Таким образом, ось гироскопа повернется вокруг оси (перпендикулярной плоскости чертежа), причем так, что угол между векторами и уменьшится:

Если действовать на гироскоп длительное время постоянным по направлению моментом внешних сил, то ось гироскопа устанавливается, в конце концов, так, что ось и направление собственного вращения совпадают с осью и направлением вращения под действием внешних сил (вектор , совпадает по направлению с вектором ).

Раздел: Механическая энергия и работа.

5. Энергия. Введение

5.1.Механическая энергия.

5.2.Механическая работа и ее связь с изменением кинетической энергии.

5.3. Мощность.

5.4. Кинетическая энергия поступательного движения тела.

5.5. Потенциальная энергия механической системы. Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести.

5.6. Связь потенциальной энергии и консервативной силы. Потенциальные кривые.

5.7. Потенциальная энергия упруго деформированного тела.

5.8. Кинетическая энергия вращающегося тела.

5.9. Работа внешних сил при вращении твердого тела.

5.10. Закон сохранения механической энергии.

5. Энергия. Введение.

В природе существуют весьма разнообразные формы движения материи: механическое, хаотическое тепловое, электромагнитное и т. д. Опыт показывает, что эти различные формы движения материи способны к взаимным превращениям. При этом экспериментальным путем установлено, что все взаимные превращения качественно различных форм движения происходят в строго определенных количественных соотношениях. Причем движение бесследно не исчезает, т. е. в процессе взаимодействия материальных объектов одна форма движения может превращаться (переходить) в другую форму, но при этом «исчезновение» одной формы движения всегда сопровождается «возникновением» эквивалентного количества движения другой формы, что составляет путь всеобщего природного закона о неуничтожимости движения во Вселенной.

Изучение закономерностей превращения одних форм движения материи в другие с количественной точки зрения убеждает нас в том, что объективно должна существовать какая-то единая мера различных форм движения материи, одинаковая для всех форм движения и типов взаимодействия, и которая годилась бы и для описания процесса превращения одной формы движения в другую. Долгие поиски такой универсальной (всеобщей) меры, посредством которой можно было бы измерять различные формы движения и их взаимные превращения привели к введению одной из фундаментальных физических величин – энергии.

Термин «энергия» от гр. -. «» - эн – «внутри + «» - «работа», т. е. «скрытая работа, «деятельность», «действие», ввел в 1807г. английский ученый Томас Юнг.

Энергией называют скалярную физическую величину представляющую собой единую (универсальную) меру различных форм движения и все возможных типов взаимодействия материальных объектов, и являющуюся однозначной, непрерывной, конечной, дифференцируемой функцией параметров состояния системы физических тел. а

5.1. Механическая энергия.

В связи с тем, что обычно различные формы движения рассматриваются раздельно, представляется весьма разумным и энергию разделить на части, иначе говоря, поставить каждой отдельной форме движения материи в соответствие свой определенный вид энергии. Тем более, что функция энергии обладает свойством аддитивности (от лат. « additives»- прибавленный).

В дальнейшем при рассмотрении определенной формы движения материи будем говорить о соответствующем виде энергии – механической, внутренней, электромагнитной и т. п.

Энергию, зависящую от параметров механического состояния системы физических тел, принято называть механической энергией.

Необходимо заметить, что механическая энергия определяется двумя векторными параметрами:

где - радиус-вектором , определяющим положение тела относительно других тел, с которыми это тело взаимодействует.

- скоростью тела , определяющей интенсивность движения тела в пространстве.

В связи с этим представляется возможным разделить механическую энергию на две составляющие, каждая из которых зависит только от одного параметра:

Часть механической энергии, зависящую от взаимного расположения взаимодействующих тел или их частей относительно друг друга, называют потенциальной энергией.

от лат. «potentia» -«сила», «мощь», «возможность».

Часть механической энергии, зависящую от скорости движения тела, называют кинетической энергией.

от гр. «kineta» - «движение».

Сумму кинетической и потенциальной энергий принято называть полной механической энергией тела или системы тел .

5.2. Механическая работа и ее связь с изменением кинетической энергии.

Изменение любого вида энергии, передача ее от одних материальных объектов к другим происходит в процессе их взаимодействия и обусловлено действием сил. Изменение энергии системы означает изменение ее движения, изменение параметров ее состояния.

С количественной стороны преобразование движения характеризуется импульсом силы

,

т. е. произведением силы на время действия силы .

С чем же связано изменение энергии тела? Какой физической величиной можно охарактеризовать это изменение? Проще всего рассматривать эту связь на примере кинетической энергии, определяемой скоростью тела .Пусть на тело с массой , свободно двигавшееся с некоторой скоростью , и вследствие с этим обстоятельством, обладавшее некоторой кинетической энергией ,подействовала в течение некоторого времени переменная сила , которая в результате изменила скорость тела от до , а следовательно, изменила своим действием и кинетическую энергию тела до значения .

