Геометрия

Наименование дисциплины: Геометрия

Направление подготовки (специальность): 090301 Компьютерная безопасность

Специализация: Математические методы защиты информации

Квалификация (степень) выпускника: специалист

Форма обучения: очная

Автор: к. ф.–м. н., доцент, кафедры алгебры и математической логики

1.Целями освоения дисциплины "Геометрия" являются:

формирование математической культуры студента, развитие геометрического мышления, овладение основными приемами решения геометрических задач средствами алгебры, усвоение идеи линейности, лежащей в основе этого курса, как одной из самых общих естественнонаучных идей, расширяющих кругозор и общую математическую культуру.

2.Дисциплина «Геометрия» относится к базовой части цикла С2. (математический и естественно - научный цикл).

Для ее успешного изучения необходимы знания и умения, приобретенные в результате освоения школьного курса математики, а также некоторых разделов из курсов алгебры и математического анализа.

Геометрия относится к числу общеобразовательных математических курсов и является основным среди переходных курсов от школьной математики к высшей математике. Изучаемый в курсе материал систематически используется для наглядной иллюстрации и как источник обобщений в курсах «Алгебра» и «Математический анализ». Дисциплина является базовой для изучения всех математических дисциплин.

3.В результате освоения дисциплины обучающийся должен

Знать:

возможности координатного метода для исследования геометрических и алгебраических объектов; основные виды уравнений простейших геометрических объектов; основные задачи векторной алгебры и методы их решения; основные понятия аффинной геометрии, аффинных преобразований плоскости и пространства; определения и свойства математических объектов, используемых в курсе, формулировки утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их приложений.

Уметь:

исследовать простейшие геометрические объекты по их уравнениям в различных системах координат; решать задачи теоретического и прикладного характера из различных разделов курса геометрии, доказывать утверждения, описывать строение некоторых классов геометрических групп.

Владеть:

математическим аппаратом аналитической геометрии, методами доказательства утверждений, применением методов аналитической геометрии и векторной алгебры в смежных дисциплинах.

4.Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетные единицы, 144 часа.

