Канский педагогический колледж
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
(Индивидуально-ориентированный план)
спецкурса __________________Геометрия___________________________
для специальности _______0301 математика______________________
__________________________________________________________________
(код и наименование специальности)
Канск 2005 г.
ОДОБРЕНА | Составлена в соответствии с Государственными требованиями | |
кафедрой | К минимуму содержания и уровню подготовки выпускника | |
математики | по специальности | |
Председатель | Заместитель директора по учебной работе | |
Автор: | , преподаватель кафедры математики Канского педагогического колледжа. | |
Рецензенты: | , профессор кафедры алгебры ИМФИ КГПУ, , профессор кафедры геометрии, к. ф-м. н. ИМФИ КГПУ | |
Индивидуально-ориентированный план изучения курса геометрии предназначен для организации взаимодействия преподавателя и студента в система ИОСО и является подробным рабочим планом изучения предмета. Содержит конкретные темы по семестрам, число часов. Отводимых для них на лекции и практические занятия, вопросы для проведения коллоквиумов и экзаменов, варианты контрольных работ. Содержание рабочих планов соответствует стандарту среднего специального образования, введенного в действие с 1 сентября 2002 года. Весь материал хорошо продуман и тщательно отработан. Он интересен и полезен для студентов и преподавателей, работающих по программе основного курса геометрии. | ||
Рекомендовано к использованию в качестве рабочей программы по дисциплине | ||
Содержание
1. Пояснительная записка. 4
2. Тематическое планирование. 6
3. Схематический план отчета по курсу геометрии(элементарной и высшей) 10
4. Приложения. 11
4.1. Геометрический метод решения задач на построение. 11
4.2. Алгебраический метод решения задач на построение заключается в следующем: 12
4.3. Лист опроса № 1 (50 вопросов) 13
4.4. Лист опроса № 2 (30 вопросов) 14
4.5. Лист опроса № 3. 15
4.6. “Элементарные задачи на построение фигур” ставит целью рассмотреть затруднения, связанные с подготовкой листа опроса №3. 16
4.7. “Степень точки, относительно окружности”. 17
4.8. “Построения геометрических фигур”. 18
4.9. Метрические соотношения в треугольнике и окружности. 21
4.10. Площадь фигуры.. 22
4.11. Как работать над теоремой. 23
4.12. Площади. Метрические соотношения. 24
4.13. Как работать с учебным текстом.. 27
4.14. Учимся работать с вопросами. 28
4.15. Вопросы к устному экзамену. 29
1. Пояснительная записка
Индивидуально-ориентированный план
изучения геометрии в 1 семестре
Индивидуально-ориентированный план является рабочей программой для преподавателя и студента, так как содержит требования к знаниям, умениям и навыкам студентов; примерную тематику и сроки лекционных занятий, семинаров, практических занятий в рамках часов, отводимых учебным планом на геометрию и ПРЗ. Курс геометрии является интегрированным, так как параллельно изучается высшая геометрия и элементарная. В плане указаны задания для самостоятельной работы студентов, время на которую планируется в пределах 30% от часов, отводимых на аудиторные занятия (в плане все часы указаны суммой: аудиторные плюс часы для индивидуальной самостоятельной работы). По 1 часу в неделю (на учебную группу) предусмотрены индивидуальные консультации. Всего в 1 семестре предусмотрено 64 часа аудиторных и 16 для самостоятельной работы. Из них - 32 часа лекционных.
Курс геометрии 1 семестра содержит следующие разделы:
ü геометрические фигуры на плоскости (10+2 часа);
ü метрические соотношения в треугольнике, четырехугольнике, окружности (20+5);
ü построение фигур на плоскости (24+6);
ü площадь фигуры (10+3);
Основные понятия:
ü геометрическая фигура как множество точек, обладающая определенными свойствами;
ü задача на построение геометрической фигуры, решением которой является описание плана построения искомой фигуры, с обоснованием (доказательством) и исследованием возможных вариантов ответа;
ü методы решения задач: геометрический, алгебраический (см. приложение 1 и 2);
ü метрические соотношения, определяющие взаимосвязь между величинами: длина отрезка, величина угла и т. п.;
ü величина – некоторое свойство объектов, которое можно измерить, выбрав единицу измерения так, что:
- каждому объекту ставится в соответствии определенная мера (неотрицательное число, показывающее, сколько единиц измерения укладывается в измеряемом объекте);
- равные величины имеют равные меры;
- величина, состоящая из непересекающихся частей имеет меру, равную сумме мер составляющих ее частей (свойство аддитивности).
В данном курсе работают понятия и утверждения (теоремы), рассмотренные в школе (см. приложение 3, 4).
Систематизируются знания о методах и приемах решения задач. Совершенствуются умения задавать вопросы (приложение 14).
В разделе “Геометрические фигуры” значительное место отведено истории развития геометрии и первым книгам: “Начала” Евклида.
В разделе “построение фигур на плоскости” основное место занимают построения циркулем и линейкой, отдельные построения другими наборами инструментов. Построения только циркулем или только линейкой могут быть рассмотрены студентами при написании курсовой работы в VI семестре.
“Метрические соотношения” рассматриваются с небольшим расширением знаний школьного курса о соотношениях между сторонами и углами треугольника, четырехугольников, в том числе вписанных в окружность. Тема “Степень точки относительно окружности” предлагается на самостоятельное изучение в качестве материала, позволяющего студенту определить уровень умений работать с математическим текстом. (Указания в приложении 6).