По основному закону динамики для бесконечно малого промежутка времени

Выразим время действия силы через параметр кинетической энергии - скорость тела

,

откуда

,

где, -элементарное перемещение, на котором действующую силу можно считать постоянной.

 

В

Тогда

или

Чтобы оценить изменение энергии тела при изменении его скорости от начального состояния, соответствующего значению до конечного, характеризуемого скоростью , необходимо проинтегрировать обе части полученного соотношения, т. е. другими словами, просуммировать воздействие силы на всем участке траектории, на котором действовала сила (или происходило изменение скорости), т. е.

Очевидно, что справа получилось изменение кинетической энергии тела, выраженное разностью между конечной и начальной энергиями, т. е.

Изменение кинетической энергии

Для тела с массой m движущегося с любой скоростью

,

где - функция скорости тела ; логично, что для .

Новая физическая величина, выраженная в общем случае интегралом и являющаяся искомой мерой изменения механической энергии тела, получила название работа силы на участке траектории.

В том случае, когда сила, действующая на тело, есть величина постоянная , ее можно вынести за знак интеграла, т. е. тогда

т. е. работа, совершенная постоянной силой равна скалярному произведению силы на перемещения тела .

Если сила , совершающая перемещение тела, действует под некоторым углом к перемещению тела, то только часть ее совершает работу.

Таким образом, работу силы можно представить как скалярное произведение векторов силы и перемещения .

В общем случае переменной силы

,

где - элементарная работа, совершенная силой на элементе перемещения .

Работа – это физическая величина, которая характеризует свойство (способность) материальных тел передавать друг другу при их взаимодействии некоторое количество энергии.

Работой называют скалярную физическую величину, являющуюся мерой изменения энергии тела в процессе взаимодействия его с другими телами и равную скалярному произведению векторов силы и перемещения , совершаемого телом под действием этой силы.

В системе «СИ» единица измерения работы – джоуль (Дж).

В этих же единицах – джоулях, измеряется и энергия.

Необходимо обратить внимание на то обстоятельство, что работа характеризует не само движение или положение в пространстве какого либо тела, т. е. его энергию, а только изменение энергии. Если в процессе взаимодействия тел, энергия этих тел не изменяется, то и работа равна нулю, или как принято говорить, работа при этом не производится (не совершается).

Механическая работа не совершается (т. е. механическая энергия тела не изменяется):

А. Если в направлении перемещения тела не действует сила, т. е. = 0

Пример: движение тела по инерции.

В. Если нет перемещения тела в направлении действия силы, т. е.

Пример:

1) тело лежит на подставке

2) рука удерживает груз

3)  Тело равномерно без трения движется вдоль горизонтальной поверхности.

С.Если сила действует перпендикулярно перемещению тела, т. е. угол, следовательно

Пример: сила удерживающая тело при его равномерном движении по окружности.

Работа - величина алгебраическая, т. е. она может быть и положительной и отрицательной:

- если, то работа силы положительна, в этом случае параллельная составляющая силы совпадает по направлению с вектором скорости движущегося тела.

Такую силу, совершающую положительную работу называют движущей силой.

- если, то работа силы отрицательна.

Такую силу, совершающую отрицательную работу принято называть силой сопротивления движению.

Пример: сила трения.

5.3.Мощность.

Для того чтобы охарактеризовать быстроту (скорость) совершения работы, вводят новую скалярную физическую величину, называемую мощностью.

Если учесть, что за время сила совершает работу , то мощность, развиваемая этой силой

или в векторном виде

Мощностью называют скалярную физическую величину, представляющую собой работу совершаемую силой за единицу времени и равную скалярному произведению векторов силы и скорости, с которой движется тело под действие этой силы.

В системе «СИ» единица измерения мощности – ватт (Вт).

.

5.4.Кинетическая энергия.

Таким образом, понятию кинетической энергии поступательного движения тела можно дать определение.

Кинетической энергией тела называют скалярную физическую величину, характеризующую движущееся со скоростью физическое тело, и равную работе, которую должна совершить сила, действующая на покоящееся тело, чтобы сообщить ему эту скорость.

5.5.Потенциальная энергия механической системы.

Найдем выражение для потенциальной энергии, которая как мы установили, представляет собой часть энергии механической системы тел, зависящую от ее конфигурации, т. е. от взаимного расположения частиц системы (их положения во внешнем силовом поле) и характера сил взаимодействия между ними. Определим работу, которую совершает сила тяжести , действующая на некоторое тело массой при его перемещении по произвольному пути из точки , находящейся на высоте над поверхностью Земли, в некоторую точку, находящуюся ниже на высоте.

Элементарная работа , совершаемая силой тяжести при бесконечно малом перемещении, равна

Полная работа

Т. к. величина и направление силы тяжести в любой точке траектории движения тела остаются неизменными, то ее можно вынести из под знака интеграла