Свойства (стр. 1 )

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА.

ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ.

Множества и отображения. Понятие декартового произведения множеств. Определение различных видов отображений. Понятие мощности множества и кардинального числа.

Понятие отношения на множестве. Отношение эквивалентности и факторизация отображений. Частично упорядоченные множества.

Понятие операции на множестве. Множества с алгебраическими операциями: полугруппы и моноиды, группы, кольца и поля.

Основные числовые системы: натуральных чисел, целых чисел, рациональных чисел, действительных чисел. Принцип математической индукции.

Множества и отображения.

Понятие множества — одно из основных понятий математики. Под множеством понимают совокупность объектов (предметов или понятий), которая рассматривается как одно целое. Например, можно говорить о множестве всех натуральных чисел, о множестве букв на данной странице, о множестве корней данного уравнения и т. п. Объекты, входящие в состав множества, называются его элементами. Понятие множества принимается как исходное, первичное, т. е. не сводимое к другим понятиям.

Утверждения «Объект есть элемент множества », «Объект принадлежит множеству », которые имеют один и тот же смысл, сокращенно записывают в виде . Если элемент не принадлежит множеству , то пишут . Символ называется знаком принадлежности.

Два множества и называют равными и пишут , если и содержат одни и те же элементы.

Таким образом, множества и равны, если для любого тогда и только тогда, когда .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством.

Таким образом, множество называют пустым, если для любого . Такое множество единственно. Единственное пустое множество обозначается символом . Таким образом, для каждого .

Пустое множество является подмножеством любого множества.

Примеры множеств:

- множество натуральных чисел. - множество рациональных чисел. - множество целых чисел. - множество действительных чисел. - множество комплексных чисел.

Понятие декартового произведения множеств.

Пусть даны какие-нибудь объекты и . Если , то множество называется неупорядоченной парой объектов и . Отметим, что всегда .

Введем новое исходное понятие — понятие упорядоченной пары. Любым двум объектам и поставим в соответствие новый объект — их упорядоченную пару .

Упорядоченные пары и называют равными и пишут в том и только в том случае, когда и .

В частности, в том и только в том случае, когда .

В дальнейшем часто будем говорить «пара » вместо «упорядоченная пара ». Элемент называется первым элементом пары , а — вторым элементом пары.

Декартовым (прямым) произведением множеств и называется множество всех упорядоченных пар таких, что и . Это множество обозначается .

Таким образом, .

Пример. Пусть и . Тогда имеем:

Отображения

Существует три основных вида отображений: инъективное, сюръективное и биективное.

a) Инъективным отображением множества на множество Y называется такое отображение, при котором двум различным элементам из множества соответствуют различные элементы из множества . Другими словами инъективное отображение, если для любых выполнено .

примером инъективного отображения является отображение: .

б) Сюръективное отображение (или сюръекция). Сюръекцией называется такое отображение, при котором каждому образу из множества , соответствует хотя бы один прообраз из множества .

примером сюръекции является отображение:.

в) Биективное (взаимооднозначное) отображение (или биекция). Биекция является одновременно и инъекцией, и сюръекцией. Поясним это: Для любого образа из множества существует единственный прообраз во множестве .

примером биекции является отображение: .

Мощность множества

Мощность множества, кардинальное число множества — характеристика множеств (в том числе бесконечных), обобщающая понятие количества (числа) элементов конечного множества.

Два множества называются равномощными, если между ними существует биекция. Существование биекции между множествами есть отношение эквивалентности, а мощность множества — это соответствующий ему класс эквивалентности.

Свойства

Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа элементов. То есть для конечного множества понятие мощности совпадает с привычным понятием количества. Для бесконечных множеств мощность множества может совпадать с мощностью своего собственного подмножества, например .
Более того, множество бесконечно тогда и только тогда, когда оно содержит равномощное собственное (то есть не совпадающее с основным множеством) подмножество.
Декартово произведение бесконечного множества A с самим собой равномощно A. Мощность декартова произведения:

Примеры

Множество называется конечным, если оно равномощно отрезку натурального ряда при некотором неотрицательном целом . Число выражает количество элементов конечного множества. При множество не содержит элементов (пустое множество). Если , то не существует инъективного отображения из в (принцип Дирихле), а значит, не существует и биекции между ними. Поэтому множества и имеют различную мощность.

Множество называется счетным, если оно равномощно множеству всех натуральных чисел . Счётными множествами являются:
Множество . Соответствие: . Множество пар натуральных чисел . Множество рациональных чисел инъективно отображается во множество (несократимой дроби вида соответствует пара чисел ). Поэтому множество рациональных чисел не более, чем счётно. Но так как оно содержит множество натуральных чисел, то оно и не менее, чем счётно. По теореме Кантора-Бернштейна оно счётно.

Бесконечные множества, неравномощные множеству , называются несчётными. По теореме Кантора несчётным является множество бесконечных последовательностей, составленных из цифр 0 и 1. Мощность этого множества называется континуум.

Мощность множества вещественных чисел равна континууму.

Понятие отношения на множестве. Отношение эквивалентности и факторизация отображений. Частично упорядоченные множества.

Бинарным отношением называется любое множество упорядоченных пар.

Из определения следует, что бинарным отношением является любое подмножество прямого произведения двух множеств.

Если — бинарное отношение и , то говорят, что и связаны отношением , или что элемент находится в отношении к или что для и выполняется отношение R. Вместо записи часто используют более простую , которая также является записью утверждения «элементы и связаны отношением ».

