АВСДА1В1С1Д1 - прямоугольный параллелепипед. Найти координаты всех его вершин, составить уравнения всех рёбер и всех граней, если известны координаты двух вершин, уравнения одного ребра и одной грани. А(0, 0, 0), С1(13, -8, -6), АD: х/2=y=z
АВСD: 2х-5y+z=0.
Решение. Пусть нам задан параллелепипед. Плоскость 
параллельна плоскости 
и проходит через точку 
. Используя условия параллельности плоскостей 
, составим уравнение плоскости 
: 
или 
, 
. Прямая 
проходит через точку и перпендикулярна к плоскости . Используя условие перпендикулярности прямой и плоскости 
, составим уравнение ребра 
: 
или 
. Ребро 
проходит через точку перпендикулярно плоскости . Используя это условие, найдем уравнение ребра и координаты точки 
. 
: 
.
: 
Тогда 
. Аналогично находим координаты точки : 
.
Ребро ВС проходит через точку С и параллельно AD. Составим уравнение прямой ВС: 
. Заменим координаты направляющего вектора этой прямой координатами направляющего вектора прямой AD, получим уравнение прямой
ВС: 
. Прямая 
проходит через точку и параллельна 
, ее уравнение будет иметь вид 
. Прямая 
проходит через точку 
параллельно . Её уравнение запишется 
. Плоскость 
проходит через точку и прямую .
Из этих условий составим уравнение плоскости . Представим уравнение прямой в виде 
Уравнение пучка плоскостей проходящих через эту прямую запишется 
. Координаты точки удовлетворяют уравнение плоскости , поэтому 
.
Откуда 
и уравнение искомой плоскости запишется 
.
Плоскость 
проходит через точку и параллельно плоскости . Используя эти данные, составим уравнение плоскости : уравнение связки плоскостей, которые проходят через точку 
. Подставим коэффициенты 
Это и есть уравнение плоскости . Прямая 
проходит через точку перпендикулярно плоскости . Для составления уравнения прямой за направляющий вектор можно взять нормальный вектор плоскости , и тогда уравнение прямой запишется 
или 
. Точка 
есть точкой пересечения прямых и . Ее координаты можно найти из решения системы уравнений 
.
Прямая 
проходит через точку 
перпендикулярно к плоскости . Аналогично прямой , находим уравнение прямой : 
.
Точка 
есть точкой пересечения прямых и 
. Аналогично вершине находим координаты точки : 
.
Уравнение прямой 
составляем аналогично прямой . Используя то, что прямая проходит через точку перпендикулярно до плоскости , уравнение прямой будет иметь вид 
.
Прямая 
проходит через точку перпендикулярно плоскости и ее уравнение запишется 
.
