Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Уральский государственный педагогический университет»
Математический факультет
Кафедра алгебры и теории чисел
РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
по курсу по выбору «Евклидовы пространства»
Для ПрОП по направлению «050100 – Педагогическое образование»,
профиль «Математика»
по циклу Б3 – профессиональный цикл
Очная форма обученияКурс – 3 Семестр – 5 Объём в часах всего – 115 в т. ч.: лекции – 14 практические занятия – 26 лабораторные занятия – 0 самостоятельная работа – 75 Экзамен – 5 семестр |
Екатеринбург 2011
Рабочая учебная программа по дисциплине «Евклидовы пространства»
ГОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет», Екатеринбург, 2011. – 11 с.
Составитель:
, к. ф.-м. н., доцент кафедры алгебры и теории чисел УрГПУ, математический факультет
Рабочая учебная программа обсуждена на заседании кафедры алгебры и теории чисел УрГПУ (Протокол № 9 от 01.01.2001).
Зав. кафедрой
Председатель методической комиссии
Декан математического факультета
1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Теория линейных векторных пространств, рассматривается в курсе «Алгебра» во 2 и 4 семестрах. Являясь в какой – то мере обобщением понятия двухмерного или трехмерного евклидового пространства, изучаемых в дисциплине «Геометрия», векторные пространства (n>3) более бедны по своим свойствам, поскольку в них не определены такие важные понятия, как вектор, угол, между векторами скалярное произведение векторов. Понятие n – мерного евклидова пространства с аксиоматически введенным понятием скалярного произведения позволяет построить достаточно богатую теорию. Особый интерес представляют линейные операторы в евклидовых пространствах. В данном курсе по выбору внимание уделяется рассмотрению свойств самосопряженных и ортогональных операторов.
Рабочая учебная программа дисциплины «Курс по выбору: «Евклидовы пространства» соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта третьего поколения (ФГОС-3) подготовки бакалавров по направлению «050100 – Педагогическое образование», профиль «Математика».
1.1. Цели и задачи дисциплины
Цели изучения дисциплины:
· познакомить студентов с возможными обобщениями теорий двухмерного и трехмерного евклидова пространства, рассматриваемых в дисциплине «Геометрия»;
· познакомить студентов с аксиоматическим подходом к построению n – мерного евклидова пространства;
· продемонстрировать студентам сходство и различия алгебраического и геометрического подхода к построению евклидовых пространств;
· сформировать у студентов представление о возможности описания различных линейных операторов на языке теории матриц;
Задачи изучения дисциплины:
· научить студентов проявлять самостоятельность и творческий подход в овладении математическими знаниями ;
· рассмотреть некоторые важные типы линейных операторов евклидовых пространств (самосопряженные, ортогональные и др.) и выявить их свойства;
1.2. Место дисциплины в структуре ПрОП
Курс по выбору «Евклидовы пространства» изучается в рамках вариативной части профессионального цикла. Его изучение базируется на понятиях линейного векторного пространства, базиса линейного оператора, которые рассматриваются в дисциплине «Алгебра» в 4 семестре. Данный курс тесно связан также с геометрическими пространствами размерности 2 и 3 изучаемыми, как в школьной математике, так и в дисциплине «Геометрия» и существенно дополняет раздел «Линейные векторные пространства».
1.3. Требования к результатам освоения дисциплины:
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующей профессиональной компетенции:
способен демонстрировать, применять, критически оценивать и пополнять математические знания,
а также части профессиональной компетенции:
готов организовывать различные виды учебно-исследовательской и проектной деятельности обучающихся.
Основные требования к результатам освоения дисциплины представлены в следующей таблице в виде признаков сформированности компетенции. Требования формулируются по двум уровням: пороговый и повышенный и в соответствии со структурой, принятой в ФГОС ВПО: знать, уметь, владеть.