5.Содержание дисциплины

№	Раздел дисциплины
1	Роль геометрии в математике. Предмет и метод аналитической геометрии. Краткий исторический обзор развития геометрии.
2	СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ И ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ Вводные понятия. Равносильность систем линейных уравнений. Элементарные преобразования систем линейных уравнений. Определители второго и третьего порядка и их свойства. Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными и трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера.
3	ДЕКАРТОВА ПЛОСКОСТЬ Декартовы координаты на прямой. Направленный отрезок. Операции над направленными отрезками. Основное тождество. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости. Проекция направленного отрезка на ось. Расстояние между точками, длина направленного отрезка. Полярная система координат на плоскости. Связь полярных и прямоугольных декартовых координат.
4	ДЕКАРТОВО ПРОСТРАНСТВО Прямоугольные декартовы координаты в пространстве. Расстояние между точками. Проекция направленного отрезка на ось и ее свойства. Деление отрезка в данном отношении. Центр тяжести системы материальных точек. Свободный вектор в пространстве. Линейные операции над векторами. Коллинеарные векторы. Теорема о коллинеарных векторах. Линейная зависимость и независимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости систем из двух и из трех векторов. Система из четырех векторов в пространстве. Базис. Аффинная система координат в пространстве. Скалярное произведение векторов и его выражение в прямоугольных координатах. Угол между векторами. Площадь треугольника на плоскости. Понятие ориентации пространства. Векторное произведение векторов и его свойства. Выражение векторного произведения в прямоугольных координатах. Смешанное произведение векторов и его геометрический смысл. Свойства смешанного произведения векторов. Вычисление площади треугольника и объема тетраэдра. Двойное векторное произведение векторов и его свойства. Полярная система координат в пространстве. Сферические и цилиндрические координаты, их связь с прямоугольными декартовыми координатами.
5	ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Общее уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой в отрезках. Направляющий вектор прямой. Каноническое и параметрические уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Угловой коэффициент. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Нормированное уравнение прямой. Отклонение точки от прямой, расстояние от точки до прямой. Взаимное расположение прямых на плоскости. Уравнение биссектрисы угла между прямыми.
6	ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. Общее уравнение плоскости в пространстве. Уравнение плоскости в отрезках. Векторное и параметрические уравнения плоскости. Угол между двумя плоскостями. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Нормированное уравнение плоскости. Отклонение точки от поскости. Расстояние от точки до плоскости. Проектирующие плоскости. Различные виды уравнения прямой в пространстве: канонические, векторное и параметрические уравнения прямой. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Угол между прямыми, угол между прямой и плоскостью. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние между двумя прямыми.
7	ПЕРЕХОД ОТ ОДНОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ К ДРУГОЙ. Матрица перехода к новому базису. Связь старых и новых координат. Переход от одной прямоугольной системы координат к другой на плоскости. Переход от одной прямоугольной системы координат к другой в пространстве. Ортогональные матрицы как матрицы перехода от одной прямоугольной системы координат к другой прямоугольной системе координат.
8	АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ Алгебраический многочлен. Степень многочлена и ее инвариантность при переходе к другой аффинной системе координат. Алгебраические кривые и поверхности. Квадратичные формы. Преобразование многочлена второй степени от двух переменных при преобразовании координат. Ортогональные инварианты многочлена второй степени от двух переменных.
9	КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА. Конические сечения. Кривые второго порядка как конические сечения. Уравнения конических сечений в полярной системе координат. Уравнения конических сечений в канонической форме. Эллипс и его свойства. Гипербола и ее свойства. Парабола, свойства параболы. Фокусы и директрисы кривых второго порядка. Касательные к коническим сечениям. Диаметры конических сечений, сопряженные диаметры. Оптические свойства конических сечений.
10	КЛАССИФИКАЦИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА Приведение квадратичной формы от двух переменных к каноническому виду. Характеристическое уравнение. Главные направления (главные оси) кривой второго порядка. Преобразование кривой второго порядка при повороте. Центр симметрии кривых второго порядка. Нахождение канонической системы координат. Классификация центральных кривых второго порядка. Классификация кривых второго порядка в нецентральном (параболическом) случае.
11	КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. Поверхности вращения. Поверхности вращения второго порядка. Канонические уравнения поверхностей второго порядка. Эллипсоиды и их плоские сечения. Эллиптический и гиперболический параболоиды и их плоские сечения. Цилиндры и конусы второго порядка. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида. Цилиндрические и конические поверхности. Задание их с помощью направляющих линий. Центр симметрии поверхности второго порядка. Типы поверхностей, определяемых уравнением второй степени с тремя неизвестными. Классификация центральных поверхностей второго порядка. Классификация поверхностей второго порядка в нецентральном случае.
12	АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Определения движения (изометрии) и аффинного преобразования плоскости и пространства. Основные свойства аффинных преобразований. Аффинная эквивалентность линий и поверхностей. Аффинная классификация линий второго порядка. Аффинная классификация поверхностей второго порядка. Свойства движений. Классификация движений плоскости. Преобразование подобия, его представление в виде композиции гомотетии и движения плоскости. Различные виды движений пространства: параллельный перенос, поворот относительно оси, симметрия относительно плоскости, центральная симметрия. Классификация движений пространства. Группы преобразований плоскости и пространства.
13	ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ Проективная плоскость и ее различные модели. Однородные координаты точки и прямой на проективной плоскости. Уравнение прямой на проективной плоскости. Примеры проективных преобразований проективной плоскости. Группа аффинных преобразований как подгруппа проективных преобразований.

6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а)основная литература:

1.Яблокова по курсу «Аналитическая геометрия». Часть 1: учебное пособие.

– Ярославль: ЯрГУ, 2002. – 108с.

2.Яблокова по курсу «Аналитическая геометрия». Часть 2: учебное пособие.– Ярославль: ЯрГУ, 2002. – 112с.

3.Яблокова по курсу «Аналитическая геометрия». Часть 3: учебное пособие.

– Ярославль: ЯрГУ, 2004. – 90с.

б)дополнительная литература:

, Позняк геометрия. – М.: Наука, 1981. – 232с.

Александров аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, 197с.

Александров по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1970. – 911с.

, .И., Иваницкая геометрия. – М.: Просвещение, 1970.

Моденов геометрия: учебное пособие. – М.:МГУ, 1969. – 698с.

, Пархоменко задач по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1976. – 384с.

Цубербиллер и упражнения по аналитической геометрии. – М.: Наука,1970. – 336с.

Ефимов курс аналитической геометрии. – М.: Наука, 1975. – 272с.

Постников по геометрии. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1979. –

336с.

Клетеник зхадач по аналитической геометрии. – М.: Наука, 198с.

Глухов и аналитическая геометрия : учебное пособие для вузов. – М.:

Гелиос, 2005. – 392с.

12. Беклемишев аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Физматгиз,

2003. – 304с.