Раздел “Площади” содержит знания о площади плоской фигуры, приобретенные в школе, и дополнен понятиями: равновеликость и равносоставленность, изопериметрическая задача.
Курс включает 4 зачетных опроса и 2 контрольные работы:
ü основные понятия и утверждения школьного курса геометрии (приложения 3, 4);
ü элементарные геометрические построения (приложение 5);
ü метрические соотношения в треугольнике и четырехугольнике (приложение 8);
ü формулы площадей плоских фигур (приложение 9);
ü контрольная 1: “Задачи на построение геометрических фигур” (приложение 7);
ü контрольная 2: “Задачи на площади фигур, связанные с метрическими соотношениями” (приложение 12);
Курс завершается устным экзаменом (вопросы в приложении 13), допуском к которому является зачет по практическим заданиям. Зачет может быть выставлен автоматически при условии своевременного выполнения всех зачетных заданий и активного участия в семинарах. Семинар – занятие, где есть возможность подвести итоги по изученной теме, выяснить проблемные вопросы, провести самооценку.
В курсе геометрии предусмотрено 4 семинарских занятия: “Построение геометрических фигур”, “Степень точки относительно окружности”, “Метрические отношения в треугольниках”, “Площади” (приложение 5, 6, 8, 9).
Вопросы на семинарские занятия могут быть предложены студентами. В приложениях по семинарам указан лишь перечень дополнительной литературы по теме семинара.
Основная литература:
С. А. А н и щ е н к о. Лекции по геометрии. Ч. 1. КГПУ, 1998.
Дополнительная литература по всему курсу:
1. Б. И. А р г у н о в, М. Б. Б а л к. Элементарная геометрия. М.: Просвещение, 1966.
2. М. Я. В ы г о д с к и й. Справочник по элементарной математике. (любое издание), Наука.
3. В. А. Г у с е в и др. Практикум по элементарной математике (геометрия). М.: Просвещение, 1992.
4. В. С. К р а м о р. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. М.: Просвещение, 1992.
5. А. Н. Ч у д о в с к и й, Л. А. С о м о в а. Проверь свои знания по геометрии. М.: Просвещение, 1987.
6. Газета “Математика в школе” приложение к “Первое Сентября”.
7. Журнал “Квант”.
8. Журнал “Математика в школе” (№ 6/98, № 2/99 и др.).
9. Школьные учебники по геометрии 7-9 кл. (любого автора).
В программу курса включено занятие-коллоквиум, которое является формой проверки теоретических и практических знаний по теме “метрические соотношения” (см. Приложение 8).
Замечание: В календарно-тематическом планировании страницы и номера указаны по “Лекциям…” .
Успешной Вам работы в течение семестра!
2. Тематическое планирование
Содержание | Кол-во часов, в т. ч. лекц. | Сроки примерные | Сроки фактические | Практические задания | Итоги (самооценка и оценка) | |
тренировочные | индивидуальные зачетные | |||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
I. Геометрические фигуры на плоскости. ЗНАТЬ: что изучает геометрия; понятия: точка, прямая, отрезок, угол, геометрическая фигура, свойства, признаки, бесконечность, непрерывность, теорема, аксиома; Постулат, тематику книг “Начала” Евклида. УМЕТЬ: формулировать определения геометрических фигур: отрезок, угол, окружность, круг, многоугольник и частные виды многоугольника конечной и бесконечной величины, непрерывность прямой, доказывать теорему о множестве точек отрезка. НАВЫК: определение основных понятий, выполнение изображений геометрических фигур, использование основных утверждений (см. Приложение 3). | 10+2 Лекция 1 (вводная ) Исторический обзор. Понятие фигуры. 2 ч. Лекция 2 “Бесконеч-ность и непрерыв-ность” 2 ч. | сентябрь 1 сентябрь 2 сентябрь 3 | 6 ч. Лекции ч.1 Лист опроса 1 (приложение 3) Словарь терминов, подтверждающих практическое происхождение геометрии. Лист опроса 2 (приложение 4) Постулаты и аксиомы Евклида. Разбор решения 2-3 задач из “Начала” Евклида. Задачи из “Геометрия 7 кл.” (5-10 штук) | 2 ч. (введение) Лист опроса 1 Лист опроса 2 | Схема: “Содержание “Начал” Евклида”. Самооценка знаний по листу №1, листу №2. Самооценка умения работать с учебным текстом (стр. 10-11) (см. Приложение 6) 11, 10 Классификация затруднения и ошибок в ответах по листам опроса для индивидуального повторения школьного курса (см. литературу № 1 и № 2 в списке дополнительной литературы). |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
II. Метрические соотношения. ЗНАТЬ: теоремы: синусов, косинусов, о биссектрисах внутреннего и внешнего угла треугольника, Птолемея, Чевы, Менелая, о прямой Эйлера, о радикальной оси; понятия: степень точки относительно окружности, радикальная ось, радикальный центр. УМЕТЬ: доказывать названные выше теоремы и использовать их в решении задач, в том числе по правилу заключения и методом “от противного”. НАВЫК: соотношение сторон и углов в треугольнике, в том числе в прямоугольном. Формулирование теоремы в виде “если …, то …”. | 20+5 Лекция 3 “Теоремы о треугольнике” 2 ч. Лекция 4 Теоремы Полемея, Эйлера. 2 ч. Семинар 2 ч. “Степень точки относительно окружности” (приложение 6). Семинар 2 ч. “Метрические соотношения в треугольнике” (приложение 8)Коллоквиум “Метрические соотношения” (приложение 8) | сентябрь 3 сентябрь 4 октябрь 1 октябрь 2 октябрь 3 | 10 ч. Лекции ч.1 Задачи 1. стр. 47-50 2. 10 задач из школьного учебника о треугольнике и окружности | 5 ч. глава 1, &2 Домашняя зачетная работа 1. 5 задач, стр.48-49 2. 5 задач из школьного курса 3. блок-схемы доказательства основных теорем. Коллоквиум | Блок-схема “Теоремы в соотношениях в треугольнике” Блок-схема “Теоремы об окружности” Классификация затруднений и ошибок в решении задач и доказательствах теорем для последующего повторения по индивидуальному плану. |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
