Раздел 1. Элементы абстрактной алгебры
Тема 1.1. Множества. Операции над множествами
Понятие о множестве. Подмножество. Равенство множеств. Способы задания множеств. Операции над множествами. Свойства операций над множествами. Универсальное множество. Дополнение множества. Свойства дополнения множества.
Тема 1.2. Бинарные отношения. Виды бинарных отношений
Бинарное отношение между элементами двух множеств. Бинарное отношение на множестве. Операции над бинарными отношениями и их свойства. Функции, как бинарное отношение специального вида. Отношение эквивалентности. Отношение порядка.
Тема 1.3. Алгебраические операции. Понятие алгебры, алгебраической системы.
Понятие алгебраической операции. Виды бинарных операций. Регулярные, нейтральные и симметризуемые элементы. Понятие алгебры. Гомоморфизмы алгебр с одной бинарной операцией. Понятие алгебраической системы.
Тема 1.4. Понятие группы. Смежные классы по подгруппе. Понятие кольца. Факторкольцо
Понятие группы. Простейшие свойства группы. Подгруппа. Признак подгруппы. Смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа. Понятие кольца. Характеристика кольца. Идеалы кольца. Факторкольцо.
Тема 1.5. Понятие поля. Основные свойства поля. Упорядоченное поле: определение и свойства. Конечные поля
Понятие поля, как коммутативного кольца, в котором каждый элемент отличный от нулевого обратим. Основные свойства поля. Понятие упорядоченного поля. Свойства упорядоченных полей. Построение конечных полей.
Раздел 2. Элементы компьютерной алгебры
Тема 2.1. Сложность алгоритмов
Функция времени вычисления, ассоциированная с данным алгоритмом. Символ O(n) и его свойства. Теорема о мажоранте полинома. Теорема о мажоранте логарифмической функции. Определение количества базисных операций, необходимых для сложения и умножения двух матриц. Сложность алгоритмов нахождения значений многочлена: при непосредственном вычислении и при вычислении по схеме Горнера.
Тема 2.2. Позиционные системы счисления. Представление данных в компьютере. СКА Mathematica
Понятие о непозиционных и позиционных системах счисления. Смешанные системы счисления. Арифметические операции в позиционных системах счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Представление натуральных, целых чисел в компьютере. Представление рациональных чисел. Проблемы представления действительных чисел, алгебраических чисел. Основы работы в СКА Mathematica.
Тема 2.3. Модулярная арифметика
Китайская теорема об остатках. Системы счисления, определенные вектором с попарно взаимно простыми целыми положительными компонентами. Модулярная арифметика. Проблема сравнения элементов в модулярной арифметике и ее решение. Смешанная система счисления Кнута.
Тема 2.4. Элементы теории делимости в коммутативном кольце. Алгебра многочленов
Свойства делимости элементов коммутативного кольца. Факториальные кольца. Кольца многочленов. Свойства многочленов. Вычисления в кольцах многочленах от одной и нескольких переменных.
5. Образовательные технологии
При проведении аудиторных занятий и организации самостоятельной работы студентов по дисциплине «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры» используются как традиционные, так и нетрадиционные образовательные технологии.
Технология традиционного обучения предусматривает такие методы и формы изучения материала как лекция, практические занятия:
· информационная лекция:
2.4. Основы работы в системе компьютерной алгебры Mathematica.
· проблемная лекция
1.4. Понятие группы. Смежные классы по подгруппе. Понятие кольца. Факторкольцо
· лекция-визуализация
2.4. Позиционные системы счисления. Представление данных в компьютере.
Практические занятия направлены на формирование у студентов умений и навыков решения задач, в том числе прикладных и исследовательских задач.
При изучении дисциплины «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры» используются активные и интерактивные технологии обучения, такие как:
· технология сотрудничества
работа в малых группах
1.1. Множества. Операции над множествами.
2.2. Позиционные системы счисления.
коллективная мыслительная деятельность:
2.1. Сложность алгоритмов.
· медиатехнология
подготовка и демонстрация презентаций
2.2. Система компьютерной алгебры Mathematica.
· кейс-технология
проблемный метод
1.5. Упорядоченное поле: определение свойства. Конечные поля.
