Свойства (стр. 2 )

Множество натуральных чисел с отношением ( делится на ) являются примером частично упорядоченного множества.

Понятие операции на множестве. Множества с алгебраическими операциями: полугруппы и моноиды, группы, кольца и поля.

Бинарной операцией на множестве называется правило, по которому любым двум элементам , из множества ставится в соответствие некоторый, однозначно определенный, элемент из , обозначаемый .

Заметим, что на множестве могут быть определены и так называемые унарные операции: каждому элементу множества ставится в соответствие некоторый, однозначно определенный, элемент множества . Таким образом задание унарной операции - это задание некоторого отображения : . Точно также на множестве определяются нуль-арные операции: выделение какого-то элемента множества. По аналогии можно определить п-арную операцию на множестве как некоторое отображение : .

Операция на множестве называется

1) ассоциативной, если для любых элементов из множества выполняется равенство .

2) коммутативной, если для любых элементов из множества выполняется равенство .

Элемент в множестве называется нейтральным, единицей, относительно операции на , если для любого элемента из множества выполняется равенство .

Заметим, что выделение нейтрального элемента в множестве задает нуль-арную операцию на этом множестве. Если операция - обычное умножение на множестве N, Z или R, то называют единицей; если же - обычное сложение, то называют нулем.

Примеры.

1) Бинарные операции сложения и умножения на множестве Z - ассоциативны и коммутативны. Нейтральным элементом относительно операции сложения является 0, а относительно умножения – 1.

2) Рассмотрим множество матриц порядка 2×2. На этом множестве определены две бинарные операции: сложение и умножение. Операция сложения - ассоциативна и коммутативна; операция умножения - ассоциативна, но не коммутативна. Нейтральным элементом относительно сложения является нулевая матрица, а относительно умножения – единичная матрица.

Непустое множество с заданной на нем ассоциативной операцией , обозначаем , называется полугруппой.

Полугруппу , в которой относительно операции существует нейтральный элемент, называют моноидом.

Теорема. Нейтральный элемент в моноиде - единственен.

Пусть - моноид. Элемент называется обратным к элементу , если . Элемент в этом случае называют обратимым элементом; элемент обозначают .

Заметим, что, если - операция сложения, то вместо пишут и называют этот элемент противоположным к элементу . Например, в моноиде любой элемент имеет противоположный элемент , то есть на множестве определена унарная операция: . В моноиде обратимы только два элемента: 1 и -1.

Теорема. Пусть - моноид. Тогда:

1) для любого элемента обратный элемент, если он существует, - единственен;

2) элемент - обратим и ;

3) обратный элемент к элементу , если он существует, обратим и ;

4) если , - обратимые элементы, то .

Алгебраической системой называют непустое множество с семейством операций и отношений, заданных на нем.

Мы уже рассмотрели примеры алгебраических систем: полугруппы, моноиды, частично упорядоченные множества, множества с отношением эквивалентности.

Группой называется множество с бинарной операцией, обозначаемой обычно , удовлетворяющей трем условиям:

1) операция - ассоциативна;

2) существует единичный элемент такой, что для любого ;

3) все элементы множества G обратимы, то есть для любого найдется такой элемент , что .

Итак, группа - это моноид, в котором каждый элемент обратим. Заметим, что группа называется абелевой, если операция ∙ коммутативна.

Примеры.

1) Алгебраические системы , являются абелевыми группами по сложению.

2) Множество всех невырожденных матриц размера над относительно обычной операции умножения матриц является группой, которую обозначают .

3) Множество - группа относительно обычной операции умножения матриц, являющаяся подгруппой группы . Такая группа называется специальной линейной группой.

4) Алгебраическая система является группой, состоящей только из одного единичного элемента. Такая группа называется единичной. Заметим, что в любой группе есть единичная подгруппа.

