Свойства (стр. 5 )

Для любых трех векторов , и .

Метод координат.

Геометрические фигуры на плоскости можно представлять с помощью координат.

Координатами вектора называются разности координат его концов:

.

Длина вектора выражается через его координаты формулой: .

Формула скалярного произведения вектора с координатами и вектора с координатами : .

Подставляя это выражение и формулу длины вектора в, получим выражение для угла между векторами:

Если известны координаты векторов, то их векторное произведение можно записать следующим образом:

.

В соответствии с пунктом 1 определения векторного произведения можно определить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , как длину вектора .

Если заданы координаты векторов, то их смешанное произведение можно записать в следующем виде:

.

ТЕМА 6. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

Координаты на плоскости и в пространстве: аффинные, декартовы, полярные, цилиндрические. Уравнения прямой на плоскости. Уравнение пучка прямых. Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности.

Окружность: определение, каноническое уравнение и свойства. Эллипс: определение, каноническое уравнение и свойства. Гипербола: определение, каноническое уравнение и свойства. Парабола: определение, каноническое уравнение и свойства.

Плоскость: общее уравнение, понятие нормального вектора. Угол между плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

Прямая в пространстве: понятие направляющего вектора, каноническое уравнение прямой, общее уравнение, параметрическое уравнение. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Метод координат.

Геометрические фигуры на плоскости можно представлять с помощью координат.

Декартова система координат на плоскости

Задать декартову систему координат на плоскости означает зафиксировать, во-первых, точку начала координат, а во-вторых, две перпендикулярные направленные оси (так называемые, оси координат). Причём, эти оси занумерованы. И, конечно, понадобится единичный отрезок, чтобы численно обозначать расстояние между двумя точками.

Таким образом, положение любой точки на плоскости однозначно определено двумя числами: первое число – величина проекции точки на первую ось (взятая с плюсом, если проекция попала на “положительную” часть оси, или с минусом, если на “отрицательную”), а второе – величина проекции на вторую ось.

Стандартным образом декартова система координат обозначается , оси нумеруются таким образом, что поворот от первой оси ко второй осуществляется против часовой стрелки. Координаты точки – .

Полярная система координат на плоскости

Для того, чтобы задать полярную систему координат на плоскости, надо зафиксировать, во-первых, точку начала координат, а во-вторых, луч, выходящий из этой точки. Необходимо также определить единичный отрезок и положительное направление отсчета угла между лучом и отрезком, соединяющим начало координат с какой-либо точкой плоскости.

Положение точки на плоскости задаётся двумя числами. Первое – расстояние от точки до начала координат, а второе – угол между зафиксированным лучом и отрезком, соединяющим точку и начало координат.

Обычно направление отсчета угла выбирают против часовой стрелки. Стандартное обозначение координат точки в полярной системе – . Очевидно, .

Существуют формулы перехода между заданными стандартным образом декартовой и полярной системами координат. Если они друг другу соответствуют (т. е. должны совпадать начала координат в обеих системах, луч полярной системы координат должен совпадать с “положительной” частью первой оси декартовой системы, должны быть одинаковыми единичные отрезки), то

В других случаях формулы зависят от постановки задачи, но получить их легко из геометрических соображений.

С помощью этих формул можно осуществлять переход между двумя системами координат, преобразовывать координаты точек, уравнения кривых и т. д.

В полярной системе координат очень просто выглядят уравнения прямых, проходящих через начало координат и окружностей с центром в этой точке. Кроме того, уравнения многих стандартных, часто используемых, кривых принято (с точки зрения простоты) записывать в полярных координатах.

Декартова система координат в пространстве

Декартовы координаты в пространстве задаются с помощью точки начала координат и трёх взаимно-перпендикулярных направленных прямых. Прямые занумерованы, задан единичный отрезок. Положение любой точки в пространстве однозначно определено тремя числами: первое число – величина проекции точки на первую ось, второе – величина проекции на вторую ось, третье – на третью.

Цилиндрическая система координат в пространстве

Цилиндрическая система координат в пространстве – “родственница” полярной системы координат на плоскости. Чтобы получить цилиндрическую систему надо на плоскости ввести полярную систему координат и добавить вертикальную координатную ось. Таким образом, координаты точки – три числа: первые два – полярные координаты проекции нашей точки на плоскость, третье – величина проекции точки на вертикальную ось.

Из геометрических соображений можно получить формулы перехода между цилиндрической и декартовой системами координат. В случае, изображённом на рисунке, формулы перехода такие:

Линии на плоскости.

Уравнение называется уравнением линии на плоскости (в заданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты и любой точки, лежащей на линии , и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на .

В прямоугольной системе координат любая прямая задается линейным уравнением

,

и, обратно, линейное уравнение с произвольными коэффициентами ( и не равны нулю одновременно) определяет прямую в прямоугольной системе координат .

Если , то уравнение принимает вид

Это уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона прямой к оси :

. Коэффициент - ордината точки пересечения прямой с осью .

Если , то , и общее уравнение принимает вид . Это уравнение прямой, перпендикулярной оси .

Еще одна форма уравнения прямой – уравнение прямой в отрезках. Обозначим , . Тогда уравнение принимает вид:

Уравнение пучка прямых. Пусть прямая задается уравнением и проходит через точку с координатами . Так как точка лежит на прямой, ее координаты удовлетворяют равенству

.

Вычитая это равенство из, получим уравнение

Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку , кроме прямой, параллельной оси и не имеющей углового коэффициента.

Угол между прямыми. Рассмотрим две прямые и . Пусть - угол между прямыми и : .