III. Построение на плоскости. ЗНАТЬ: аксиомы циркуля, линейки, суть методов решения задач (алгебраического и геометрического); понятие: золотое сечение; правильный многоугольник, этапы решения задачи на построение, анализ, доказательство, исследование в задачах. Теорема о трапеции. УМЕТЬ: кратко излагать план построения и доказательства; описывать методы решения задач и обосновывать их выбор; четко формулировать требование задачи; проводить анализ и исследования в задачах. НАВЫК: решения простейших задач на построение геометрических фигур (приложение 5). | 24+6 Лекция 5 “Задачи на построение. Методы их решения”. 2 ч. Лекция 6 “Золотое сечение”. 4 ч. Семинар “Элементарные построения” (приложение 5) 2 ч. Лекция 7 “Задачи, не разрешимые циркулем и линейкой”. 2 ч. Лекция 8 “Задачи на построение” (приложение 7). 2 ч. | октябрь 4 ноябрь 1 ноябрь 2 ноябрь 3 ноябрь 4 | 12 ч. Лекции ч.1, 1.Приложение 2.стр. 32-33 (задачи) 3. Задачи на построение в планиметрии из школьного учебника любого автора. 4. 5 задач, решаемых разными наборами инструментов. 5. Модель “Линейка со вставкой” и “Трисектора” 6. Контрольная работа 1 | 6 ч. глава 1, &1 1. Лист опроса 3. 2.10 задач из школьного курса планиметрии (построение треугольника и четырехугольника. 3. Контрольная работа № 1 “Задачи на построение в планиметрии” (см. № 1, № 11, № 6, № 15). | Самооценка и оценка по листу опроса № 3. Схема “Классификация методов решения задач по построение”. Классификация затруднений и ошибок в контрольной работе для последующего повторения темы по индивидуальному плану. |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
IV. Площади. ЗНАТЬ: понятия: длина, площадь; аксиомы: площади, теоремы, формулы площади многоугольников, круга и его частей, в том числе теорему Брахмагупта. Теорема Бояи-Гервина. Понятия равновеликость и равносоставленность; изоперемитрическая задача. УМЕТЬ: обосновывать формулы вычисления площади любого многоугольника, использовать понятие площади в доказательствах и в решении задач. НАВЫК: использование формул вычисления площади треугольника, прямоугольника, круга. | 10+3 Лекция 9 “Длина, площадь, равновеликость и равносоставленность”, 2 ч. Семинар (1 ч.) “Площадь многоугольников и круга” (приложение 9) Лекция 10 “Площадь в доказательствах т. Пифагора. Т. Чевы”, 2ч. Лекция 11 “Изопериметрические задачи”, 1 ч. | декабрь 1 декабрь 2 декабрь 3 | 4 ч. Лекции ч. 1, глава 1. Задачи стр. 63-65 2. Задачи из школьного учебника (в т. ч. учебника “Алгебра”) Контрольная работа № 2 (приложение 2) | 3 ч. 1&3 1. Блок-схема доказательства а) т. Брахмагупта; б) т. Бояи-Гервина. 2. Контрольная работа (см. № 5, № 9, № 20, № 22, …) | Блок-схема “Формулы площади многоугольников, круга и его частей” Сборник “Изопериметрические задачи с решениями”. Сборник “Доказательства теоремы Пифагора”. Классификация затруднений и ошибок в теме (для доработки по индивидуальному плану). |
3. Схематический план отчета по курсу геометрии
1 КУРС ( 1 СЕМЕСТР) “ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ” ( 64 ч.)
№ п/п | Наименование раздела | Кол-во часов | Зачетные занятия и задания | Общие учебные умения | Доп. инд. занятия | |||||||
1 | Определение и свойства геометрических фигур | 10+2 | Л. О. № 1 | 10 задач (7 кл.) | Схема содержания “Начал” Евклида | Умения работать с учебным текстом ( с научным) | ||||||
О | ||||||||||||
3 | Построение фигур на плоскости | 24+6 | Элементы построения | К/р № 1 | Умения: | |||||||
С. № 1 | Л. О. № 3 | 10 шк. заданий | анализировать | составлять план | доказы - вать | иссле-довать | ||||||
О | О | О | О | |||||||||
2 | Метрические соотношения в треугольнике, четырехугольнике и окружности | 20+5 | Степень точки относительно окружности | Метрические соотношения в треугольнике и окружности | Коллоквиум | Составление СПС: - теоремы 2; - методы доказательства; | ||||||
С № 2 | Задачи | С № 2 | задачи | теор. | 5 шк. задач | 5 зад. с. 48-49 | - работа над текстовой задачей. | |||||
; ; ; | ||||||||||||
4 | Площадь фигуры | 10+3 | Формулы | СЛС доказательства | 5 шк. | к/р | Составление сборника: | |||||
С №4 | СЛС | т. Брахмагупта | т. Бояи-Гервина | задач | № 2 | - “Изопериметрические задачи”; - “Доказательства т. Пифагора”; - Тестов: “Площади”. | ||||||
ООО | ||||||||||||
ИТОГ: зачет; устный экзамен (см. вопросы)
Заполните сами последнюю колонку ….
