Физические основы механики (стр. 8 )

,

где - называют резонансной частотой.

обозначает то значение циклической частоты ω вынуждающей силы, при котором .

Из последней формулы следует, что для консервативной системы , а для диссипативной системы несколько меньше собственной циклический частоты. С увеличением коэффициента затухания ω явление резонанса проявляется все слабее, и, наконец при исчезает совсем.

Явление резонанса используется для усиления колебаний, например, электромагнитных. Однако при конструировании различных машин и сооружений необходимо учитывать даже самую небольшую периодическую силу с тем, чтобы предотвратить нежелательные последствия резонанса.

Раздел: Механические волны

8. Механические волны

8.1. Распространение волн в упругой среде

8.2. Уравнение плоской одномерной волны

8.3. Фазовая скорость

8.4.Волновая поверхность, фронт волны

8.5. Уравнение плоской волны распространяющейся в произвольном направлении

8.6. Волновое уравнение

8.7. Энергия волны

8.8. Объемная плотность энергии волны

8.9. Плотность потока энергии. Вектор Умова

8.10. Стоячие волны

8. Механические волны

8.1. Распространение волн в упругой среде

Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газообразной) среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание начнет распространяться в среде с некоторой скоростью v.

Процесс распространения колебаний называется волной.

Частицы среды, в которой распространяется волна, не переносятся волной, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебания частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны.

В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны.

В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны.

Механические поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивлением сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн. В продольных волнах вследствие совпадения направлений колебаний частиц и волны появляются сгущения и разрежения.

Распространение волн в упругой среде.

На рис.8.1 показано движение частиц при распространении в среде поперечной волны. Номерами 1,2,3 и т. д. обозначены частицы, отстоящие друг от друга на расстоянии, равном , т. е. на расстоянии, проходимом волной за четверть периода колебаний, совершаемых частицами.

В начальный момент времени (t = 0) все точки расположены на прямой и ни одна из них не выходит из положения равновесия. Приведем точку 1 в гармоническое колебание с периодом Т, направленное перпендикулярно линии 1-5. Гак как частицы среды связаны между собой силами упругости, они тоже приходят в колебания, но с некоторым запаздыванием.

Через четверть периода точка 1 отклонится от линии равновесия на максимальное смещение. Колебание начали все точки, лежащие слева от точки 2.

По истечении времени начнет подниматься вверх и точка 2.

При , первая точка вернется в положение равновесия, вторая точка достигнет максимального отклонения, и колебания дойдут до точки 3.

При точка 1 достигнет максимального отрицательного смещения, точка 2 вернется в положение равновесия и колебания достигнут точки 4.

Наконец, за время, равное периоду t = Т, точка 1 вернется в положение равновесия, совершив полностью одно колебание. Колебания распространились до точки 5, все колеблющиеся точки образуют волну. При дальнейших колебаниях точек волновой процесс распространится вправо от точки 5.

В рассмотренном случае образования поперечной волны каждая частица движется только вверх и вниз. У наблюдателя же создается впечатление, что «волна бежит», хотя в действительности происходит только передача движения от одной точки среды к другой. В момент времени равный периоду (t = Т), точки 1 и 5, находящиеся в положении равновесия, имеют одинаковое смещение и одинаковое направление движения (вверх). Поэтому говорят, что точки I и 5 имеют одинаковые фазы. В отличие от этого точки 1 и 3, хотя смещения у них одинаковы, движутся в противоположные стороны, поэтому говорят, что точки 1 и 3 находятся в противоположных фазах. Расстояния между точками 1 и 5 определяет длину волны λ т. е. длиной волны λ называется, расстояние между ближайшими точками волны, колеблющимися в одинаковых фазах.

Периодом волны Т называют время одного полного колебания ее точек.

Величина, обратная периоду, называется частотой волны.

Скорость волны определяется скоростью распространения колебаний от одной точки среды к другой:

Так как

то,

(8.1)

Скорость распространения волн тем меньше, чем инертнее среда, т. е. чем больше ее плотность. С другой стороны, она имеет большее значение в более упругой среде, чем в менее упругой.

Скорость продольных волн определяется по формуле:

,

а поперечной:

где ρ- плотность среды, E - модуль Юнга, G - модуль сдвига.

Так как для большинства твердых тел E>G то скорость продольных волн больше скорости поперечных.

8.2. Уравнение плоской одномерной волны

Составим уравнение, которое позволит находить смещение всякой точки волны в любой момент времени. Пусть в точке В рис.8.2 находится источник колебаний. Волны со скоростью v распространяются от источника колебаний вдоль прямой.

