Справочник по математике для специальностей инженерно-технического профиля (стр. 3 )

Частные производные функции нескольких переменных находятся по тем же правилам и формулам, что и для функции одной переменной, при этом все переменные кроме той, по которой производится дифференцирование, являются константами.

Глава 10. Интегральное исчисление.

§ 10.1. Неопределенный интеграл.

Первообразной функции на отрезке называется функция , такая, что:

Неопределенный интеграл: , где - первообразная функции, С – произвольная постоянная.

Основные свойства:

1. 

2.  , k – произвольная постоянная.

Замена переменной в неопределенном интеграле:

1. 

2.  ,

Частные случаи:

Таблица интегралов:

Некоторые тригонометрические формулы, применяемые при интегрировании:

, , ,

Разложение дроби на простейшие при интегрировании рациональных дробей:

, т. е. дробь правильная.

§ 10.2. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

- непрерывна, F – первообразная для .

Теорема Барроу:

Если непрерывна, то

Свойства определенного интеграла:

Теорема о среднем:

Если непрерывна на [a, b], то такое, что:

.

Замена переменных:

,

где - монотонна, непрерывно дифференцируема; ,

Интегрирование по частям:

§ 10.3. Некоторые приложения определенного интеграла.

Площадь криволинейной трапеции:

(- непрерывна, 0)

Площадь фигуры, ограниченной линиями:

φ

Площадь криволинейного сектора:

φ=β

α

φ=α

r=r(φ)

β

Объемы тел, полученных вращением криволинейной трапеции:

вокруг оси Оx:

,

вокруг оси Oy:

φ(y)

,

§ 10.4. Несобственный интеграл.

Если существует и конечен, то несобственный интеграл сходится, если этот предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходится.

Глава 11. Кратные интегралы.

§ 11.1. Двойной интеграл.

Сведение к повторному и изменение пределов интегрирования:

 

τ(y)

Некоторые приложения двойного интеграла

Площадь фигуры: F=

Объем цилиндроида:

Масса плоской фигуры: , где – плотность

Двойной интеграл в полярной системе координат

φ=β

, где:

φ=α

α

β

Сведение к повторному:

Площадь фигуры в полярных координатах:

§ 11.2. Тройной интеграл.

Сведение к повторному:

Некоторые приложения тройного интеграла

Объем тела:

Масса тела: , где - плотность тела.

§ 11.3. Криволинейный интеграл второго рода.

Изменение направления обхода по кривой:

Сведение криволинейного интеграла 2-го рода к определенному интегралу:

1.  Кривая АВ задана уравнением , где

2.  Кривая АВ задана параметрически: x=x(t), y=y(t)

Формула Грина:

, где:

Д – односвязная область, Г – граница области,

обход области совершается против часовой стрелки.

Приложение криволинейного интеграла

Работа переменной силы вдоль кривой АВ:

§ 11.4. Поверхностные интегралы.

Поверхностный интеграл 1-го рода

Сведение к двойному:

,

где поверхность S задана уравнением Z=z(z,y),

D – проекция поверхности S на плоскость xOy

Поверхностный интеграл 2-го рода

Сведение к двойному:

, где:

, , - направляющие косинусы нормали, соответствующей выбранной стороне поверхности S, Dyz, Dxy, Dxz – проекции поверхности S на соответствующие координатные плоскости. Знак перед двойным интегралом совпадает со знаком соответствующего косинуса нормали.

Формула Стокса:

L – контур, ограничивающий поверхность S. Обход контура согласован с выбором стороны поверхности по правилу Стокса.

Формула Стокса в символьной форме:

где , , - направляющие косинусы нормали, соответствующей выбранной стороне поверхности.

Формула Остроградского:

,

где S – внешняя сторона поверхности тела T, , , - направляющие косинусы нормали к поверхности S.

Глава 12. Дифференциальные уравнения.

§ 12.1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка.

или

Уравнение с разделяющимися переменными

Уравнение с разделенными переменными:

Общий интеграл:

Однородное уравнение

, если функции и - однородные, одной степени однородности.

Функция называется однородной n-ой степени, если .

Подстановка , приведет уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

Иначе однородное уравнение может быть записано в виде .

Подстановка , .

Линейное уравнение

Подстановка:

, , сводит уравнение к:

Функцию v=v(x) подберем из условия v’+P(x)v=0. Отсюда найдем v. Затем решим уравнение u’v=Q(x).

Общее решение:

§ 12.2. Дифференциальные уравнения высших порядков.

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Уравнение решается последовательным интегрированием.

Уравнение, не содержащее явно искомой функции y, т. е.

Подстановка приводит к дифференциальному уравнению первого порядка.

Уравнение, не содержащее явно независимой переменной y, т. е.

Подстановка приводит к дифференциальному уравнению первого порядка.

Линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Характеристическое уравнение: - его корни.

Общее решение:

1. :

2. :

3. : .

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения и некоторого частного решения Y неоднородного

Вид частного решения Y неоднородного уравнения для некоторых видов правой части:

а) если

б) если ,

в) если ,

а) если - не является корнем характеристического уравнения

б) если - корень характеристического уравнения.

а) если

б) если

в) если .

Неопределённые коэффициенты находим из условия, что Y – частное решение неоднородного уравнения.

Глава 13. Ряды.

§ 13.1. Числовые ряды.

Частная (частичная) сумма ряда:

Ряд сходится, если существует

Остаток ряда:

Гармонический ряд:

расходится при и сходится при

Геометрический ряд:

, , сходится при и его сумма

При геометрический ряд расходится.

Необходимый признак сходимости числовых рядов

Если сходится, то

Следствие:

Если , то ряд расходится.