4. Приложения
Приложение 1
4.1. Геометрический метод решения задач на построение
а) метод пересечения заключается в том, что построение искомой точки Х, удовлетворяющей двум условиям, выполняется в результате пересечения: Х = F1 3 F2, где F1 - фигура, точки которой удовлетворяют первому условию; F2 - фигура, точки которой удовлетворяют второму условию.
Пример 1. Построить Х, отстоящую от В на расстоянии а и принадлежащую прямой е где В Ï е.
План построения: (F1 - прямая е (она дана))
1. Строим F2 – окружность (В; а), т. к. все точки окружности отстоят от В на а.
2. Х = F1 3 F2, Х – искомая.
В исследовании отмечаем соотношение между а и r
(В, е)*
б) метод геометрических преобразований заключается в использовании одного из геометрических преобразований (поворот, симметрия, гомотетия и др.) для построения искомого образа, прообраз может быть построен без выполнения части требований задачи.
Симметрия любая и поворот используются чаще в том случае, когда образ одной из данных фигур совмещается (или пересекается) с прообразом другой, т. е. получаем прообраз искомой точки. Выполняя обратное данному преобразование получаем искомый образ.
Гомотетия полезна тогда, когда можно построить фигуру, удовлетворяющую требованиям, а затем перенести ее в нужное место, сохранив форму, но изменив размеры. Параллельный перенос сохраняет размеры.
Пример 2. Построить трапецию по ее основаниям и боковым ребрам.
1. Строим треугольник с боковыми ребрами, равными ребрам трапеции и основанием, равным разности оснований трапеции.
2. Выполнив параллельный перенос по вектору, равному длине меньшего основания трапеции и параллельному основанию треугольника, получим трапецию.
| |
 | |
|
|
чертеж 1
Замечание. Остальные этапы: доказательство, исследование и предварительный анализ опущены для краткости изложения.
Пример 3. Построить окружность вписанную в сектор (K, m).
План построения: (черт. 2).
1. (О; ОМ) произвольная, вписанная в угол К.
2. М1 = КО 3 RZ.
3. 
(О1; О1М1) – образ (О; ОМ) при гомотетии с центром К и k = КМ1 : КМ.
(О1; О1М1) – искомая.
|
|
Приложение 2
4.2. Алгебраический метод решения задач на построение заключается в следующем:
а) составляем формулу, связывающую искомый отрезок с данными отрезками (их длинами) с помощью арифметических операций: (+, ´, –, :, Ö );
б) строим полученный отрезок, преобразуя формулу в цепочку элементарных построений по формулам (см. 10 элементарных формул);
в) строим искомую фигуру, используя полученный отрезок.
Пример. Построить квадрат, площадь которого равна площади данного треугольника с высотой h и основанием а.
Анализ. S< =1/2 ah; Sкв = x2, по условию: x2 = 1/2 ah Þ 
.
План построения.
1. 
(см. построение среднего геометрического (среднего пропорционального)).
2. 
.
3. 
.
4. Строим квадрат, со стороной Х3 искомый квадрат, т. к. 
, что требовалось в задаче (доказательство).
Все квадраты с данной стороной равны, поэтому задача имеет единственное решение при всех значения h и а (исследование).
Приложение 3
4.3. Лист опроса № 1 (50 вопросов)
1. Параллельные прямые.
2. Аксиома.
3. Теорема.
4. Треугольник.
5. Виды треугольников.
6. Отрезок.
7. Медиана треугольника.
8. Биссектриса треугольника.
9. Биссектриса угла.
10. Угол.
11. Высота треугольника.
12. Высота параллелограмма.
13. Перпендикуляр.
14. Виды углов.
15. Окружность.
16. Круг.
17. Радиус.
18. Диаметр.
19. Круговой сектор.
20. Хорда.
21. Сегмент.
22. Параллелограмм.
23. Виды параллелограмма.
24. Серединный перпендикуляр к отрезку.
25. Доказательство.
26. Анализ.
27. Синтез.
28. Исследование в задачах.
29. Задача.
30. Длина отрезка.
31. Площадь фигуры.
32. Отношение. Пропорция.
33. Многоугольник.
34. Вектор.
35. Симметрия относительно точки.
36. Симметрия относительно прямой.
37. Параллельный перенос.
38. Поворот вокруг точки.
39. Гомотетия.
40. Подобие.
41. Синус.
42. Косинус.
43. Тангенс. Котангенс.
44. Равные треугольники.
45. Равные отрезки.
46. Равные углы.
47. Касательная к окружности.
48. Расстояние от точки до прямой.
49. Средняя линия треугольника (трапеции).
50. Внешний угол многоугольника.
Приложение 4
4.4. Лист опроса № 2 (30 вопросов)
1. Свойства точек и прямой.
2. Свойства измерения отрезков.
3. Свойства измерения углов.
4. Свойства измерения площади.
5. Свойства откладывания угла.
6. Свойства откладывания отрезка.
7. Свойства биссектрисы угла.
8. Свойства серединного перпендикуляра к отрезку.
9. Свойство точки пересечения медиан треугольника.
10. Признаки равенства треугольников.
11. Признаки равенства прямоугольных треугольников.