Уровни сформированности компетенции | Структура компетенции | Основные |
Пороговый уровень | Знает основы аксиоматической теории евклидовых пространств. | Формирует определения скалярного произведения и определения евклидова пространства. |
Воспроизводит алгоритм ортогонализации базиса в евклидовом пространстве. | ||
Формирует определения линейного оператора, ортогонального оператора, самосопряженного оператора. | ||
Знает основные свойства ортогональных и самосопряженных операторов. | ||
Имеет представление о значении аксиоматического подхода к построению теории евклидовых пространств. | ||
Умеет доказывать утверждения теории евклидовых пространств | Знает идеи доказательства основных теорем курса | |
Умеет аргументировано обосновывать основные положения теории евклидовых пространств | ||
Может иллюстрировать положения теории евклидовых пространств примерами из курса «Геометрия» | ||
Умеет Решать задачи по теме: «Евклидовы пространства» | Проверяет аксиомы скалярного произведения и аксиомы евклидова пространства | |
Применят процесс ортогонализации к линейно независимой системе векторов | ||
Приводит примеры ортогональных и самсопряженных операторов с полным обоснованием. | ||
Аргументирует выбор решения задачи | ||
Владеет языком курса «Евклидовы пространства» | Владеет терминологией раздела «Евклидовы пространства» | |
Способен проявить свою компетентность в теории евклидовых пространств применительно к дисциплинам «Алгебра» и «Геометрия» | ||
Способен корректно формулировать знания на алгебраическом и геометрическом языке. | ||
Повышенный уровень | Знает основы теории евклидовых пространств. | Осознает роль Евклидовых пространств в общей теории линейных векторных пространств. |
Устанавливает связи между основными идеями теории евклидовых пространств и другими математическими теориями, дисциплинами и т. д. | ||
Понимает сущность и значение самосопряженных и ортогональных операторов. | ||
Умеет доказывать утверждения теории евклидовых пространств. | Выделяет основные смысловые аспекты в доказательстве утверждений теории евклидовых пространств. | |
Понимает сущность аксиоматического подхода к построению теорий и, в частности, к теории евклидовых пространств. | ||
Понимает специфику требований к строгости доказательства. | ||
Умеет решать задачи по теории евклидовых пространств. | Применяет методы теории евклидовых пространств в незнакомых ситуациях | |
Оценивает логическую строгость в рассуждениях при решении задач. | ||
Владеет профессиональным языком теории евклидовых пространств. | Критически осмысливает полученные знания. | |
Способен передавать результат проведенных исследований в виде конкретных рекомендаций в терминах теории евклидовых пространств. | ||
Способен пользоваться как геометрическим, так и алгебраическим описанием объектов теории евклидовых пространств. |
Таблица № 2
Уровни сформированности компетенции | Структура части компетенции | Основные |
Пороговый уровень (как обязательный для всех студентов-выпускников вуза по завершению освоения дисциплины) | Знает этапы исследования. | Знает основные задачи исследовательского типа в дисциплине «Линейные операторы в евклидовых пространствах». |
Знает, какие типы задач школьного курса математики имеют связи с теорией евклидовых пространств. | ||
Может разработать исследовательские задания на материале школьного курса математики. | Может предложить конкретные задачи исследовательского характера, связанные с теорией евклидовых пространств и доступные для учащихся. | |
Может поставить вопросы, составить план решения предложенных задач. | ||
Может организовать локальную исследовательскую деятельность учащихся. | Может сформулировать цель, гипотезу, предложить пути решения задачи. | |
Способен оценить полученные результаты и наметить пути дальнейшего исследования. | ||
Повышенный уровень | Знает основные требования, предъявляемые к проектам. | Знает темы, связанные с теорией евклидовых пространств и подходящие для разработки исследовательских проектов со школьниками. |
Умеет выбрать тему исследовательского проекта. | Может сформулировать цель, гипотезу, объект и предмет исследовательского проекта. | |
Владеет основами организации работы над проектом. | Способен организовать исследовательскую деятельность группы участников по выбранной теме проекта. |
1.4. Объем дисциплины и виды учебной работы
Согласно учебному плану курс «Евклидовы пространства» на очном отделении изучается бакалаврами на 3 курсе в 5 семестре, форма контроля – зачет. На изучение курса отводится 80 учебных часов, в т. ч. 40 уч. ч. аудиторных занятий и 40 уч. ч. самостоятельной работы студентов. Аудиторные занятия включают 14 уч. ч. лекций, 26 уч. ч. практических занятий. Контроль и организация самостоятельной работы студентов осуществляются с помощью домашних заданий, охватывающих все наиболее важные разделы курса.
На заочном отделении дисциплина «Евклидовы пространства» изучается на 4 курсе в 8 семестре, форма контроля – зачет. На изучение курса отводится 36 учебных часа, в т. ч. 18 уч. ч. аудиторных занятий и 18 уч. ч. самостоятельной работы студентов. Аудиторные занятия включают 6 уч. ч. лекций, 12 уч. ч. практических занятий. Лабораторные занятия не предусмотрены.
