Свойства (стр. 3 )

Для определения обратной матрицы для матрицы -ого порядка построим прямоугольную матрицу размера , приписав справа к единичную матрицу порядка . Далее с помощью элементарных преобразований над строками матрицу приведем к виду , что всегда возможно, если невырожденна. Тогда .

Свойства обратных матриц.

1) 

2) 

3) 

4)  .

Ранг матрицы.

Минором -ого порядка матрицы размером называется определитель квадратной матрицы, получающейся из матрицы вычеркиванием строк и столбцов.

Минор , отличный от нуля, называется базисным минором матрицы. Строки и столбцы, на пересечении которых стоит некий базисный минор, называются базисными.

Рангом матрицы размером называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначается или .

Свойства ранга:

1.  Ранг нулевой матрицы считается равным нулю.

2.  .

3.  у матрицы -ого порядка тогда и только тогда, когда .

Теорема. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.

С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к виду, содержащему единичную подматрицу порядка либо к ступенчатому виду

,

где Ранг ступенчатой матрица равен .

Строки (столбцы) матрицы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке: . В противном случае строки матрицы называются линейно независимыми.

Теорема (о связи ранга с числом независимых строк). Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк (столбцов).

Пусть в матрице выделен некий минор -ого порядка и пусть минор -ого порядка этой матрицы целиком содержит внутри себя минор . Говорят, что в этом случае минор окаймляет минор (или минор является окаймляющим для минора ).

Теорема. Если минор матрицы отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то ранг матрицы равен .

ТЕМА 3.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Классификация систем линейных уравнений. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Система уравнений с неизвестными. Метод обратной матрицы и формулы Крамера. Метод Гаусса. Система уравнений с неизвестными. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Жордана-Гаусса. Системы однородных линейных уравнений. Фундаментальная система решений.

Система линейных уравнений с переменными имеет вид

или в сокращенной записи

Числа называются коэффициентами, а свободными членами уравнений.

Решением системы называется упорядоченная совокупность чисел , которая при подстановке в систему обращает каждое уравнение в тождество. Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. Совместная система линейных уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. Две системы называются равносильными (эквивалентными), если они имеют одно и то же множество решений.

Системы уравнений удобно решать в матричной форме. Введем обозначения:

для матрицы коэффициентов ,

для матрицы-столбца неизвестных ,

для матрицы-столбца свободных членов .

Тогда систему можно записать в компактном матричном виде как .

Система уравнений с неизвестными. Метод обратной матрицы и формулы Крамера.

Решим систему для случая . Пусть , тогда существует обратная матрица. Умножив обе части слева на , получим формулу

Теорема Крамера. Пусть - определитель матрицы коэффициентов , а - определитель матрицы, получаемой из матрицы заменой -ого столбца матрицы столбцом свободных членов. Тогда, если , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам Крамера:

Габриэль Крамер () – швейцарский математик.

В формуле обратная матрица есть . Так как элементы присоединенной матрицы есть алгебраические дополнения матрицы , то равенство в развернутом виде есть

Таким образом, для любого по свойству 6 определителя

.

Существенным недостатком решения систем по формулам Крамера или методом обратной матрицы является их большая трудоемкость, связанная с вычислением определителей и обратной матрицы. Поэтому эти методы носят скорее теоретический интерес и на практике не могут использоваться в реальных экономических задачах, которые часто приводят к большим системам с большим числом переменных. Однако для решения каких-то частных задач для автоматизации вычислений можно использовать средства Excel.

Метод Гаусса.

() – немецкий математик и физик, профессор Геттингенского университета.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений заключается в последовательном исключении неизвестных с помощью элементарных преобразований.

Основанием метода служит следующая теорема.

Теорема (о равносильности систем при элементарных преобразованиях). При элементарных преобразованиях строк системы линейных уравнений остаются равносильными.

Алгоритм метода Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы : размерности . Посредством элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому (треугольному) виду (прямой ход):

Алгоритм прямого хода.

Предположим, что (если это не так, то переставим строки).