Из геометрических соображений устанавливаем зависимость между углами: .

Отсюда получаем формулу угла между прямыми

Если две прямые параллельны, то и . В этом случае . Таким образом, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов.

Если две прямые перпендикулярны, то . Тогда , т. е. .

Таким образом, условием перпендикулярности двух прямых состоит в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.

Расстояние от точки до прямой.

Пусть даны точка и прямая . Под расстоянием от точки до прямой понимается длина перпендикуляра , опущенного из точки на прямую . Для определения расстояния необходимо: а) составить уравнение прямой , перпендикулярную данной и проходящую через точку ; б) найти точку пересечения двух прямых; в) найти расстояние как длину вектора .

Пусть , , т. е. уравнение прямой .

В результате преобразований получим

.

Кривые второго порядка.

Окружность и эллипс.

Нормальное уравнение окружности с центром в точке и радиусом :

.

В частности, уравнение окружности с центром в начале координат ():

.

Общий вид уравнения для кривой второго порядка имеет вид:

,

при условии .

В частности, при , уравнение принимает вид

Это уравнение называется общим уравнением окружности. В самом деле, выделяя полный квадрат, представим в виде

Это нормальное уравнение окружности с координатами центра , и радиусом .

Рассмотрим общее уравнение второго порядка с :

Обозначим , , и предположим для простоты, что центр кривой находится в начале координат, т. е. (). Уравнение принимает вид

.

Кривая второго порядка называется эллипсом (точнее кривой эллиптического типа), если коэффициенты и имеют одинаковые знаки.

Допустим для определенности , . Возможны три варианта:

а) ; б) ; в) .

В третьем случае () уравнение не имеет действительных решений. При кривая представляет одну точку . Таким образом, будем считать . Получаемое при этом уравнение

называется каноническим уравнением эллипса с полуосями и . При получаем уравнение окружности с радиусом .

Точки и , где , называются фокусами эллипса, а отношение его эксцентриситетом. Эксцентриситет характеризует форму эллипса: , для окружности . Точки , , , называются вершинами эллипса.

Найдем сумму расстояний от любой точки до полюсов

Аналогично . Следовательно, , т. е. для любой точки эллипса сумма расстояний от этой точки до полюсов есть величина постоянная. Это характеристическое свойство часто принимается за определение эллипса.

Гипербола.

Кривая второго порядка называется гиперболой (точнее, кривой гиперболического типа), если коэффициенты и имеют противоположные знаки, т. е. .

Пусть для определенности , . Возможны три случая: 1) ; 2) ; 3) .

В первом случае (при ) имеем гиперболу, каноническое уравнение которой

,

где - действительная полуось, - мнимая полуось.

Точки и , где , называются фокусами гиперболы, а отношение ее эксцентриситетом, который принимает любые значения, большие единицы. Точки и называются вершинами гиперболы.

Можно показать, что для любой точки гиперболы разность расстояний от этой точки до полюсов есть величина постоянная: . Это характеристическое свойство часто принимается за определение гиперболы.

При больших уравнение гиперболы принимает вид , т. е. при ветви гиперболы как угодно близко подходят к прямым , называемым асимптотами гиперболы.

В втором случае (при ) уравнение принимает вид , т. е. получаем пару пересекающихся прямых и .

В третьем случае (при ) получим гиперболу с полуосями и , называемою сопряженной с гиперболой (штриховая линия на рисунке).

Парабола.

Пусть в уравнении кривой второго порядка и , т. е.

Пусть также (иначе мы имели бы пару прямых, параллельных оси : и , где - корни уравнения ). Дополним члены, содержащие , до полного квадрата:

Полагая , , , получим

Кривая называется параболой, а точка - вершиной параболы, - параметром параболы. Прямая является осью симметрии параболы.

Точка называется фокусом параболы, а прямая - директриссой параболы.

Для произвольной точки параболы расстояние до фокуса равно

(так как ). С другой стороны, расстояние до директриссы .

Таким образом, парабола является множеством всех точек плоскости, равноотстоящих от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директриссы). Это характеристическое свойство параболы часто принимают за определение параболы.

Плоскость и прямая в пространстве.

Пусть плоскость проходит через точку перпендикулярно вектору . Вектор называется нормальным вектором плоскости . Возьмем в плоскости произвольную точку , тогда вектор перпендикулярен вектору . Следовательно, скалярное произведение этих векторов равно нулю, т. е. . Представим это уравнение в координатной форме

Это уравнение плоскости, перпендикулярной вектору и проходящей через точку . Уравнение плоскости в виде

(где ), называется общим уравнением плоскости.

Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей определяются условиями коллинеарности и перпендикулярности нормальных векторов и .

Условием параллельности двух плоскостей является пропорциональность коэффициентов при соответствующих переменных , а условием их перпендикулярности .

Прямая в пространстве может быть задана как пересечение двух плоскостей

Эта система уравнений называется общими уравнениями прямой в пространстве.

Если прямая параллельна вектору , который называется направляющим вектором, и проходит через точку , то ее уравнения могут быть получены из условия коллинеарности векторов и :

.

Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой линии в пространстве.

Прямую с направляющим вектором , проходящую через точку , можно задать параметрическими уравнениями

Взаимное расположение прямой и плоскости. Рассмотрим возможное взаимное расположение прямой с направляющим вектором , проходящей через точку , и плоскости с нормальным вектором :

1) прямая и плоскости пересекаются: ;

2) прямая лежит в плоскости: ;

3) прямая и плоскость параллельны: .

Таким образом, необходимое и достаточное условие параллельности прямой и плоскости имеет вид

или .