Производная функции. Геометрический и механический смысл производной

18. Производная функции. Геометрический и механический смысл производной

Определение производной:

а, х – аргументы

α – угол наклона секущей

φ – угол наклона касательной

-- приращение аргумента, новая независимая переменная

f(x); f(a) – значения функции

х=а+ =х-а

-- приращение функции

Определение производной

-- производная f(x) в точке а.

Производная -- это предел отношения приращения функции к приращению аргумента.

Рассмотри геометрический смысл производной:

Пусть АС – существует и АМ – существует

M -> A, тогда .

-- производная равна тангенсу угла наклона касательной к оси х.

Механический смысл производной:

Пусть х – время, f(x) – путь.

Тогда -- средняя скорость на [a; x]

Пусть , тогда мгновенной скорости

-- мгновенная скорость изменения функции в точке а.

Рассмотрим равноускоренное движение:

-- приращение времени