Шаг 1. Умножая первую строку на числа и прибавляя полученные строки соответственно ко второй, третьей, …, -ой строке, исключим переменную из всех последующих уравнений системы, начиная со второго.

Продолжая процесс последовательного исключения переменных , после -ого шага получим ступенчатую матрицу.

Решим полученную систему (обратный ход). Рассмотрим различные случаи.

1)  . Тогда система несовместна, так как -ое уравнение содержит нулевые коэффициенты и ненулевой свободный член. Пусть далее .

2)  Число неизвестных и число уравнений совпадают. Расширенная матрица примет треугольный вид, а система уравнений, соответствующая этой матрицы, вид:

Из последнего уравнения находим . Подставим его значение во все уравнения и из предпоследнего находим . Продолжая этот процесс, находим все неизвестные. Итак, при система определена и имеет единственное решение.

3)  Число неизвестных больше числа уравнений: . Расширенная матрица в этом случае имеет вид трапеции. Выразим в последнем уравнении неизвестную через неизвестные и подставим в уравнение с номером . Продолжая таким образом процесс, выразим неизвестные через неизвестные . Придавая последним произвольные значения, получаем бесконечное множество решений системы.

Система уравнений с неизвестными.

Если строки расширенной матрицы системы линейно независимы, то ранг этой матрицы равен числу ее строк (уравнений системы): , если – линейно зависимы, то .

Вопрос о разрешимости системы в общем виде рассматривается в следующей теореме.

Теорема Кронекера - Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы.

1.  Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных , то система имеет единственное решение.

2.  Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных , то система неопределенная и имеет бесконечное множество решений.

Достоинства метода Гаусса:

·  значительно менее трудоемкий;

·  позволяет однозначно установить совместна система или нет, а в случае совместности найти ее решения (единственное или бесконечное множество);

·  дает возможность найти максимальное число линейно независимых уравнений – ранг матрицы системы.

Метод Жордана-Гаусса.

Метод Жордана-Гаусса решения систем линейных уравнений состоит в преобразовании расширенной матрицы системы к виду, при котором коэффициенты при переменных системы образуют диагональную матрицу с точностью до перестановки строк или столбцов, что позволяет сразу, без дополнительных преобразований, получить решение системы.

На каждом шаге выбирается разрешающий элемент (любой элемент матрицы, отличный от нуля); -ая строка называется разрешающей строкой, - разрешающей переменной. Для перехода к следующему шагу разрешающая переменная исключается из всех остальных уравнений; элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент, а элементы других строк заменяются на новые по следующему правилу (правилу прямоугольника):

В формуле исключения в числителе стоит произведение заменяемого и разрешающего элементов минус произведение элементов, стоящих в оставшихся углах прямоугольника:

После получения новой матрицы выбирается новый, отличный от нуля, разрешающий элемент в другой строке, вычисляется новая матрица и т. д., пока матрица системы не будет приведена к диагональному виду.

Системы однородных линейных уравнений. Фундаментальная система решений.

Однородной называется система линейных уравнений, свободные члены которой равны нулю:

Очевидно, что система однородных линейных уравнений всегда совместна, так как имеет нулевое решение . Это следует также из теоремы Кронекера-Капелли: в случае однородной системы .

Если в системе и , то такая система имеет только нулевое решение. Ненулевые решения, следовательно, возможны лишь для таких систем линейных однородных уравнений, в которых число уравнений меньше числа переменных или при их равенстве, когда определитель системы равен нулю.

Иначе, система линейных однородных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы коэффициентов меньше числа переменных, т. е. при .

Решения однородной системы линейных уравнений обладает свойством, что всякая линейная комбинация решений также является решением этой системы.

Система линейно независимых решений называется фундаментальной, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений .

Теорема. Если ранг матрицы коэффициентов системы однородных линейных уравнений меньше числа переменных , то всякая фундаментальная система решений этой системы состоит из решений.

Поэтому общее решение системы однородных линейных уравнений имеет вид:

,

где фундаментальная система решений, произвольные числа, .

Можно показать, что общее решение системы линейных уравнений с переменными равно сумме общего решения соответствующей ей системе однородных линейных уравнений и произвольного частного решения этой системы.

