Министерство образования и науки Российской Федерации
ГОУ ВПО Костромской государственный технологический университет
Кафедра высшей математики
Справочник
по математике для специальностей инженерно-технического профиля
Кострома
2009
Глава 1. Основные числовые множества.........................................................3
Глава 2. Элементы теории множеств и математической логики...................3
Глава 3. Элементы линейной алгебры..............................................................5
Глава 4. Алгебра многочленов...........................................................................7
Глава 5. Векторная алгебра................................................................................8
Глава 6. Аналитическая геометрия..................................................................11
Глава 7. Комплексные числа............................................................................18
Глава 8. Дифференциальное исчисление........................................................20
Глава 9. Функции нескольких переменных....................................................24
Глава 10. Интегральное исчисление................................................................25
Глава 11. Кратные интегралы...........................................................................28
Глава 12. Дифференциальные уравнения........................................................31
Глава 13. Ряды....................................................................................................34
Глава 14. Случайные события..........................................................................36
Глава 15. Случайные величины........................................................................38
Глава 16. Математическая статистика.............................................................41
Глава 1. Основные числовые множества.
N=
- множество натуральных чисел.
Z=
- множество целых чисел.
Q=
- множество рациональных чисел.
Выражаются или конечными десятичными дробями, или бесконечными, но обязательно периодическими:
¾=0,75 1/3=0,(3)
I=
- множество иррациональных чисел.
Выражаются только бесконечными непериодическими десятичными дробями и поэтому изображаются буквами или специальными символами.
R=
– множество действительных или вещественных чисел. Геометрически изображаются точками числовой прямой.
С=
– множество комплексных чисел. Геометрически изображаются точками M(x, y) плоскости Oxy.
Замечание: На множестве натуральных чисел N всегда определено только сложение и умножение; на множестве целых чисел Z – сложение, вычитание и умножение; на множествах Q, R и C – все арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление (без нуля).
Глава 2. Элементы теории множеств и математической логики.
Если каждому элементу x из множества X некоторым способом поставлен в соответствие один элемент y из множества Y, то говорят, что задано отображение множества X во множестве Y. Записывают:
или y=f(x)
X – область определения или прообраз. 
Y – множество значений или образ.
Если X и Y числовые множества, то отображение называется функцией, а множество точек плоскости (x, f(x)) – графиком действительной функции действительного аргумента. Преобразование графиков может быть представлено схематически:
Алгебра, образованная множеством B=
вместе со всеми возможными операциями на нем, называется алгеброй логики. Функции алгебры логики называются бинарными или булевыми функциями. Основными функциями одной и двух переменных являются: отрицание (
); конъюнкция или логическое умножение (
; дизъюнкция или логическое сложение (
); импликация или логическое следование (
); эквивалентность (
).
Приведем таблицу их значений:
X1 | X2 |
|
| X1 | X1 | X1~X2 |
0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1
1
X2Основные равносильности:
; 
= &
= 0
= 1
Пример:
|
|
Операции над множествами:
Объединение Пересечение Разность
C=A
B C= A
C=A
B
C={
или 
} C={и } C={и 
}
Мерой плоскостного множества является площадь, трехмерного – объем, а линейного – длина.
«Эпсилон-окрестностью» точки а одномерного множества называется открытый интервал (а-
;а+), обязательно симметричный относительно точки а. Если точка а
, то 
-окрестностью является внутренняя часть круга с центром в точке а и радиусом , в 
- внутренняя часть сферы радиусом с центром в точке а.
Глава 3. Элементы линейной алгебры.
§3.1 Определители.
Определение: Матрицей называется таблица чисел, в которой m строк и n столбцов (m
n):
=
– элементы матрицы, I – номер строки, j – номер столбца.
Только для квадратных матриц (m=n) введено понятие определителя.
Теорема: Определитель матрицы nn или определитель n-го порядка – это число, равное сумме произведений элементов какого-либо столбца ( строки) на их алгебраические дополнения. Например, для определителя 4-го порядка разложение по первой строке имеет вид:
=a11
A11+ a12 A12+ a13 A13+ a14 A14
где Aij - алгебраическое дополнение к элементу aij:
Aij = (-1)i+jMij
Определение: Минором Mij элемента aij называется определитель, получаемый из данного после вычеркивания i-той строки и j-того столбца.