Общая трудоемкость дисциплины составляет две зачетные единицы.
2. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
2.1. Учебно-тематический план очной формы обучения
№ п/п | Наименование раздела, темы | Всего тру- доем- кость | Аудиторные занятия | Самостоя- тель- ная работа | |||
Все- го | Лек- ции | Пра- кти- чес- кие | Ла- бора- тор- ные | ||||
1 | Евклидовы пространства. Свойства. Длина вектора. Угол между векторами в евклидовом пространстве | 19 | 6 | 2 | 4 | 13 | |
2 | Ортонормированные системы векторов. Процесс ортогонализации. Ортогональные дополнения | 31 | 12 | 4 | 8 | 19 | |
3 | Изоморфизм евклидовых пространств | 11 | 2 | 2 | 9 | ||
4 | Ортогональные операторы | 27 | 10 | 4 | 6 | 17 | |
5 | Самосопряженные операторы | 27 | 10 | 4 | 6 | 17 | |
ИТОГО: | 115 | 40 | 14 | 26 | 75 |
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Структурированное содержание дисциплины
№ п/п | Наименование раздела (темы) | Содержание раздела |
1 | Евклидовы пространства. Свойства. Длина вектора. Угол между векторами в евклидовом пространстве | Скалярное произведение. Свойства. Определение евклидова пространства. Определение длины вектора и угла между векторами. |
2 | Ортонормированные системы векторов. Процесс ортогонализации. Ортогональные дополнения. | Ортогональные системы векторов. Линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов. Процесс ортогонализации. Ортонормированный базис. Ортогональная сумма подпространств. Ортогональные дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство. |
3 | Изоморфизм евклидовых пространств | Критерий изоморфизма евклидовых пространств. |
4 | Ортогональные операторы | Ортогональные матрицы. Свойства ортогональных матриц. Ортогональный оператор евклидова пространства. Матрица ортогонального оператора. Группа ортогональных операторов. |
5 | Самосопряженные операторы | Определение самосопряженного оператора. Матрица самосопряженного оператора. Собственные значения и собственные векторы самосопряженного оператора. |
3. 2. Перечень тем лекционных занятий
На очном отделении:
Лекция № 1. Скалярное произведение векторов. Евклидово пространство.
Лекция № 2. Процесс ортогонализации. Ортонормированный базис в евклидовом пространстве.
Лекция № 3. Ортогональные дополнения.
Лекция № 4. Ортогональные матрицы.
Лекция № 5. Ортогональные операторы.
Лекция № 6. Самосопряженные операторы.
Лекция № 7. Собственные значения и собственные векторы самосопряженного оператора.
На заочном отделении:
Лекция № 1. Скалярное произведение векторов. Евклидово пространство.
Лекция № 2. Ортогональные операторы.
Лекция № 3. Самосопряженные операторы.
3. 3. Перечень тем практических занятий
На очном отделении:
Занятие № 1. Скалярное произведение. Свойства. Евклидовы пространства.
Занятие № 2. Длина вектора. Угол между векторами в евклидовом пространстве.
Занятие № 3. Процесс ортогонализации.
Занятие № 4. Ортонормированный базис.
Занятие № 5. Ортогональная сумма подпространств.
Занятие № 6. Ортогональная проекция вектора на подпространство.
Занятие № 7. Изоморфизм евклидовых пространств.
Занятие № 8. Свойства ортогональных матриц.
Занятие № 9. Ортогональные операторы.
Занятие № 10. Характеристические корни матрицы ортогонального оператора.
Занятие № 11. Самосопряженные операторы.
Занятие № 12. Матрицы самосопряженных операторов. Свойства.
Занятие № 13. Собственные значения и собственные векторы самосопряженных операторов.
На заочном отделении:
Занятие № 1. Скалярное произведение. Евклидовы пространства.
Занятие № 2. Ортонормированный базис.
Занятие № 3. Изоморфизм евклидовых пространств.
Занятие № 4. Ортогональные матрицы. Свойства.
Занятие № 5. Ортогональные операторы.
Занятие № 6. Самосопряженные операторы.
3.4. Перечень тем лабораторных работ
Учебной программой лабораторные занятия по данной дисциплине не предусмотрены.
