Справочник по математике для специальностей инженерно-технического профиля (стр. 2 )

p1x+ q1y= a1

p2x+ q2y= a2

где x, y – искомые координаты вектора =(x, y)=x+y

Глава 6. Аналитическая геометрия.

§6.1 Простейшие задачи.

Расстояние между 2-мя точками А(х1,у1) и В(х2,у2):

Деление отрезка АВ в данном отношении ,

В частном случае при =1 координаты середины отрезка АВ примут вид:

§6.2 Прямая на плоскости.

Общее уравнение прямой Ах+Ву+С=0 , (А2+В2)>0.

Вектора:

– нормальный вектор прямой.

– направляющий вектор прямой.

Частные случаи:

1)  Ву+С=0 – прямая, параллельная оси Ох.

2)  Ах+С=0 – прямая, параллельная оси Оу.

3)  Ах+Ву=0 – прямая проходит через начало координат.

4)  у=0 – ось Ох.

5)  х=0 – ось Оу.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

у=kх+b, где k=tg

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:

y-y1=k(x-x1)

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки М1(x1,y1), M2(x2,y2):

Уравнение прямой в отрезках:

Угол между двумя прямыми:

Условие параллельности прямых:

k2= k1 или

Условие перпендикулярности двух прямых:

k2 k1=-1 или k2= или A1A2+B1B2=0

Расстояние d от точки M0(x0;y0) до прямой Ах+Ву+С=0 :

§6.3 Кривые второго порядка.

Канонические уравнения окружности:

Окружность радиуса R с центром в начале координат:

x2+y2=R2

Окружность радиуса R с центром в точке C(a;b): (x-a)2+(y-b)2=R2

Каноническое уравнение эллипса:

A1A2=2а – большая ось, а – большая полуось.

В1В2=2b – малая ось, b – малая полуось.

F1F2=2c – фокусное расстояние.

F1, F2 – фокусы.

b2=a2-c2

Эксцентриситет фокуса:

Каноническое уравнение гиперболы:

A1A2=2а – действительная ось ось, а – действительная полуось.

В1В2=2b – мнимая ось, b – мнимая полуось.

F1F2=2c – фокусное расстояние.

F1, F2 – фокусы.

b2=c2-a2

Эксцентриситет фокуса:

Уравнение асимптот гиперболы:

y=x

Если асимптоты гиперболы являются осями координат, то ее уравнение примет вид:

y=

1)если (k>0) 2)если (k<0)

Каноническое уравнение параболы:

y2=2px

AN – директриса.

0 – вершина параболы.

F – фокус.

Уравнение директрисы:

x=

§6.4 Прямая линия в пространстве.

Каноническое уравнение прямой в R3:

Точка M0(x0;y0;z0), , то есть - направляющий вектор прямой .

Параметрическое уравнение прямой:

t R,

Общее уравнение прямой через пересечение 2-х плоскостей:

,

§6.5 Плоскость в пространстве.

Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0;y0;z0) перпендикулярно вектору :

Общее уравнение плоскости в пространстве:

, (A2+B2+C20)

Частные случаи:

1)  D=0, – плоскость, проходящая через начало координат.

2)  С=0, – плоскость параллельная оси Oz

(аналогично при А=0 оси Ox, B=0 оси Oy).

3)  C=D=0, - плоскость проходит через ось Oz.

A=D=0, - плоскость проходит через ось Ox.

B=D=0, - плоскость проходит через ось Oy.

4)  B=C=0, - плоскость параллельная координатной плоскости YoZ.

A=C=0, - плоскость параллельная координатной плоскости YoZ.

B=C=0, - плоскость параллельная координатной плоскости YoZ.

5)  B=C=D=0, или х=0 – уравнение координатной плоскости YoZ.

A=C=D=0, или у=0 - уравнение координатной плоскости YoZ.

B=C=D=0, или z=0 - уравнение координатной плоскости YoZ.

Уравнение плоскости через три данные точки

М1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3)

§6.6 Угол между прямыми и плоскостями.