Множество всех первых элементов пар из называется областью определения отношения и обозначается :

Множество всех вторых элементов пар из называется областью значений отношения и обозначается :

Если, то говорят, что есть бинарное отношение на множестве .

Пусть и — бинарные отношения. Множество всех пар таких, что для некоторого и , называется композицией (или суперпозицией) отношений и и обозначается через .

По определению, имеем

Пример. Если , ,

то R*S = {(1, 6>, <2,12>}.

Инверсией бинарного отношения называется множество всех упорядоченных пар таких, что . Инверсия отношения обозначается через . Таким образом, по определению,

Пример. Если , то .

Теорема. Композиция отношений обладает свойством ассоциативности, т. е. для любых бинарных отношений .

Теорема. Для любых бинарных отношений и .

Понятие функции (отображения).

Бинарное отношение называется функцией (отображением), если для любых из того, что и следует, что . Другими словами, отношение называется функцией, если для любого из области определения отношения существует единственное такое, что . Этот единственный элемент обозначается через и называется значением функции для аргумента . Если , то используется общепринятая запись , а также запись .

Областью определения функции называется множество

Областью значений функции называется множество

Функции называются также отображениями. Если функция задана на паре множеств и , т. е. , то говорят, что есть отображение из в . Если при этом и , то говорят, что есть отображение множества в , и записывают в виде .

Если и , то говорят, что есть отображение множества на .

Образом множества при отображении называется множество

Прообразом множества при отображении называется множество

, т. е. множество всех тех элементов из области

определения функции , для которых .

Отношение эквивалентности

Отношение ~ называется отношением эквивалентности, если выполнены следующие свойства:

1.  (рефлексивность)

2.  (симметричность)

3.  (транзитивность)

Классом эквивалентности элемента называется подмножество элементов, эквивалентных .

Множество классов эквивалентности по отношению ~ является разбиением множества.

Примеры отношений эквивалентности

Самое наглядное и всем знакомое отношение эквивалентности — разделение контингента учащихся конкретной школы на классы. Равенство ( ), тривиальное отношение эквивалентности на любом множестве, в частности, вещественных чисел. Сравнение по модулю, (). В Евклидовой геометрии
Отношение конгруэнтности («»). Отношение подобия («»).
Эквивалентность функций в математическом анализе: Отношение равномощности множеств.

Более сложный пример, но совершенно жизненно важный:

Когда врач выписывает вам лекарство, он, фактически в рецепте указывает класс эквивалентных лекарств, он не может указать совершенно конкретный экземпляр упаковки таблеток или ампул. То есть всевозможные лекарства разбиты на классы отношением эквивалентности. Если бы не этот факт, современная медицина просто не была бы возможна.

Факторизация отображений

Множество классов эквивалентности, отвечающее отношению эквивалентности ~, обозначается символом и называется фактор-множеством относительно ~. При этом сюръективное отображение

называется естественным отображением (или канонической проекцией) на фактор-множество .

Пусть — множества, — отображение, тогда бинарное отношение , определённое правилом

,

является отношением эквивалентности на . При этом отображение индуцирует отображение , определяемое правилом или, что то же самое,

.

При этом получается факторизация (разложение) отображения на сюръективное отображение и инъективное отображение .

Факторизация отображения широко применяется в гуманитарных науках и в тех областях техники, где нет возможности использовать числовые значения. Факторизация отображения позволяет обходиться без формул там, где формулы применять не удается. Приведем пример, который будет понятен любому и не потребует разбираться в сложной математической символике.

Примеры

Расписание занятий в школе — это типичный пример факторизации. В данном случае — множество всех учащихся школы, — множество всех учебных предметов, разнесенных по дням недели с уточнением времени проведения занятий. Классами эквивалентности являются классы (группы учащихся). Отображение — расписание занятий, отображаемое в дневниках учащихся. Отображение — расписание занятий по классам, вывешиваемое в вестибюле школы. Здесь же имеется и отображение — списки классов. Этот пример очень наглядно демонстрирует практические выгоды факторизации: невозможно представить себе расписание занятий, как таблицу, в которой отражены все ученики школы в персональном порядке. Факторизация позволила отобразить нужную учащимся информацию в удобном для применения компактном виде в ситуации, где формулы применить не удается.

Однако этим выгоды факторизации не ограничены. Факторизация позволила провести разделение труда между участниками деятельности: завуч составляет расписание, а учащиеся записывают его себе в дневники. Аналогичным образом, факторизация выписки рецептов позволила провести разделение труда между медиком, ставящим диагноз и выписывающим рецепт, и аптекарем, обеспечивающим эквивалентность выписанных лекарств. Апофеозом факторизации является конвейер, реализующий максимальное разделение труда за счет стандартизации деталей.

Но и этим выгоды факторизации не ограничены. Факторизация позволила обеспечить модульность современной техники, что дает ей небывалую гибкость функций. Вы можете сохранить старую сим-карту и купить к ней совершенно новый телефон, или в свой старый компьютер вставить новую видеопамять. Все это — гибкость, модульность, в основе которой лежит факторизация.

Упорядоченные множества

Упорядочением множества (или порядком на ) называется бинарное отношение на , обладающее свойствами рефлексивности (), антисимметричности (если и , то ) и транзитивности (если и , то ). При и пишут . Вместо используется также запись . Пара элементов может и не находиться в отношении . Если, однако, или для каждой пары элементов из , то называется линейно упорядоченным множеством или цепью. В общем же случае говорят о частичном порядке на .