Нетрадиционные учебные занятия проводятся в форме тренинга - обучение сконцентрировано на формирование и совершенствование умений и навыков, в форме соревнования (заключительное практическое занятие по разделу).
Занятия, проводимые в интерактивной форме, в том числе с использованием интерактивных технологий составляют 30 % от общего количества аудиторных занятий.
Самостоятельная работа студентов включает работу под руководством преподавателя (консультации, коллоквиумы) и индивидуальную работу студента, выполняемую, в том числе, в компьютерном классе с выходом в сеть «Интернет» на физико-математическом факультете университета.
При реализации образовательных технологий используются следующие виды самостоятельной работы:
· работа с теоретическим материалом;
· решение стандартных задач и упражнений по образцу;
· решение вариативных задач и упражнений;
· поиск информации в сети «Интернет» в дополнительной и справочной литературе;
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры»
Самостоятельная работа студента
Неделя | № темы | Вид самостоятельной работы | Рекомендуемая | Часы |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
1. | Элементы абстрактной алгебры | 30 | ||
1-2 | 1.1. | Подготовка к аудиторному занятию: · работа с теоретическим материалом; изучение свойств операций над множествами, способы задания множеств, о доказательстве утверждений в математике, дополнение множества и его свойства. · решение задач и упражнений; стандарт: установление принадлежности объекта данному множеству, операции над множествами и их свойства, доказательство теоретико-множественных утверждений. вариативные: задание конечных множеств описанием свойств элементов. · подготовка к тестированию. | осн.: 1, 2 допол.: 1,2 ДЛ[4] №: 1.3.3.; 1.4.9.;1.4.17. | 6 |
3-4 | 1.2. | Подготовка к аудиторному занятию: · работа с теоретическим материалом; бинарные отношения, как подмножества прямого произведения; операции над бинарными отношениями, понятие функции, виды функций, отношение эквивалентности, фактормножество; связь классов эквивалентности и разбиений множества; отношение порядка, вполне упорядоченные множества, принцип индукции, метод математической индукции. · решение задач и упражнений; стандарт: установление вида бинарного отношения, вида функции, применение метода математической индукции к доказательству утверждений. вариативные: построение функции, обратной к данной. · подготовка к собеседованию | осн.: 1, 2, 4 допол.:1, 2 ДЛ[4] №: 1.5.17.; 1.6.6.;1.7.1.; 2.5.16.. | 6 |
5-6 | 1.3. | Подготовка к аудиторному занятию: · работа с теоретическим материалом; понятие алгебраической операции; виды бинарных операций, формы записи бинарных операций: префиксная, инфиксная, постфиксная, переход от одной формы записи к другой; нейтральные и симметризуемые относительно бинарной операции элементы; понятие алгебры, гомоморфизм и изоморфизм алгебр | осн.: 1, 2, 4 допол.: 1,2,8 | 6 |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
· решение задач и упражнений; стандарт: установление вида бинарных операций, алгоритмы перехода от одной формы записи операций к другой, изоморфизмы однотипных алгебр с одной бинарной операцией. вариативные: решений задач на сохранение свойств относительно операций в изоморфных алгебрах. · подготовка к собеседованию | ОЛ[5] №: 5 ДЛ[9] 5.5. Упр. | |||
7-8 | 1.4. | Подготовка к аудиторному занятию: · работа с теоретическим материалом; понятие группы, простейшие свойства группы; подгруппы, признак подгруппы; смежные классы по подгруппе, теорема Лагранжа. Кольцо, идеалы кольца, факторкольцо, область целостности, характеристика кольца. решение задач и упражнений; стандарт: установление вида данной алгебры, нахождение смежных классов группы по данной подгруппе, перечисление возможных порядков подгрупп конечной группы. Кольцо: область целостности и кольца с делителями нуля; характеристика кольца; конечные кольца вариативные: построение факторкольца данного кольца по данному идеалу. · подготовка к контрольной работе. | осн.: 1, 2,4 дополн. 2,8 ОЛ[5] №: 5504,5616, 6301. | 6 |
