Свойства (стр. 4 )

Теорема. Если — система линейно независимых векторов пространства и любой вектор линейно выражается через , то пространство является -мерным, а векторы — его базисом.

Понятие n - мерного евклидова пространства.

Мы определили линейное (векторное) пространство, в котором можно складывать векторы и умножать их на числа, ввели понятие размерности и базиса, а теперь в данном пространстве введем метрику, т. е. способ измерять длины и углы. Это можно, например, сделать, если ввести понятие скалярного произведения.

Скалярным произведением двух векторов и называется число

Скалярное произведение имеет экономический смысл. Если есть вектор объемов различных товаров, а вектор их цен, то скалярное произведение выражает суммарную стоимость этих товаров.

Скалярное произведение имеет следующие свойства:

1. — коммутативное свойство;

2. — дистрибутивное свойство;

3. — для любого действительного числа;

4. , если — ненулевой вектор; , если — нулевой вектор.

Линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным четырем свойствам (рассматриваемым как аксиомы), называется евклидовым пространством.

Длиной (нормой) вектора в евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата:

.

Свойства длины вектора:

1. тогда и только тогда, когда ;

2. , где — действительное число;

3. (неравенство Коши—Буняковского);

4. (неравенство треугольника).

Угол между двумя векторами и определяется равенством

,

где .

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Очевидно, что нулевой вектор ортогонален любому другому вектору. Из определения следует, что если два ненулевых вектора ортогональны, то угол между ними равен (ибо ).

Векторы -мерного евклидова пространства образуют ортогональный базис, если эти векторы попарно ортогональны, и ортонормированный базис, если эти векторы попарно ортогональны и норма каждого из них равна единице, т. е. если

при и при .

Теорема. Во всяком -мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Переход к новому базису.

Пусть в пространстве имеются два базиса: старый и новый Каждый из векторов нового базиса можно выразить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:

Полученная система означает, что переход от старого базиса к новому задается матрицей перехода

,

причем коэффициенты разложения новых базисных векторов по старому базису образуют столбцы этой матрицы.

Матрица - неособенная, так как в противном случае ее столбцы (а следовательно, и базисные векторы) оказались бы линейно зависимыми. Обратный переход от нового базиса к старому базису осуществляется с помощью обратной матрицы .

Найдем зависимость между координатами вектора в разных базисах. Пусть рассматриваемый вектор имеет координаты относительно старого базиса и координаты относительно нового базиса, т. е.

.

Подставив значения в левую часть, получим после преобразований:

т. е. в матричной форме

.

Линейные преобразования линейных пространств (линейные операторы). Матричная запись линейных операторов.

Одно из фундаментальных понятий матричной алгебры — понятие линейного оператора.

Если задан закон (правило), по которому каждому вектору пространства ставится в соответствие единственный вектор пространства , то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение) , действующий из в , и записывают .

Оператор (преобразование) называется линейным, если для любых векторов и пространства и любого числа выполняются соотношения:

1. — свойство аддитивности оператора;

2. — свойство однородности оператора.

Вектор называется образом вектора , а сам вектор — прообразом вектора

.

Если пространства и совпадают, то оператор отображает пространство в себя.

Запишем разложение произвольного вектора по базису в пространстве :

.

В силу линейности оператора получаем

.

Поскольку — также вектор из , то его можно разложить по базису . Пусть

.

Тогда

С другой стороны, вектор , имеющий в том же базисе координаты можно записать так:

.

Ввиду единственности разложения вектора по базису равны правые части, откуда

Матрица называется матрицей оператора в базисе , а ранг матрицы — рангом оператора .

Таким образом, каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе. Справедливо и обратное: всякой матрице -го порядка соответствует линейный оператор -мерного пространства.

Связь между вектором и его образом можно отразить в матричной форме уравнением

,

где — матрица линейного оператора, , - матрицы-столбцы из координат векторов и .

Действия над линейными операторами.

Суммой двух линейных операторов и называется оператор , определяемый равенством: .

Произведением линейного оператора на число называется оператор , определяемый равенством .

Произведением линейных операторов и называется оператор , определяемый равенством: .