Алгебраическая система с двумя бинарными операциями, сложением и умножением, называется кольцом, если

1) - абелева группа;

2) - полугруппа;

3) операция умножения дистрибутивна относительно операции сложения, то есть:

, .

Если в кольце есть 1 по умножению так, что для любого элемента из , то называют кольцом с единицей; если операция умножения в кольце- коммутативна, то есть для любых элементов и из , то кольцо называют коммутативным.

Примеры.

1) Алгебраические системы , являются коммутативными кольцами с единицей.

2) Алгебраические системы , , являются кольцами с 1, но не являются коммутативными кольцами. ( () - это множество матриц размера над ).

Ненулевое коммутативное кольцо с единицей называется полем, если любой его ненулевой элемент - обратим.

Примеры.

1) - поле рациональных чисел.

2) - поле действительных чисел.

3) - поле комплексных чисел.

Основные числовые системы: натуральных чисел, целых чисел, рациональных чисел, действительных чисел. Принцип математической индукции.

Множество называется числовым, если его элементами являются числа.

Известны следующие числовые системы:

- множество натуральных чисел;

- кольцо целых чисел;

- поле рациональных чисел;

- поле действительных чисел;

- поле комплексных чисел.

Между этими множествами установлены следующие отношения:

.

Математическая индукция — метод математического доказательства, используется чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база (базис) индукции, а затем доказывается, что, если верно утверждение с номером , то верно и следующее утверждение с номером — шаг индукции, или индукционный переход.

Доказательство по индукции наглядно может быть представлено в виде так называемого принципа домино. Пусть какое угодно число косточек домино выставлено в ряд таким образом, что каждая косточка, падая, обязательно опрокидывает следующую за ней косточку (в этом заключается индукционный переход). Тогда, если мы толкнём первую косточку (это база индукции), то все косточки в ряду упадут.

Принцип математической индукции. Предположим, что требуется установить справедливость бесконечной последовательности утверждений, занумерованных натуральными числами: .

Допустим, что

1. Установлено, что верно. (Это утверждение называется базой индукции.)

2. Для любого доказано, что если верно , то верно . (Это утверждение называется индукционным переходом.)

Тогда все утверждения нашей последовательности верны.

Логическим основанием для этого метода доказательства служит так называемая аксиома индукции, пятая из аксиом Пеано, определяющих натуральные числа. Верность метода индукции эквивалентна тому, что в любом непустом подмножестве натуральных чисел существует минимальный элемент.

Пример. Доказать, что, каковы бы ни были натуральное и вещественное , выполняется равенство

.

Доказательство. Индукция по .

База, :

.

Переход: предположим, что равенство выполняется для . Тогда

,

что и требовалось доказать.

ТЕМА 2. АЛГЕБРА МАТРИЦ.

Матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами. Определитель. Алгебраические дополнения и миноры. Обратная матрица. Ранг матрицы.

Значительная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой компактной матричной форме.

Матрицей размерности называется таблица чисел, содержащая строк и столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обычно обозначают заглавными латинскими буквами, а элементы матрицы – строчными. Например

Любые строки и столбцы матрицы сами являются матрицами. Две матрицы и называются равными, если они совпадают поэлементно: .

Виды матриц.

Матрица произвольного размера, все элементы которой равны 0, называется нулевой.

Матрица, состоящая из 1 строки, называется матрицей-строкой или вектором.

Матрица, состоящая из 1 столбца, называется матрицей-столбцом или также вектором.

Матрица, число строк которой равно числу столбцов и равно , называется квадратной порядка .

Элементы квадратной матрицы называются диагональными и образуют главную диагональ. Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной. Например,

- диагональная матрица 3-его порядка.

Диагональная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, называется единичной.

Квадратная матрица, у которой все элементы выше или ниже главной диагонали равны нулю, называется треугольной.

Произвольная матрица вида , составленная из двух матриц, разделенных вертикальной чертой, называется расширенной.

Действия над матрицами.