3.5. Перечень тем занятий, реализуемых в активной и интерактивной формах
Каждая лекция содержит в себе интерактивные фазы проведения занятия. Все практические занятия проводятся в интерактивной форме, начиная с анализа условия задач до обсуждения вариантов решения.
4. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА И ОРГАНИЗАЦИЯ КОНТРОЛЬНО-ОЦЕНОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
4.1. Темы, вынесенные на самостоятельное изучение для студентов очной и заочной форм обучения
1. Ортогональное дополнение к сумме подпространств.
2. Группа ортогональных операторов.
3. Собственные значения матрицы самосопряженного оператора.
4.2. Темы контрольных работ для студентов очной и заочной форм обучения
Контрольные работы по данному курсу не предусматриваются.
4.3. Примерные темы курсовых работ
Унитарные пространства. Нормальные операторы унитарного пространства. Проекционные операторы пространства.4. 4. Вопросы для подготовки к зачету
Определение скалярного произведения. Свойства. Определение евклидова пространства. Примеры. Определение длины вектора, угла между векторами. Линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов. Процесс ортогонализации. Существование ортонормированного базиса в евклидовом пространстве. Критерий изоморфизма двух конечномерных евклидовых пространств. Равносильные определения ортогональной матрицы. Ортогональность матрицы перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному базису. Невырожденность ортогональной матрицы. Ортогональный операторы евклидова. Примеры. Матрица ортогонального оператора в ортонормированном базисе. Группа ортогональных операторов. Определение самосопряженного оператора. Примеры. Матрицы самосопряженного оператора в ортонормированном базисе. Действительность характеристических корней матрицы самосопряженного оператора. Критерий самосопряженности оператора в евклидовом пространстве.4. 5. Типы задач для подготовки к практической части зачета
Задачи на проверку аксиом евклидова пространства. Задачи на проведение процесса ортогонализации и построение ортонормированного базиса. Задачи на ортогональные дополнении и ортогональные проекции. Задачи на нахождение матрицы ортогонального или самосопряженного оператора в ортонормированном базисе.5. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
5.1. Рекомендуемая литература
Основная
Гельфанд по линейной алгебре, –3-е изд. – М.: Наука, 1966 – 280с. Я, , Сборник задач по линейной алгебре и Теории чисел. М.: Просвещение, 1993. –288 с. Курош высшей алгебры, 9 – е изд. – М.: Наука, 1968. – 431с. , Евсеев и теория чисел, ч.2. – М.: Просвещение, 1978.986. – 447 с. Мальцев линейной алгебры. М.: Наука, 1970. – 400с. Проскуряков задач по линейной алгебре. 2-е изд. – М.: Госуд. Изд-во физ.-мат. литературы, 1962. – 332 с. Фаддеев. К., Соминский задач по высшей алгебре, 11-е изд. М., Наука, 1977. – 288 с.Дополнительная
В, Линейная алгебра. М.: Наука, 1974. – 336 с. В, Розендорн алгебра и многомерная геометрия. М.: Наука, 1970. – 528 с. Сборник задач по алгебре под редакцией М.: Наука, 1987. – 352 с. Линейная алгебра и ее применение. М.: Мир, 1980. – 454 с. Хедли Дж. Линейная алгебра. М.: Высшая школа, 1966. – 206 с.5.2. Информационное обеспечение дисциплины
При изучении данной дисциплины рекомендуется использовать:
Электронный оптический диск (CD-ROM), подготовленный для студентов математического факультета с учебными и методическими материалами по дисциплинам кафедры алгебры и теории чисел. Цифровые образовательные ресурсы сети Интернет www. *****; www. school. *****), http://e-lib. *****.6. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ И ДИДАКТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
При изучении дисциплины «Евклидовы пространства» рекомендуется использовать технические средства обучения (персональные компьютеры, медиа проектор).
7. СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ ПРОГРАММЫ
к. ф.-м. н.,
доцент каф. алгебры и теории чисел УрГПУ
Рабочий телефон: (3
РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
по курсу по выбору «Евклидовы пространства»
Для ПрОП по направлению «050100 – Педагогическое образование»,
профиль «Математика»
по циклу Б3 – профессиональный цикл
Подписано в печать Формат 60х84/16
Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л.
Тираж экз. Заказ
Уральский государственный педагогический университет.
620017 Екатеринбург, пр. Космонавтов, 26.