Достаточные признаки сходимости для положительных рядов

1.  Признак сравнения:

Если даны , (1),

, (2) и , то:

из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1); из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

2.  Признак Даламбера:

Если , то:

при l<1 ряд сходится;

при l>1 ряд расходится;

при l=1 теорема ответа не даёт.

3.  Интегральный признак:

Пусть дан ряд , (), члены которого являются значением непрерывной функции при целых значениях аргумента x,

, , ,…

и пусть монотонно убывает на , неотрицательна. Тогда:

если сходится несобственный интеграл , то ряд сходится;

если несобственный интеграл расходится, то ряд расходится.

Знакочередующиеся ряды

Ряд , называется знакочередующимся.

Признак Лейбница:

Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают и , то ряд сходится.

§ 13.2. Степенные ряды.

,

где , ,…, - коэффициенты, x – переменная.

Радиус сходимости:

Интервал сходимости: .

Для ряда интервал сходимости .

Ряд Тейлора:

Ряд Маклорена:

Основные разложения в ряд Маклорена:

, ,

, ,

, ,

, .

Глава 14. Случайные события.

Классическое определение вероятности:

Вероятностью события называется отношения числа благоприятных исходов событию к общему числу равновозможных событий, образующих полную группу, т. е.

, при этом очевидно: .

События называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление другого.

События называются независимыми, если вероятность наступления одного из них не влияет на вероятность наступления другого.

Теоремы сложения и умножения вероятностей:

– для независимых событий и .

– для зависимых событий и .

– для несовместных событий и .

– для совместных событий и .

Формула полной вероятности: ,

где - полная группа событий.

Формула Бейеса: ,

где - полная группа событий.

Повторение испытаний

,

где - вероятность появления события А ровно k раз при n независимых испытаниях,

p – вероятность появления события А при каждом испытании;

q – вероятность не появления событии А при каждом испытании;

q=1-p, n!=1*2*3*…*n, 0!=1

Локальная теорема Лапласа

,

где - вероятность появления события А ровно k раз при n независимых испытаниях,

p – вероятность появления события А при каждом испытании;

.

Имеются таблицы значения функции , соответствующие положительным значениям t, причем = .

Интегральная теорема Лапласа

, где - вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А появится не менее раз и не более раз:

- функция Лапласа.

Имеется таблица значений функции Лапласа, причем

Наивероятнейшее число появления события А при n независимых испытаниях:

(n – число испытаний, p – вероятность появления события А при одном испытании).

Глава 15. Случайные величины.

§ 15.1. Дискретные случайные величины.

значения случайной величины

i=1,2..n;

Закон распределения:

X			…		…
Р			…		…

Математическое ожидание:

Свойства:

- постоянная

( и - независимые случайные величины)

Дисперсия:

Свойства:

( и - независимые случайные величины)

Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х:

Биномиальный закон распределения

Закон распределения Х – числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (схема Бернулли).

Математическое ожидание и дисперсия биноминального распределении равны:

M(X)=np, D(x)=npq

Закон распределения Пуассона

Если число испытаний n велико, а вероятность появления события А в каждом испытании мала, то:

,

где вероятность появления события А ровно k раз в n испытаниях, .

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, равны:

§ 15.2. Непрерывные случайные величины.

Функция распределения:

F(x)=P(X<x)

Свойства:

1.

2.

3.

4.

Плотность вероятностей (дифференциальная функция):

f(x)=F’(x),

где F(х) – функция распределения.

Свойства:

Математическое ожидание:

;

Если возможные значения Х принадлежит [a, b], то

Дисперсия:

Если возможные значения Х принадлежат [a, b], то:

Нормальное распределение (Распределение Гаусса)

; ,

Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины:

,

где - функция Лапласа.

Вероятность заданного отклонения S:

Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина Х распределена равномерно на [a, b], если её плотность равна:

, , ;

Показательное распределение

- плотность распределения вероятности;

- функция распределения.

; ; ;

Глава 16. Математическая статистика.

Для изучения количественного (дискретного или непрерывного) признака Х из генеральной совокупности извлечена выборка объемом n. Значение называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант вариационного ряда и соответствующих им частот или относительных частот , .

; .

Мода – наиболее часто встречающийся вариант (с наибольшей частотой), медиана – такое значение признака, которое делит всю статистическую совокупность, представленную в виде вариационного ряда, на две равные по числу вариант части. Статистическое распределение выборки можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (относительных частот).

Эмпирическая функция распределения (функция распределения выборки):

, где - число вариант, меньших х; n – объем выборки.

Полигон и гистограмма

Полигон частот – ломаная, отрезки которой соединяют точки , где - варианты выборки, - частоты. Полигон относительных частот – ломаная, соединяющая точки , где - относительные частоты.

Гистограмма частот – ступенчатая фигура из прямоугольников с основаниями длинной и высотой ;

Гистограмма относительных частот состоит из прямоугольников высотой .

гистограмма частот гистограмма относительных частот

 

Статистические оценки параметров распределения

- Статистическая оценка теоретического (неизвестного) параметра . Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. Несмещенной называют статистическую оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки, т. е. . Если , то оценка называется смещенной.

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки) имеет наименьшую возможную дисперсию . Состоятельной называют статистическую оценку, которая при сходится к оцениваемому параметру:

вер

Генеральная средняя:

, если различны;

, если имеет частоту , …, - частоту ;

- объем генеральной совокупности.

Выборочная средняя:

, если - различны;

или

,

если имеет частоту , … , - частоту

- объем выборки, - несмещенная оценка .

Выборочная дисперсия:

Dв= или Dв= ,

Исправленная выборочная дисперсия:

Степень связи между двумя случайными величинами по серии из испытаний над каждой оценивают по коэффициенту корреляции:

,

где , .