Угол между плоскостями определяется через угол между их нормальными векторами:

,,

Аналогично определяется угол между прямыми: как угол между их направляющими векторами:

,,

Прямая (параллельна плоскости p (), если Am+Bn+Cp=0 и перпендикулярна ей, если

§6.7. Поверхности второго порядка

1)Цилиндр: эллиптический: (,)

- гиперболический: (,)

- параболический: (, и т. д.)

2)Эллипсоид:

3)Гиперболоид:

-однополостный:

-двуполостный:

4)Конус:

5)Параболоид:

-эллиптический:

-гиперболический:

Глава 7. Комплексные числа.

§7.1 Представление комплексных чисел.

Алгебраическая форма представления комплексного числа:

Z=x+iy, x, y R, i-мнимая единица, i2=-1

х – действительная часть комплексного числа, обозначаемая x=ReZ,

y – коэффициент при мнимой части комплексного числа, обозначаемый y=ImZ.

Каждому комплексному числу Z=x+iy соответствует единственная точка плоскости М(х, у). (Справедливо и обратное).

Тригонометрическая форма комплексного числа:

z=r(cos+isin),

где r – модуль комплексного числа

r=|c|=

– аргумент комплексного числа Z,

Arg Z=arg Z + 2n, nZ

arg Z – главное значение аргумента комплексного числа Z:

-arg Z или 0arg Z 2

Показательная форма комплексных чисел:

Z=r

Формула Эйлера:

§7.2 Действия над комплексными числами.

Z1=x1+iy1=r1(cos+isin)

Z2=x2+iy2=r2(cos+isin)

Z1Z2=(x1 x2)+ i(y1 y2)

Z1Z2=( x1x2- y1y2)+i(x1y2+ x2y1)= r1 r2(cos+i sin)

Комплексное число Z1=x1-iy1 называется сопряженным к комплексному числу = x1+iy1

cos+i sin

Степени мнимой единицы:

i

, k

В частных случаях:

Z2= (x+iy)2=x22xyi+i2y2=(x2-y2)2xyi

Z3= (x+iy)3=x33x2yi+3xy2i2 i3y3=(x3-3xy3)i(3x2y-y3)

Возведение в степень:

Zn=(r(cos +isin))n=rn(cos +isin)) , n

Извлечение из корня:

§7.3 Функция комплексного переменного.

U(x, y)=Re f(Z) – действительная часть функции w=f(Z)=U(x, y)+iV(x, y)

V(x, y)=Im f(Z) –мнимая часть функции w=f(Z)=U(x, y)+iV(x, y)

Комплексная экспонента:

w=eZ=ex+iy=ex eiy=ex(cosy+isiny) – периодическая функция с периодом 2

Тригонометрические функции:

sinZ= , cosZ= -

в отличие от аналогичных функций действительного аргумента – не ограничены.

Логарифмическая функция:

w== ln |Z|+i(arg Z+2), k - многозначна.

ln |Z|+iarg Z – главное значение комплексного логарифма.

Если функции U(x, y) и V(x, y) имеют непрерывные частные производные в точке (x0,y0), удовлетворяющие условию Коши-Римана:

U’x(x, y)=V’y(x, y)

U’y(x, y)=-V’x(x, y)

то функция w= U(x, y)+iV(x, y), дифференцируема в точке z0=x0+iy0 и ее производная определяется, например, по формуле:

w’=f’(z)= U’x(x0,y0)+i V’x(x0,y0)

Функция w=f(Z) называется аналитической или регулярной в точке z0, если она дифференцируема как в самой точке z0, так и в некоторой ее окрестности.

Глава 8. Дифференциальное исчисление.

§8.1 Пределы.

Если последовательности (xn) и (yn) сходятся, то есть , то:

, где

Первый замечательный предел:

==1

Следствие:

=1, =1

=k, =

=, =

Второй замечательный предел:

==e

Основные неопределенности:

,,,,

Основные эквивалентные бесконечно малые величины:

sinxx, tgxx, ln(1+x)x, 1-cosxx2, ex-1x, при x

§8.2 Производные и дифференциалы.

