Индивидуально - ориентированный план изучения геометрии

Индивидуально - ориентированный план изучения геометрии

V семестр

План составлен в соответствии с программой по геометрии для студентов математического факультета Iступени высшего педагогического образования. В V семестре планируется изучение раздела “Основания геометрии” и обобщение вопросов аналитической геометрии к итоговой аттестации. Основная литература: “Лекции по геометрии” , КГПУ, 1997 г. Список дополнительной литературы указан в названной выше книге (стр. 85). Для работы понадобятся школьные учебники геометрии Курс рассчитан на 39 часов аудиторных и 16 часов самостоятельной работы и индивидуальных консультаций. Самостоятельная работа предполагает усвоение вопросов по заданию преподавателя и по личному плану студента в соответствии с уровнем знаний и умений, приобретенных в предыдущие годы изучения геометрии, в том числе, за годы обучения в школе.

Среди аудиторных часов 13 лекционных, которые являются обязательными для посещения, т. к. позволяют углубить и систематизировать знания, приобретенные самостоятельно, а также курса и работы с дополнительной литературой. Курс разбит на 3 блока: 1.  Исторический обзор геометрии 1.1.  О логическом строении геометрии (2 + 2 часа) 1.2.  Система аксиом Гильберта (6 +26 часов) 1.3.  Аксиома параллельности (2 + 2 часа) 2.  Геометрия Лобачевского. Элементы сферической геометрии (10 + 5 часов) 3.  Аффинные и Евклидовы n-мерные пространства. Непротиворечивость, независимость и полнота системы аксиом Евклидовой геометрии (10 + 5 часов) Желаю успехов и настойчивости в усвоении курса геометрии!

№ п/п	Тема, знания, умения, навыки	Количество часов	Сроки план/факт	Практические (тренировочные)	Задания зачетные	Прим. (самооценка)
1	2	3	4	4а	4б	5
1.1	О логическом строении геометрии	2.+2		1 ч. Лекции по геометрии (ч.3)	2 ч.
	Знать: суть аксиоматического метода построения геометрии, формулировки постулатов и аксиом Евклида	Лекция 1 «История развития. Логическое строение геометрии», 1ч.	сентябрь 1	1. стр. 5-6. Определения Евклида сравнить с определениями в школьном учебнике и в математической энциклопедии.	1. Формулировки и раскрытие смысла постулатов (стр. 7)
	Уметь: формулировать определения понятий и теоремы, доказывать теоремы о свойствах треугольника, в т. ч. его внешнего угла			2. Доказать предложения Евклида № 1-5 (стр. 9)	2. Доказать предложения №, 27 (стр. 9)
	Навык: формулировка V постулата Евклида				3. Блок-схема: “Логическое строение геометрии”
1.2.	Система аксиом Гильберта	(6 + 2) часов		4 ч.	2 ч.
	Знать: группы аксиом и формулировки аксиом, основные понятия и основные отношения между геометрическими понятиями (объектами Уметь: формулировать и доказывать теоремы абсолютной геометрии о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве, о пересечении сторон треугольника прямой, о внешнем угле треугольника, признаки равенства треугольников, о пересечении прямой и окружности, о свойствах отношения “равенство”. Навык: формулировка и раскрытие смысла аксиом, определение величины геометрической	Лекция 2 «Система аксиом абсолютной геометрии», 1 ч. Семинар 2 «Теоремы абсолютной геометрии», 1ч.	сентябрь 1 сентябрь 2 сентябрь 3	1. Сравнить систему аксиом Гильберта с системой аксиом школьного учебника (по выбору студента)ой энциклопедии. 2. Блок-схема “Система аксиом “Гильберта” “Система аксиом школьного курса” (с указанием автора учебника)	1. Доказательство не менее 1 теоремы из каждой группы аксиом. 2. Теоремы о равенстве треугольников, о внешнем угле треугольника, о существовании и единственности середины отрезка, о соотношении сторон углов треугольника в равенстве прямых углов
1	2	3	4	4а	4б	5
1.3.	Аксиома параллельности. Знать: аксиому параллельности, теорему о сумме углов треугольника в абсолютной и евклидовой геометриях; понятие “четырехугольник Саккери”, его свойства. Уметь: формулировать и доказывать теоремы, эквивалентность аксиомы параллельности и V постулата Евклида; теоремы о существовании прямой, параллельной данной, о свойствах углов при параллельных прямых и секущей, о сумме углов треугольника, о свойствах внешнего угла треугольника. Навык: формулировка аксиомы параллельности Гильберта и 2-х предложений, эквивалентных ей.	(3 + 2) часов Лекция 3 (“Аксиома параллельности”), 1 ч.	сентябрь 4	2 ч. Доказательство утверждений, эквивалентных аксиоме параллельности (стр. 32)	2 ч. 1. Доказать эквивалентность: а) AV и ПV б) AV и теоремы о сумме углов треугольника в) AV и теоремы о внешнем угле треугольника. 2. Блок-схема “Сумма углов треугольника”.

1	2	3	4	4а	4б	5
2	Геометрия Лобачевского. Сферическая геометрия Знать: аксиому параллельности Лобачевского (АVЛ); основные свойства расстояний, прямых в плоскости Лобачевского, свойства треугольников и 4-х угольников; понятия эквидистанты и орициклы. Уметь: описать одну из моделей плоскости Лобачевского, проверить выполнение системы аксиом; вывести формулу угла параллельности. Навык: изображение прямых параллельных и сверхпараллельных на плоскости Лобачевского, угла параллельности	(8 + 6) часов Лекция 4 (“Основные факты геометрии Лобачевского. Модель плоскости Лобачевского”), 2 ч. Лекция 5 «Элементы сферической геометрии»	октябрь 1- октябрь 4	8 ч. 1. Блок-схемы: а) “Система аксиом Лобачевского” б) “Прямые на плоскости Лобачевского” в) Эквидистанты и орициклы г) Сумма углов треугольника по Лобачевскому” д) “Расстояние на плоскости Лобачевского. Угол параллельности”.	5 ч. 1.  стр. 48 № 1-13 2.  стр. 62-63 №1-13

1	2	3	4	4а	4б	5
3	N-мерные пространства. Требования к системе аксиом. Знать: систему аксиом Вейля аффинное и евклидово n-мерные пространства; аффинную систему координат; требования к системе аксиом: непротиворечивость; независимость; полнота. Уметь: описать основные геометрические понятия и аксиомы в евклидовом пространстве, проверить выполнение системы аксиом Гильберта: обосновать независимость, непротиворечивость и полноту системы аксиом евклидовой геометрии. Навык: работа в 3-х мерном пространстве по проверке аксиом геометрии Евклида. Резерв времени: Итог: устный экзамен.	(12 + 5) часов Лекция 6 «N-мерные пространства. Квадрики, квадратичные формы», 2ч. Лекция 7 “Требования к системе аксиом. Непротиворечивость геометрии Евклида”, 2 ч. 4 ч.	ноябрь 1 - ноябрь 4 декабрь	8 ч. 1. стр. 84 №№ 1-3, 5, 14, 16	5 ч. 1. Блок-схема “Действия с векторами и их свойства”. 2. Блок-схема “Аналитическая геометрия”. 3. Блок-схема “Геометрия” 1. Описание евклидовой геометрии (в т. ч. по Вейляну) 2. Модель плоскости Лобачевского. Проверка на ней аксиом. 3. Независимость аксиомы V. 4. Непротиворечивость геометрии Евклида. 5. Полнота систем евклидовой геометрии.