12. Признаки подобия треугольников.
13. Отношение периметров подобных фигур.
14. Отношение площадей подобных фигур.
15. Признаки параллельности прямых.
16. Свойство углов при параллельных прямых и секущей.
17. Свойства параллелограмма.
18. Признаки параллелограмма.
19. Свойства равнобедренного треугольника.
20. Свойства ромба.
21. Свойства прямоугольника.
22. Неравенства треугольника.
23. Свойства биссектрисы треугольника.
24. Свойства медианы треугольника.
25. Свойства средней линии треугольника.
26. Свойства средней линии трапеции.
27. Свойство четырехугольника, вписанного в окружность (описанного около …).
28. Свойство смежных углов.
29. Свойство вертикальных углов.
30. Свойства внешнего угла треугольника.
Приложение 5
4.5. Лист опроса № 3
Элементарные задачи на построение циркулем и линейкой.
1. Деление отрезка пополам.
2. Деление угла пополам.
3. Построение отрезка равного данному.
4. Построение угла равного данному.
5. Проведение перпендикуляра к прямой из точки на прямой.
6. Проведение перпендикуляра к прямой из точки вне прямой.
7. Построение треугольника по определяющим его элементам (ССС, СУС, УСУ).
8. Деление отрезка в данном отношении.
9. Построение касательной к данной окружности из данной вне ее точки.
10. Построение общей внешней касательной к 2-м окружностям .
11. Построение внутренней касательной к 2-м окружностям.
12. Множество точек, лежащих на данном расстоянии от данной прямой.
13. Множество точек, равноудаленных от сторон угла.
14. Множество точек, равноудаленных от 2-х данных точек.
15. Множество точек, из которых данный отрезок виден под данным углом.
16. Множество точек, середин хорд данной окружности, проходящих через данную точку.
17. Множество точек, для которых разность квадратов расстояний до 2-х данных точек есть постоянная величина.
18. Множество точек, отношение расстояний до 2-х данных точек есть величина постоянная, отличная от 1.
19. Построение х по формулам, где а, b, с – отрезки, m, n - числа натуральные:
а) х = а + b г) 
ж) 
к) 
б) х = а – b д) 
з) 
в) х = nа е) 
и) 
Семинар 1
4.6. “Элементарные задачи на построение фигур” ставит целью рассмотреть затруднения, связанные с подготовкой листа опроса №3.
Литература.
1. Б. И. А р г у н о в, М. А. Б а я к. Элементарная геометрия. М.: Просвещение, 1966.
2. М. Я. В ы г о т с к и й. Справочник по элементарной математике. М.: Наука, 1971.
3. Школьный учебник “Геометрия” (7 кл.).
Приложение 6
Семинар 2
4.7. “Степень точки, относительно окружности”.
1. Подготовка к семинару:
а) Прочитать п. 2.6 (параграф 2, гл.1), “Лекции по геометрии”. Ч. 1. .
б) Проработайте текст, пользуясь приложением 13 и 14, подготовьте свои вопросы по данной теме, в том числе по задачам: №№ 35-38, стр. 39.
2. Примерные вопросы на семинар:
ü
|
ü Как читать запись?
ü Как можно вычислить значение?
ü Какие значения может принимать?
ü Что такое радикальная ось двух окружностей?
ü Что называют радикальным центром окружности?
ü Как построить радикальную ось двух окружностей?
ü Какая теорема является основой построения радикальной оси?
ü Какова структурно-логическая схема доказательства теоремы с радикальной оси?
ü Как построить радикальный центр трех окружностей?
ü Что значит: “окружность ортогонально пересекает две данные окружности”?
ü Какие задачи можно решать с использованием понятия “Степень точки относительности окружности”?
3. Составьте структурно-логическую схему по теме: “Степень точки относительно окружности”.
 |
 |
Приложение 7
Контрольная работа № 1
4.8. “Построения геометрических фигур”
Для подготовки: рассмотрите № 4 ( с решением).
Примерные задачи №№ 1 – 46.
1. Провести общую касательную к двум окружностям.
2. Построить D зная его сторону, биссектрису, проведенную к этой стороне и точку пересечения этой биссектрисы с данной стороной.
3. Построить три окружности, попарно касающихся друг друга внешним образом, чтобы их центры являлись вершинами данного треугольника.
4. Построить окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся данной прямой.
5. Разделить угол и отрезок пополам, пользуясь двусторонней линейкой.
6. Построить D по двум углам и периметру.
7. Построить D по высоте и медиане, проведенным к данной стороне.
8. Построить D по трем медианам.
9. Построить D по углу, прилежащей к нему стороне и разности двух других сторон.
10. Построить равнобедренный D по боковой стороне и сумме основания и высоты.
11. Через данную точку к данной окружности провести секущую, чтобы ее внешняя часть была вдвое больше внутренней.
12. Построить ромб, зная его диагональ и радиус вписанной окружности.
13. Построить квадрат ABCD так, чтобы А и В принадлежали данной окружности, а C и D – данной прямой.
14. Построить параллелограмм так, чтобы его сторона и две высоты были равны данным отрезкам a, b и с.
15. Построить окружность, касающуюся данной окружности и прямой q в данной точке А.
16. Построить окружность, касающуюся данной окружности в данной на ней точке В и данной прямой.
17. Постройте треугольник по заданным элементам: а) a, b, h; б) Ð А, hb, ha; в) Ð А, b + с, hb; г) Ð А, a, b–с; д) Ð А, Ð В, Р, где Р = а + b + с; е) а, ma Ð А + Ð В; ж) Ð В, Ð А, а; з) a, b + с, hс.