Можно убедиться в том, что операторы , , , полученные в результате этих действий, удовлетворяют отмеченным выше свойствам аддитивности и однородности, т. е. являются линейными.

Определим нулевой оператор , переводящий все векторы пространства в нулевые векторы , и тождественный оператор , действующий по правилу:

Зависимость между матрицами одного и того же оператора в разных базисах выражается теоремой.

Теорема. Матрицы и линейного оператора в базисах и

связаны соотношением

,

где — матрица перехода от старого базиса к новому.

Собственные векторы и собственные значения.

Вектор называется собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число , что .

Число называется собственным значением оператора (матрицы ), соответствующим вектору .

Из определения следует, что собственный вектор под действием линейного оператора переходит в вектор, коллинеарный самому себе, т. е. просто умножается на некоторое число. В то же время несобственные векторы преобразуются более сложным образом. В связи с этим понятие собственного вектора является очень полезным и удобным при изучении многих вопросов матричной алгебры и ее приложений.

Определение собственного вектора можно записать в матричной форме:

,

где вектор представлен в виде вектора-столбца , или в развернутом виде

Перепишем систему так, чтобы в правых частях были нули:

или в матричном виде

.

Полученная однородная система всегда имеет нулевое решение . Для существования ненулевого решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы

Определитель является многочленом -й степени относительно . Этот многочлен называется характеристическим многочленом оператора или матрицы , а уравнение — характеристическим уравнением оператора или матрицы .

Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса.

В самом деле, преобразуем характеристический многочлен , полученный в новом базисе , если известна матрица перехода от старого базиса к новому.

Учитывая, что определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению определителей этих матриц, получим

т. е характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Наиболее простой вид принимает матрица линейного оператора , имеющего линейно независимых собственных векторов с собственными значениями, соответственно равными . Векторы примем за базисные. Тогда или

,

откуда , если , и , если . Таким образом, матрица оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов, является диагональной и имеет вид:

Верно и обратное: если матрица линейного оператора в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса — собственные векторы оператора.

Можно доказать, что если линейный оператор имеет попарно различных собственных значений, то отвечающие им собственные векторы линейно независимы, и матрица этого оператора в соответствующем базисе имеет диагональный вид.

ТЕМА 5. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

Понятие вектора, длина вектора. Равенство векторов. Линейные операции над векторами. Декартов базис. Линейные операции над векторами, заданными координатами.

Скалярное произведение векторов, свойства. Векторное произведение векторов, свойства. Смешанное произведение векторов, свойства.

Векторы.

Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой и конечной .

Обозначение: a=AB, , .

Длиной (нормой) вектора называется длина отрезка , изображающего вектор.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Два коллинеарных вектора одинаковой длины считаются равными.

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым: .

Произведением вектора на число называется вектор длины , направление которого совпадает с направлением , если , и противоположно ему, если .

Противоположным вектором называется произведение вектора на число (-1), т. е. +.

Суммой двух векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора (правило треугольника). Очевидно, что вектор в этом случае представляет диагональ параллелограмма, построенного на векторах и (правило параллелограмма).

Аналогично определяется сумма нескольких векторов (правило многоугольника).

Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

.

Если два вектора перпендикулярны друг другу, то , , и, следовательно, . Т. е. скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю.

Алгебраические свойства скалярного произведения.

1.  (перестановочность множителей).

2.  (распределительное свойство).

3.  (вынос числового множителя за знак скалярного произведения).

4.  , если вектор ненулевой, , если вектор нулевой.

Векторы , и называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях. Упорядоченная тройка векторов называется правой, если после приведения их к общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой. В математике чаще используется система координат, орты которой образуют правую тройку.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который определяется тремя условиями:

1.  Длина вектора равна , здесь - угол между векторами и

2.  Вектор перпендикулярен каждому из векторов и ;

3.  Векторы , , образуют правую тройку векторов.

Алгебраические свойства векторного произведения.

1.  (антиперестановочность множителей).

2.  (распределительное свойство).

3.  (вынос числового множителя).

4.  .

Смешанным произведением трех векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и .

Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , и , взятому со знаком «+», если тройка , и - правая, со знаком «-» в противном случае. Если же , и компланарны, то .