Тема 3. Геометрические и физические задачи, приводящие к уравнениям с разделяющимися переменными

Для решения геометрических задач целесообразно использовать чертежи, а также геометрический смысл производной и интеграла.

Пример 3.1. Найти кривые, для которых площадь треугольника, образованного касательной, ординатой точки касания и осью абсцисс, есть величина постоянная, равная 4 кв. ед.

Как видно из рис. 1, площадь искомого треугольника KNM равна Поскольку а (Это вытекает из геометрического смысла производной), то Значит,

Таким образом, по условию задачи имеем дифференциальное уравнение Считается, что и разделяя переменные, получаем

Отсюда находим

Если (см. рис. 2), то

Интегрируя это уравнение, получим

Наконец, оба ответа можно объединить в один:

При составлении дифференциального уравнения, описывающего физический процесс, наряду с применением физических законов используется физический смысл производной, как скорость изменения какой-либо величины.

Пример 3.2. С некоторой высоты сброшено тело, масса которого равна m. Требуется установить, по какому закону будет изменяться скорость v падения этого тела, если на него, кроме силы тяжести, действует тормозящая сила сопротивления воздуха, пропорциональная скорости (с коэффициентом пропорциональности k).

Решение: По второму закону Ньютона где есть ускорение движущего тела, а F – сила, действующая на тело в направлении движения. Эта сила складывается из двух: силы тяжести и силы сопротивления воздуха

Итак, Это соотношение и является дифференциальным уравнением относительно неизвестной функции

Задания для самостоятельной работы

1.  Найти такую кривую, проходящую через точку (0;–2), чтобы тангенс угла наклона касательной в любой точке равнялся ординате этой точки, увеличенной на три единицы. (Ответ: ).

2.  Найти кривые, обладающие тем свойством, что отрезок касательной к кривой, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам. (Ответ: ).

3.  Найти кривые, у которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньшую абсциссы точки касания.

(Ответ: ).

4.  Найти кривые, обладающие следующим свойством: если через любую точку кривой провести прямые, параллельные осям координат, до встречи с этими осями, то площадь полученного прямоугольника делится касательной, проведенной к этой кривой в соотношении 1:2. (Ответ: ).

5.  По закону Ньютона скорость охлаждения какого-либо тела в воздухе пропорционально разности между температурой Т тела и температурой воздуха . Если температура воздуха равна , и тело в течении 10 минут охлаждается от 100 до , то через сколько времени его температура понизится до? (Ответ: 40 минут).

6.  Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки 1,5 м/сек, скорость ее через 4 сек 1 м/сек. Когда скорость уменьшится до 1 см/сек? Какой путь может пройти лодка до остановки? (Ответ: 50 сек; 15 м).

7.  Согласно опытам, в течение года из каждого грамма радия распадается 0,44 мг. Через сколько лет распадется половина имеющегося количества радия? (Ответ: лет.)

8.  В баке находится 100 л раствора, содержащего 10 кг соли. В бак непрерывно подается вода (5 л в минуту), которая перемешивается с имеющимся раствором. Смесь вытекает с той же скоростью. Сколько останется соли в баке через час? (Ответ: кг.)

9.  Парашютист прыгнул с высоты 1,5 км, а раскрыл парашют на высоте 0,5 км. Сколько времени он падал до раскрытия парашюта? Известно, что предельная скорость падения человека в воздухе нормальной плотности составляет 50 м/c. Изменением плотности пренебречь. Сопротивление пропорционально квадрату скорости. (ответ: сек.)