ТЕМА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.

Понятие n-мерного линейного векторного пространства. Понятие линейной зависимости/независимости системы векторов. Линейные преобразования линейных пространств (линейные операторы). Матричная запись линейных операторов. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения. Понятие n - мерного евклидова пространства.

Понятие - мерного линейного векторного пространства.

Множества всех плоских или пространственных векторов, в которых определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, являются простейшими примерами векторных пространств.

-мерным вектором называется упорядоченная совокупность действительных чисел, записываемых в виде , где — -я компонента вектора .

Два -мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т. е. , если

Суммой двух векторов одинаковой размерности называется вектор , компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, т. е.

Произведением вектора на действительное число называется вектор , компоненты которого равны произведению на соответствующие компоненты вектора , т. е.

Линейные операции над любыми векторами удовлетворяют следующим свойствам:

1. — коммутативное (переместительное) свойство суммы:

2. — ассоциативное (сочетательное) свойство суммы;

3. — ассоциативное относительно числового множителя свойство;

4. — дистрибутивное (распределительное) относительно суммы векторов свойство;

5. — дистрибутивное относительно суммы числовых множителей свойство;

6. Существует нулевой вектор такой, что для любого вектора (особая роль нулевого вектора);

7. Для любого вектора существует противоположный вектор такой, что ;

8. для любого вектора (особая роль числового множи

Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше восьми свойствам (рассматриваемым как аксиомы), называется векторным пространством.

Следует отметить, что под можно рассматривать не только векторы, но и элементы (объекты) любой природы. В этом случае соответствующее множество элементов называется линейным пространством.

Линейным пространством является, например, множество всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числа . Легко убедиться, что если и - многочлены степени не выше , то они будут обладать свойствами 1—8. Заметим для сравнения, что, например, множество всех многочленов степени, точно равной натуральному числу , не является линейным пространством, так как в нем не определена операция сложения элементов, ибо сумма двух многочленов может оказаться многочленом степени ниже . А множество многочленов степени не выше , но с положительными коэффициентами также не является линейным пространством, поскольку в этом множестве не определена операция умножения элемента на число: такие многочлены нельзя умножать на отрицательные числа.

Из определения векторного (линейного) пространства, в частности из аксиом 1—8, вытекает существование единственного нулевого вектора, равного произведению произвольного вектора на действительное число и существование для каждого вектора единственного противоположного вектора , равного произведению этого вектора на действительное число (—1).

Понятие линейной зависимости/ независимости системы векторов.

Понятия линейной комбинации, линейной зависимости и независимости векторов вводятся аналогично тому, как это было сделано для строк матрицы.

Вектор называется линейной комбинацией векторов векторного пространства , если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа:

,

где - какие угодно действительные числа.

Векторы векторного пространства называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что

Можно показать, что если векторы линейно зависимы, то по крайней мере один из них линейно выражается через остальные. Верно и обратное утверждение о том, что если один из векторов выражается линейно через остальные, то всё эти векторы в совокупности линейно зависимы.

Примером линейно независимых векторов являются два неколлинеарных, т. е. не параллельных одной прямой, вектора и на плоскости. Действительно, условие будет выполняться лишь в случае, когда , ибо если, например, ,то и векторы и коллинеарны. Однако любые три вектора плоскости линейно зависимы.

Свойства векторов линейного пространства.

1. Если среди векторов имеется нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

2. Если часть векторов являются линейно зависимыми, то и все эти векторы — линейно зависимые.

Линейное пространство называется -мерным, если в нем существует линейно независимых векторов, а любые из векторов уже являются зависимыми.

Другими словами, размерность пространства — это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Число называется размерностью пространства и обозначается .

Совокупность линейно независимых векторов - мерного пространства называется базисом.

Теорема. Каждый вектор линейного пространства можно представить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса:

Это равенство называется разложением вектора по базису , а числа — координатами вектора относительно этого базиса. В силу единственности разложения каждый вектор однозначно может быть определен координатами в некотором базисе. Очевидно, что нулевой вектор имеет все нулевые координаты, а вектор, противоположный данному, — противоположные по знаку координаты.