Определение производной:

Дифференциал:

dy= f’(x)dx, dy=, f(x)= f(x0)+ f’(x0)+о()

Правила дифференцирования:

1)  (UV)’=U’V’

2)  (UV)’=U’V’U

3)  ()’=

4)  (CU)’=CU’ , C-const

Производная сложной функции:

Пусть y=f(U), где U=(x): y=f[(x)] – сложная функция

y’x=y’UU’x

Производные основных элементарных функций:

1.  =0, C-const

2.  =1

3.  =nxn-1

4.  =-1/x2

5.  =

6.  =1/x

7.  =

8.  =axlna

9.  =ex

10.  =cosx

11.  = - sinx

12.  =

13.  =

14.  =

15.  =

16.  =

17.  =

Правило Лопиталя:

§8.3 Исследование функции с помощью производной.

Признаки возрастания и убывания функции:

Если f’(x) на (a, b) положительна, то функция возрастает на этом интервале.

Если f’(x) на (a, b) отрицательна, то функция убывает на этом интервале.

Экстремум дифференциальной функции y=f(x).

Если x0- точка экстремума функции y=f(x), то y=f’(x)=0 или не существует.

Достаточные условия экстремума:

1-е правило:

Пусть f’(x0)=0 или f’(x0) не существует, то есть x0- точка, подозрительная на экстремум.

Если f’(x) при переходе через точку x0 слева на право меняет знак с «+» на «-», то x0-точка максимума.

Если f’(x) при переходе через точку x0 слева на право меняет знак с «-» на «+», то x0-точка минимума.

Если f’(x) при переходе через точку x0 не меняет знака, то в точке x0 нет экстремума.

2-е правило:

Пусть f(x) дважды дифференцируема в точке x0 и f’(x)=0, f’’(x)0.

Если f’’(x0)0 , то x0- точка максимума.

Если f’’(x0)0 , то x0- точка минимума.

Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Если кривая вогнута на некотором интервале, то f’’(x)>0 для всех x из этого интервала.

Если кривая выпукла на некотором интервале, то f’’(x)<0 для всех x из этого интервала.

Необходимое условие перегиба:

Если хс- точка перегиба кривой, то f’’(x0)=0 или f’’(x0) не существует.

Достаточное условие перегиба:

Если вторая производная непрерывной функции y=f(x) при переходе через точку х0 меняет знак, то (х0,f(x0)) – точка перегиба графика функции.

Асимптоты:

Различают вертикальные и невертикальные асимптоты. Вертикальные асимптоты проходят через точки разрыва 2-го рода. Уравнение вертикальной асимптоты х=а, причем хотя бы один из пределов

или , бесконечен.

Уравнение невертикальной асимптоты ищут по формуле y=kx+b, где k= , b=

Если хотя бы один из пределов не существует, то невертикальных асимптот нет.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на [а;b]:

1)  Находим все критические точки функции (а;b), решая уравнение f’(x)=0 и определяя, где f’(x) не существует;

2)  Вычисляем значение функции в критических точках, принадлежащих (а;b);

3)  Вычисляем значение функции на концах отрезка, то есть при x=a и x=b;

4)  Из всех этих значений выбираем наибольшее и наименьшее.

§8.4 Физический и геометрический смысл производной.

Если S(t) – закон движения материальной точки, то S’(t)=V(t) – закон ее скорости, а S’’(t)=V’(t)=a(t) – ускорение.

Угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x) равен значению ее производной при х равном абсциссе точки касания, то есть k=tg=f’(x0).

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке (x0,f(x0)):

y=f’(x0)(x-x0)+f(x0)

Глава 9. Функции нескольких переменных

Функция двух переменных: или

Полное приращение функции:

Дифференциал функции в точке:

- частные производные, вычисленные в точке

Градиент функции :

Производная по направлению, определяемому вектором , где - направляющие косинусы вектора :