Произведением числа на матрицу называется матрица , такая что .

Суммой матриц и одинакового размера называется матрица , такая что

Произведением матрицы на матрицу называется матрица , такая что ее элемент равен сумме произведений элементов -ой строки первой матрицы на элементы -ого столбца второй матрицы: .

Операция определена при условии, что число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Операция умножения матриц не коммутативна: результат зависит от порядка сомножителей (говорят об умножении слева и справа). Если существует, то может не существовать. Если оба произведения и существуют, то они могут быть разного размера. Если матрицы и квадратные, то их произведения и существуют и имеют одинаковый порядок, но в общем случае .

Умножение единичной матрицы на квадратную не меняет последнюю: .

Произведение двух ненулевых матриц может дать нулевую:

.

Транспонированная матрица - матрица, у которой -ая строка равна -ому столбцу матрицы : . Свойства операции транспонирования:

; ; ; .

Определитель.

Каждой квадратной матрице по определенному правилу сопоставляется число, которое называется определителем матрицы и обозначается или . Его удобно ввести по индукции.

Еще одно название – детерминант (determinant) det.

Определителем матрицы 1-ого порядка , или определителем 1-ого порядка, называется ее элемент: .

Определителем матрицы 2-ого порядка , или определителем 2-ого порядка, называется число, вычисляемое по формуле: .

Определителем матрицы 3-его порядка , или определителем 3-его порядка, называется число, вычисляемое по формуле:

.

В каждое слагаемое в правой части входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Знаки слагаемых легко запомнить, пользуясь правилом треугольников или правилом Сарруса:

Примеры.

.

.

Предположим, определители порядка меньше введены. Определителем матрицы -ого порядка , или определителем -ого порядка, называется число, вычисляемое по формуле:

где - определитель матрицы -ого порядка, полученной из матрицы вычеркиванием 1-ой строки и -ого столбца.

Миноромэлемента матрицы -ого порядка называется определитель матрицы -ого порядка, полученной из матрицы вычеркиванием -ой строки и -ого столбца.

Алгебраическим дополнением элемента матрицы -ого порядка называется минор, взятый со знаком .

Используя алгебраические дополнения, формулу для определителя можно записать в виде

Эта формула называется разложением определителя по 1-ой строке. Для вычисления определителя можно использовать разложение по любой строке или по любому столбцу матрицы. Справедливо следующее утверждение (теорема Лапласа). Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Примеры.

.

Свойства определителя.

1.  Определитель равен нулю, если 1) какая-либо строка (столбец) состоит из одних нулей, 2) матрица содержит две одинаковые строки (столбца), 3) элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны.

2.  Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число.

3.  При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется: .

4.  При перестановке двух строк (столбцов) матрицы, ее определитель меняет знак на противоположный.

5.  Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

6.  Сумма произведений произвольных чисел на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) на числа . Свойство непосредственно вытекает из теоремы Лапласа.

7.  Определитель произведения матриц равен произведению их определителей: .

Используя свойства определителя можно сначала преобразовать матрицу так, чтобы какая-либо ее строка (столбец) имела как можно больше нулевых элементов, а потом для вычисления определителя применить разложение по этой строке (столбцу).

Обратная матрица.

Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю и невырожденной - в противном случае.

Матрица называется обратной к квадратной матрице , если выполняется равенство

Теорема (о существовании обратной матрицы). Обратная матрица существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденна.

В этом случае ее можно найти по формуле

где - присоединенная матрица, элементы которой равны алгебраическим дополнениям транспонированной матрицы .

Обратную матрицу можно также вычислить методом элементарных преобразований.

Элементарными преобразованиями матриц называются следующие действия над ними:

1)  перестановка строк (столбцов);

2)  умножение строки (столбца) на произвольное число, отличное от нуля;

3)  прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на произвольное число.

Когда одна из матриц и получается из другой с помощью элементарных преобразований, пишут .