Уравнение колебаний точки В задано в виде:

Все точки вправо от В, например точка С, повторяют колебания точки В с некоторым запозданием. Напишем уравнение колебаний точки С. Если точка В колеблется в течении времени t, то колебания дойдут до точки С по истечении времени , поэтому время колебаний точки С будет меньше t и составит .

Тогда уравнение колебаний точки С запишется:

Расстояние от точки В до точки С, равное х, волна проходит со скоростью

,

откуда

.

С учетом уравнение волны будет иметь вид:

	(8.2)

где λ - длина волны

Обозначим эта величина называется волновым числом.

Тогда получим следующее уравнение

(8.3)

которое называется уравнением плоской одномерной волны и определяет смещение любой точки среды, находящейся на расстоянии х от излучателя в данный момент.

Величина

называется фазой волны.

8.3. Фазовая скорость

Зафиксируем какое-либо значение фазы, стоящей в уравнении (2.2), положив ее постоянной для данной точки

Это выражение дает связь между временем t и координатой х, в которой зафиксированное значение фазы осуществляется в данный момент. Определив , мы найдем скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Дифференцируя это соотношение, получим

Откуда

Таким образом, скорость распространения волны V в уравнении (2.2) есть скорость перемещения фазы, в связи с чем ее называют фазовой скоростью.

8.4.Волновая поверхность, фронт волны

Геометрическое место точек, колеблющихся в одной фазе, называется волновой поверхностью.

Волновая поверхность, отделяющая часть пространства, в которой колебания происходят, от той части, где еще нет колебаний, называется фронтом волны.

Именно фронт волны перемещается со скоростью равной фазовой скорости волны. В случае одномерной синусоидальной волны уравнение волновой поверхности имеет следующий вид:

Этому условию в каждый момент времени удовлетворяет только одна точка оси ОХ, координата х которой равна:

Различным значениям фазы волны φ соответствуют различные волновые поверхности, каждая из которых в одномерных волнах вырождается в точку. Из последней формулы видно, что волновые поверхности с течением времени перемещаются в среде со скоростью, равной

,

т. е. фазовой скоростью, которая равна

Таким образом, для синусоидальной волны скорость распространения поверхности постоянной фазы совпадает со скоростью распространения волны.

8.5. Уравнение плоской волны распространяющейся в произвольном направлении

Получим уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении, образующем с осями координат х, у, z углы α,β, γ Пусть колебания в плоскости, проходящей через начало координат, имеют вид .

Возьмем волновую поверхность (плоскость), отстоящую от начала координат на расстоянии l. Колебания в этой плоскости будут отставать от колебаний в точке О (рис.8.3) на время тогда уравнение волны

(8.4)

Выразим расстояние l через радиус-вектор точек рассматриваемой поверхности. Для этого введем единичный вектор нормали к волновой поверхности.

Скалярное произведение

Подставим значение l в уравнение (8.4) и внесем в скобки

Отношение равно волновому числу k.

Вектор равный по модулю волновому числу и имеющий направление вдоль нормали к волновой поверхности называется волновым вектором.

Введя вектор , получим

(8.5)

Чтобы перейти от радиуса - вектора точки к ее координатам х, у, z, выразим скалярное произведение через проекции векторов на координатные оси :

Тогда уравнение плоской волны принимает вид:

(8.6)

где

8.6. Волновое уравнение

Продифференцируем дважды по каждой переменной уравнение (8.6):

	(8.7)

Сложим последние три уравнения и получим

Из (8.7) следует

тогда

(8.8)

Это уравнение носит название волнового уравнения. Всякая функция, удовлетворяющая этому уравнению описывает некоторую волну.

8.7. Энергия волны

Найдем изменение энергии малого объема dV упругой среды, связанное с распространением в среде плоской волны, которая задана уравнением

(8.9)

Ввиду малости объема dV можно считать, что все находящиеся в нем частицы среда колеблются в одной фазе, так что их скорости одинаковы и равны

Поэтому кинетическая энергия объема среды dV, связанная с колебательным движением, равна

где ρ - плотность среды.

Из (8.9) следует

Поэтому

(8.10)

Подсчитывая работу деформации объема dV среды при волновом движении (деформация сдвига в случае поперечной волны и деформации объемного сжатия в случае продольной волны), можно показать, что потенциальная энергия dWп объема dV среды равна его кинетической энергии.

Полная механическая энергия dW колебательного движения элементарного объема dV упругой среды равна сумме его кинетической и потенциальной энергии.

(8.11)