ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ, МЕР И ЕМКОСТЕЙ
проф.
1. Формула Помпейю ([1], Лекция 7: п. 7.1).
2. Свойства потенциала Коши ограниченной финитной функции ([1], Лекция 8: пп. 8.1-8.4).
3. Обхват, мера и размерность по Хаусдорфу. Себеподобные множества. Теорема Хаткинсона (б/д). ([2], Сh. 4).
4. Лемма Фростмана ([2], Сh. 8, 8.3).
5. Теоремы Долженко и Мельникова об аналитической 
емкости.
6. Кривизна меры и емкость 
. Теорема Толсы (часть 1).
7. Ограниченность в 
операторов 
и 
.
8. Лемма Толсы о “большой части”.
9. Теорема Вольберга-Назарова-Трейля.
10. Теорема Нгуена. Взаимосвязь 
, 
и 
. Завершение доказательства теоремы Толсы.
11. Теорема Витали. Теорема Кальдерона-Мельникова-Вердеры.
12. Определение основных пространств функций. Доказательство теоремы Рунге для голоморфных и гармонических функций на плоскости ([1], Лекции 7, 8: пп. 7.4-7.7, 8.4-8.5).
13. Локализационный оператор Витушкина и его свойства ([3], гл. VIII, с. 273-275; [1], Лекция 9: пп. 9.6, 9.7.)
14. Стандартное разбиение единицы и оценочная лемма при касании третьего порядка на 
([3], гл. VIII, с. 274-276; [1], Лекция 10: пп. 10.1-10.4).
15. Аналитическая емкость 
ее свойства и связь с устранимыми особенностями в классе ограниченных голоморфных функций. Теоремы Давида и Толсы о емкости (б/д). ([3], гл. VIII, с. 256-259).
16. Аналитическая емкость 
. Оценки емкостей и ([3], гл. VIII, с. 260-262, 265-266).
17. Доказательство теорем Мергеляна о приближении полиномами и рациональными функциями комплексного переменного ([1], Лекции 9, 10: пп. 9.1-9.3, 9.8, 10.5).
18. Приращение (полярного) аргумента вдоль пути и его свойства. Индекс пути относительно точки ([1], Лекции 1, 4: пп. 1.17-1.28, 4.3-4.6).
19. Уточненные варианты принципа аргумента, теоремы Руше и обратного принципа соответствия границ ([1], Лекция 11: пп. 11.1-11.7).
20. Уточненные варианты интегральной теоремы и интегральной формулы Коши ([1], Лекции 5, 9: пп. 5.5-5.14, 9.5).
21. Локализационная теорема Бишопа и ее приложения ([4], гл. III, § 3 С).
22. Теорема Витушкина о приближении рациональными функциями на плоских компактах: доказательство необходимых условий приближаемости ([3], гл. VIII, пп. 5.1 и 8.2: 
.
23. Теорема Витушкина: доказательство достаточных условий приближаемости для компактов с пустой внутренностью ([3], гл. VIII, п. 8.2: 
, [1], Лекция 10: пп. 10.3-10.5 применительно к данной задаче).
24. Примеры отсутствия равномерной рациональной аппроксимации ([3], гл. II: с. 41-42; гл. VIII: с. 285-287).
25. Аппроксимационная теорема Аракеляна (необходимость в теореме [3, гл. IV, § 2, Теорема 3]).
26. Аппроксимационная теорема Аракеляна (достаточность в теореме [4, гл. IV, § 2, Теорема 3]).
27. Приложения к теории радиальных асимптотических значений целых функций ([4], гл. IV, § 5 А).
Литература
1. Парамонов главы комплексного анализа. Учебное пособие. М., изд-во мех.-мат. ф-та МГУ, 2000.
2. Маttilа Р. Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces. Cambridge University Press. 1995.
3. Равномерные алгебры. М., Мир, 1973.
4. Лекции по теории аппроксимации в комплексной области. М., Мир, 1986.