18. Постройте треугольник по стороне, биссектрисе к ней и точке пересечения биссектрисы со стороной.
19. Найдите множество точек:
а) равноудаленных от двух параллельных прямых;
б) от двух пересекающихся прямых;
в) середин всех равных хорд, проведенных в данной окружности.
20. Найти множество точек Х, таких что:
а) АХ £ ВХ £СХ, где АВС треугольник;
б) касательные, проведенные из точки Х к данной окружности имеют данную длину.
21. На окружности зафиксирована точка А. Найти множество точек Х, делящих хорды с концом в точке А в отношении 1:2, считая от точки А.
22. Из данной точки, лежащей вне круга, провести секущую так, чтобы ее внешняя часть а) равнялась внутренней; б) была втрое больше внутренней.
23. Постройте треугольник, у которого один катет вдвое больше другого, а сумма катетов и высоты, опущенной на гипотенузу равна данному отрезку.
24. (С решением.) В данный < АВС вписать прямоугольный равнобедренный D MNP, где М – вершина прямого угла на стороне АВ.
а) М задана на отрезке АВ; б) М не задана.
Рассуждать можно так:
а) I. Анализ (чертеж 3)
 |
|
II. Построение: (план)
1) R
(ВС) = В¢ С¢
2) N = В¢С¢ Ç АС
3) Р = R(N) (можно так: 3) РВ = В¢N или 3) Р = ВС Ç окр. (М, r = MN)) DPMN – искомый.
III. Доказательство:
Докажем: 1) что DMPN – вписанный в D АВС, т. е. М, Р и N лежат на сторонах АВС. (по построению).
2) NMP = 90° (угол поворота, т. к. Р и N соответствующие друг другу точки, М – неподвижная точка – центр поворота).
3) МР = MN (как отрезки, соединяющие образ и прообраз с центром поворота М).
Следовательно, треугольник удовлетворяет всем требованиям задачи.
IV. Исследование (проводим по этапам построения)
1. Образ отрезка ВС при повороте вокруг любой точки на любой угол можно получить всегда, причем единственный.
2. Пересечение двух отрезков единственная точка, если существует. Выясним когда ВС и АС не пересекутся? (чертеж 4).
 |
|
3. Если существует N, то Р существует и единственно.
Итог задача имеет единственное решение.
б I. Анализ: (чертеж 5)
II. Построение:
1. Любой треугольник М¢Р¢N¢, чтобы М¢Р¢ = М¢ N¢, М¢ Î АВ, N¢ ÎАС.
2. Луч М¢Р¢ Ç ВС =Р, 
.
3. 
(D М¢Р¢N¢) = D MPN - искомый. (эдесь как половина квадрата) чертеж 5.
III. Доказательство:
1. Точки М, Р и N лежат на сторонах D АВС по построению.
2. МР = MN, т. к. М¢Р¢ = М¢ N¢ по построению.
3. Ð М = Ð М¢ = 90° (при гомотетии сохраняются углы без изменения) и т. д.
IV. Исследование:
1. Так как D MPN строим произвольный, то таких треугольников может быть несколько, удовлетворяющих требованиям задачи, тогда и образов получится несколько (зависит от угла АМN) т. е. задача имеет множество решений, т. к. полученные образы будут иметь разные катеты.
Рассмотрите решение задачи. Решите аналогичную задачу, если нужно вписать правильный D MPN.
25. (задача об удвоении квадрата). Постройте квадрат, площадь которого вдвое площади данного квадрата.
26. Постройте квадрат, площадь которого равна сумме площадей двух данных прямоугольников.
27. В данную окружность вписать треугольник, если даны точки пересечения продолжения его биссектрис с окружностью.
Приложение 8
Коллоквиум
4.9. Метрические соотношения в треугольнике и окружности
Теоретическая часть
1. Неравенства треугольника (сформулировать и доказать).
2. Сумма углов треугольника.
3. Свойство прямоугольного треугольника с углом в 30°.
4. Свойства равнобедренного треугольника.
5. Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике.
6. Свойства равностороннего треугольника.
7. Свойство точки пересечения медиан треугольника.
8. Теорема Пифагора.
9. Теорема синусов.
10. Теорема косинусов.
11. Теорема Чевы.
12. Теорема Менелая.
13. Теорема о прямой Эйлера.
14. Теорема-формула Эйлера.
15. Теорема об окружности 9 точек.
16. Теорема Птолемея.
17. Свойство углов четырехугольника, вписанного в окружность.
18. Свойство треугольника вписанного в окружность.
19. Свойство треугольника, описанного около окружности.
20. Свойство вписанных в окружность углов.
21. Свойство биссектрис углов треугольника (о делении противолежащей стороны).
22. Теорема двух синусов.
23. Свойство точек пересечения сторон треугольника, вписанного в окружность, и касательной к окружности в противолежащей для стороны вершине.
24. Теорема о радикальной оси двух окружностей.
25. Свойство точки пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.
26. Угол между биссектрисами углов треугольника при одной вершине.
27. Теорема о точке пересечения биссектрис двух внешних углов треугольника.
28. Свойство высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу.
29. Свойства катетов прямоугольного треугольника и отрезков гипотенузы, на которые ее делит высота.
Практическая часть
Решение задач № 1-44 к параграфу 2 “Лекции по геометрии”. (ч. 1).
Приложение 9
Семинар 4
4.10. Площадь фигуры
1. Аксиомы площади (сопоставьте с аксиомами длины).