В частных случаях:
=
=
- 
+ 
=
Или схематический (метод треугольников):
§3.2 Матрицы и линейные операции над ними.
Матрицу любого размера можно умножить на число, при этом каждый элемент матрицы умножается на это число. Складывать и вычитать можно матрицы только одинакового размера.
Если число столбцов первой матрицы равно числу строк во второй матрице, то такие матрицы можно перемножить, причем
,
где каждый элемент cij матрицы 
равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы 
на соответствующие элементы j-того столбца матрицы 
:
cij=
i=
j=
1,c2
справедливо:
Глава 4. Алгебра многочленов.
Функция вида:
f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn ,где ai, i=
заданные числа, n
N называется многочленом. Значения аргумента x , при которых f(x)=0 – корни многочлена. С геометрической точки зрения они являются абсциссами точек пересечения графика функции y=f(x) c осью Ox. Если f(x) – многочлен высокой степени (n
3), то корни можно локализовать графически. Например, если f(x)=x3-x-1, то уравнение x3-x-1=0 представляем в виде: x3=x+1
Искомый корень - абсцисса точки пересечения графиков функции 
и 
.
На множестве комплексных чисел многочлен n-ой степени с учетом кратности имеет n корней, на множестве действительных чисел – не более, чем n.
Например:
(x2-1)(x+2)(x2+1)=0
1)x2-1=0 2) x+2=0 3) x2+1=0
x1=1, x2=-1 x3=-2 x2=-1
x4=i, x5=-i
Многочлен (x2-1)(x+2)(x2+1) имеет 3 корня на множестве действительных чисел и 5 корней на множестве комплексных чисел. Если уравнение F(x)=0 имеет корень при x=a, то уравнение F(
)=0 так же имеет корень при 
(x)=a.
Глава 5. Векторы.
Линейные операции над векторами:
Сумма векторов:
Правило треугольника Правило параллелограмма
Разность 
Координатные формулы:
Пусть 
- взаимно ортогональные единичные векторы, имеющие направления координатных осей или ортонормированный базис.
ax, ay, az- координаты(-проекции) вектора 
.
bx, by, bz - координаты(-проекции) вектора 
.
= ax
+ ay
+ az
- разложение вектора по координатному базису
или 
( ax, ay, az)
||=
- длина вектора (модуль).
Если 
;
– единичный вектор направления , его координаты называются направляющими косинусами:
cos
=
; cos
=
; cos
=
=(
(
= 
=(
,
Если A(x1,y1,z1) – начало вектора, В(x2,y2,z2) – конец вектора, то 
Скалярное произведение векторов 
и 
находится по формулам:
=
=
В пространстве Rn формула для скалярного произведения принимает вид:
=
, где ( a1 ,a2,…, an) 
( b1 ,b2,…, bn)
Угол между векторами:
=
=
Условие коллинеарности векторов:
=
=
Условие перпендикулярности векторов:
Если 
, то 
или 
Проекция вектора на направление, задаваемое вектором 
:
пр
=
или 
=
Векторное произведение:
Векторное произведение векторов и есть вектор 
=
, для которого:
1) 
2) 
3) Тройка ,
,
- правая.
Свойства векторного произведения:
1)=-
2)
3)(
4) 
=
- численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и , приведенных к одному началу, то есть Sпар=
Векторное произведение в координатах:
=
=(
-
+(
-
)
+(
-
)
Базис пространства:
Базис – любая упорядоченная система 
,
,…,
из n линейнонезависимых векторов n-мерного пространства.
Для того, чтобы n-векторов n-мерного пространства были линейно независимы необходимо и достаточно, чтобы определитель, составленный из координат этих векторов, был отличен от нуля.
Любой вектор 
n-мерного пространства единственным образом разлагается по векторам базиса:
=
+
+
+…+
Числа 
,
,…,
называются координатами вектора в базисе ,,…,. Записывают: =(,,…,).
Для нахождения координат, например, вектора =(a1,a2) в базисе 
и 
, где =(p1,p2) и =(q1,q2), необходимо решить систему:
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 |