2. Площадь прямоугольника: а) для целых чисел;
б) для рациональных чисел;
в) для действительных чисел.
3. Площадь треугольника: а) через основание и высоту;
б) через синус угла;
в) формула Герона;
г) для прямоугольного треугольника.
4. Площадь параллелограмма: а) через основание и высоту;
б) через синус угла;
в) через диагонали;
г) площадь ромба.
5. Площадь круга и его частей.
4. Площадь трапеции и треугольников, образованных диагоналями.
5. Применение площади к доказательству теорем:
а) теорема Пифагора;
б) теорема Чевы;
в) формулы сокращенного умножения.
6. Площадь четырехугольника, вписанного в окружность.
7. А) Как найти площадь четырехугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны? (d1 = 6, d2 = 8).
Б) Нельзя ли задачу (а) решить другими способами?
В) Нельзя ли обобщить задачу (а)?
Г) Нельзя ли конкретизировать задачу (а) (ромб, квадрат, трапеция)?
Д) Нельзя ли применить результат задачи (а) в других ситуациях? (фиксировалась ли точка пересечения диагоналей, зависело ли решение от выбора этой точки)?
Е) Составьте задачу обратную задаче (а).
8. (Задача Герона). Участок заболоченной местности имеет форму четырехугольника, как определить его площадь?
9. Составьте структурно-логическую схему “Формулы площади плоской фигуры”.
Литература
1. Анищенко . Ч. 1. Красноярск, 2000.
2. Атанасян 7-9.
3. и др. Практикум по элементарной математике (геометрия). М.: Просвещение, 1992.
4. . Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. М.: Просвещение, 1992.
5. Погорелов 7-11.
6. Математическая энциклопедия.
7. Математика в школе. № 2 – 1999, стр. 19, № 6 – 1998, стр. 27-30.
Приложение 10
Алгоритм 1
4.11. Как работать над теоремой
1. Прочитайте теорему, переформулируйте ее в форме “если …, то …” (прием реконструкции).
2. Запишите условие (“дано”) и заключение (“доказать”). Выполните чертеж, (прием конструирования, конкретизации).
3. Проведите анализ: “Что надо знать, чтобы утверждать …?” (прием прогнозирования)
4. Рассмотри доказательство в учебнике, разбейте его на смысловые части.
5. Прочитайте еще раз, составь план доказательства, записав его в виде утверждений.
6. Продумайте на чем основано каждое утверждение (запишите теоремы, аксиомы или определения, из которых вытекает это утверждение).
7. Повтори доказательство по плану.
8. Попробуй доказать: а) по своему чертежу;
б) другим способом.
9. Сформулируй обратную теорему.
10. Верна ли теорема, обратная данной?
11. Что дает изученная теорема для решения задач? Когда ее можно применять? (следствие теоремы).
12. Оформи блок-схему по теореме.
1. Как работать над теоремой.
Вспомним, как работать над теоремой на примере теоремы косинусов:
1) В любом треугольнике, есть а, b, с – стороны треугольника,(разъяснительная часть) А лежит против а, то квадрат стороны (а) равен сумме квадратов(условие) двух других сторон без удвоенного произведения их на косинус угла между ними. (заключение)
 |
2)
|
3) (а2 = b2 + с2 – 2bс × cos a) Ü (а2 =с2 + h2 )Ü 
Ü с2 = b × cos a - доказательство одним из возможных способов.
4) План 1) выбираем векторы, выходящие из вершины А.
5) 2)
(правило “треугольника”).
6) 3)
или а2 = b2 + с2 – 2bс × cos a (свойство равенств и скалярного произведения).
7) Если а2 = b2 + с2 – 2bс × cos a, то а, b, с – стороны треугольника, a = Ð(
) - не верна, т. к. отрезки могут быть расположены, не образуя треугольник.
Приложение 12
Контрольная работа № 2
4.12. Площади. Метрические соотношения.
Для подготовки:
Образец 1. Вспомните методы решения геометрических задач на вычисление и доказательство.
Пример 1.
 | |
| |
| |
Анализ: (чертеж 13)
 |
Решение вверх по схеме.
Решение. Поэтапно-вычислительный метод и геометрический (чертеж 13).
1. Найдем С1В и АС1 из системы уравнений:
Û 
2. А1 середина СВ, А – пересечение В1С и С1В, АА1 проходит через точку пересечения ВВ1 и СС1, т. е. можно утверждать, что ВСВ1С1 – трапеция, т. е. В1С1 || СВ, тогда D АВС ~ D АС1В1, 
, значит и
.
3. Из D АВ1В (ÐВ1 = 90°), 
.
4. а2 = b2 + с2 – 2bс × cos А
– это равенство связывает 3 стороны треугольника.
Ответ. 
.
Образец 2. Один из углов треугольника равен 60°, противоположная сторона равна 4. Один из отрезков, на которых эта сторона разделена опущенной на нее биссектрисой, равен 1. Найти две оставшиеся стороны.
1.
|
Используя прием реконструкции переформулируем задачу, выполнив чертеж:
чертеж 14
2. Рассуждаем, используя синтез с элементами анализа:
а) AD – биссектриса Þ 1) ÐBAD = ÐDAC = 30°
2) 
.
б) ВС = 4, BD = 1Þ DC = 3, тогда из а) (2) получаем уравнение с двумя неизвестными 
.
в) ВС = 4, ÐА= 60°, противолежащие стороны и угол связаны с остальными сторонами теоремой косинусов:
42 = АВ2 + АС2 – 2АВ × АС × cos 60°
г) имея 2 уравнения с двумя неизвестными можно найти эти неизвестные, решив систему:
получим:
.
Ответ: 
Примерные задачи
1. Равнобедренный прямоугольный D АВС вписан в окружность радиуса R. Другая окружность касается катетов D АВС и первой окружности. Найти ее радиус.
2. Окружность, проходящая через вершину D АВС и через середины сторон АВ и АС, касается третьей стороны D АВС в точке М. Доказать, что АМ2 = ВМ × МС.
3. Найти зависимость между длинами сторон D АВС, если его медиана АА1, высота ВВ1 и биссектриса СС1 пересекаются в одной точке D.
4. Длины сторон АС и АВ D АВС равны b и c. Угол А вдвое больше угла В. Найдите длину ВС.
5. На стороне АВ D АВС взяты М и N так, что АМ = MN = MB. Точки А1 и В1 – середины ВС и АС соответственно. Р = ВВ1 Ç CN, К=АА1 Ç СМ. Найти РК : АВ.
6. Вычислить площадь F, если дан радиус сектора: 
(чертеж 28).
 | |
| |
|
7. Вычислить площадь, зная сторону квадрата (чертеж 29).
 |
|
|
8. Вычислить площадь (чертеж 29), зная радиус сектора: 
.
9. Вычислить площадь, если треугольник правильный (чертеж 30).
|
 |
11. Вычислить площадь, зная радиус круга (чертеж 31).
Приложение 13
4.13. Как работать с учебным текстом
1. Прочитайте текст.
2. Перечислите письменно новые понятия, о которых идет речь в тексте.
3. Подчеркните те понятия, определения которых даны в тексте.
4. О каких понятиях еще, на Ваш взгляд, можно вести речь в этой теме.
5. Выпишите определения (если есть, и эквивалентное ему определение). Докажите эквивалентность.
6. Приведите примеры фигур (объектов), соответствующие определению. Дайте геометрическую иллюстрацию. Выделите существенные признаки.
7. Приведите контрпример, дайте обоснование (“Почему пример не удовлетворяет определению?”).
8. Выпишите теоремы, утверждающие свойства новых понятий или отношений.
9. Разберите теоремы (используя приложение 10).
10. Ответьте на вопросы:
а) Что нового Вы узнали?
б) С чем ранее изученного это новое связано? (вспомните ранее изученные понятия, теоремы …)
в) Где в тексте использованы определения понятий, теоремы, изученные ранее?
11. Составьте структурно-логическую схему учебного текста (опорный конспект) в любой, удобной для Вас форме.
Приложение 14
4.14. Учимся работать с вопросами
ТИПЫ ВОПРОСОВ
х ИНФОРМАТИВНЫЕ ВОПРОСЫ ЧТО ?
х ВОПРОСЫ ЦЕЛИ И СРЕДСТВА ПОЧЕМУ?
х ВОПРОСЫ ПРИЧИНЫ И СЛЕДСТВИЯ ИЗ-ЗА ЧЕГО?
х ВОПРОСЫ ТИПА “ЧТО … ЕСЛИ”
х ВОПРОСЫ ОТКРЫТЫЕ И ЗАКРЫТЫЕ
ФУНДАМЕНТ АКТИВНОГО УЧЕБНОГО ПРОЦЕССА
ФОРМИРУЕТСЯ ВОПРОСАМИ УЧЕНИКОВ, А НЕ ВОПРОСАМИ УЧИТЕЛЯ, ПОДРАЗУМЕВАЮЩИМИ
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ОТВЕТЫ
МЕТРАПОЛИС. КУРС “РАЗРАБОТКА УЧЕБНЫХ ПЛАНОВ”
Приложение 15
4.15. Вопросы к устному экзамену
1. Геометрическая фигура. Бесконечность и непрерывность.
2. Построение циркулем и линейкой. Схема решения задач на построение.
3. Геометрический метод решения задач. Пример.
4. Алгебраический метод решения задач. Пример.
5. Множество точек, из которых данный отрезок виден под данным углом.
6. Множество точек, разность квадратов расстояний от которых до двух данных точек – постоянная величина.
7. Окружность Аполлония.
8. Квадратура круга.
9. Удвоение куба.
10. Трисекция угла.
11. Золотое сечение.
12. Построение правильных пятиугольников.
13. Построение правильных десятиугольников.
14. Теорема Гаусса о построении правильных многоугольников (без доказательства). Примеры.
15. Построение двусторонней линейкой. Пример.
16. Построение одним циркулем. Пример.
17. Построение одной линейкой. Пример.
18. Теорема о биссектрисах внутреннего и внешнего углов (при одной вершине треугольника).
19. Теорема косинусов.
20. Теорема о прямой Эйлера.
21. Теорема Чевы.
22. Теорема Менелая.
23. Теорема Птолемея.
24. Степень точки относительно окружности.
25. Радикальная ось двух окружностей.
26. Теорема об окружности 9 точек.
27. Формула Эйлера.
28. Длина отрезка. Площадь многоугольника.
29. Теорема Брахмагупта.
30. Площадь треугольника.
31. Площадь параллелограмма, трапеции.
32. Площадь круга и его частей.
33. Главная изопериметрическая задача.
34. Использование площади в доказательствах (т. Пифагора и другие).
35. Равновеликость и равносоставленность. Теорема Бояи-Гервина.
36. Теорема синусов.
* r (В, е) – расстояние от В до е.