9-10 | 1.5. | Подготовка к аудиторному занятию: · работа с теоретическим материалом; понятие поля, простейшие свойства поля; подполе, числовые поля, упорядоченное поле, как алгебраическая система, свойства упорядоченного поля. решение задач и упражнений; стандарт: установление вида данной алгебры, доказательство, что данная алгебра является полем; решение уравнений и систем уравнений в различных полях. вариативные; построение конечного поля как факторкольца по простому идеалу. · подготовка к контрольной работе | осн.: 1, 2,3 дополн. 3,8. ДЛ[4] №: 3.1.1.-3.1.6; 3.2.1. ОЛ[5] №: 6601,6618- 6620. | 6 |
2. | Элементы компьютерной алгебры | 24 | ||
11-12 | 2.1. | Подготовка к аудиторному занятию: · работа с теоретическим материалом; временная сложность данного алгоритма. Символ O(n) и его свойства. мажоранта полинома. логарифмической функции. Определение количества базисных операций, необходимых для сложения и умножения | осн.: 6 допол.:5, 9. | 6 |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
двух матриц, сравнение алгоритмов нахождения значений многочлена: при непосредственном вычислении и при вычислении по схеме Горнера.· решение задач и упражнений; стандарт: сравнение двух функций, подсчет количества действий арифметических операций. вариативные: алгоритмы полиномиальной и экспоненциальной сложности. · подготовка к собеседованию | ДЛ[9] 5.3. Упр | |||
13-14 | 2.2. | Подготовка к аудиторному занятию: · работа с теоретическим материалом; позиционные системы счисления, смешанные системы счисления, алгоритмы арифметических операций в позиционных системах счисления, перевод чисел из одной системы счисления в другую; проблемы представления данных в компьютере. Система компьютерной алгебры Mathematica. решение задач и упражнений; стандарт: арифметические операции над числами в различных системах счисления, переход от одной системы счисления к другой. Основы работы СКА Mathematica. · подготовка к тестированию | осн.: 3,4,7. допол 1,6. ОЛ[4] №: 9.1.16-9.1.20.; | 6 |
15-16 | 2.3 | Подготовка к аудиторному занятию: · работа с теоретическим материалом; изучение свойств сравнений в кольце целых чисел, китайская теорема об остатках и ее применение в абстрактной алгебре, модулярная арифметика, смешанная система счисления Кнута · решение задач и упражнений; арифметические операции в модулярной арифметике, сравнение целых чисел с использованием смешанной системы счисления. · подготовка к тестированию | осн.: 4, 6 допол.: 1,3,10 ДЛ[9] 10.3. Упр | 6 |
17-18 | 2.4. | Подготовка к аудиторному занятию: · работа с теоретическим материалом; изучение свойств делимости элементов коммутативного кольца, факториальные кольца; построение кольца многочленов от одной и нескольких переменных, операции над многочленами и их сложность, разложение многочлена на множители, свободные от квадратов. быстрое преобразование Фурье. · решение задач и упражнений; стандарт: классификация элементов коммутативного кольца, кольца главных идеалов | осн.:, 3, 4 допол.:1, 7,11. [5] №: , ДЛ[11] Глава 30. Упр. | 6 |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
операции над многочленами, схема Горнера, алгоритм отделения кратных множителей, вариативные: быстрое преобразование Фурье · подготовка к зачету |
Вопросы и задания для контроля работы студентов.
Вопросы к собеседованию
Собеседование №1
1. Понятие множества. Способы задания множеств. Примеры.
2. Операции над множествами и их свойства.
3. Прямое произведение множеств. Понятие бинарного отношения.
4. Понятие функции. Виды функций. Примеры.
5. Отношение эквивалентности. Фактормножество. Примеры.
6. Связь отношений эквивалентности и разбиений.
7. Отношение порядка. Примеры.
8. Принцип индукции. Метод математической индукции.
9. Виды бинарных операций. Формы записи бинарных операций.
10. Регулярные, нейтральные и симметризуемые элементы.
Собеседование №2
1. Алгоритмы перехода от одной формы записи бинарной операции к другой (от постфиксной к инфиксной и обратно.)
2. Понятие алгебры, алгебраической системы. Примеры.
3. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр.
4. Понятие группы, подгруппы. Примеры.
5. Отношение сравнения по подгруппе. Теорема Лагранжа.
6. Понятие кольца, области целостности. Примеры.
7. Идеалы кольца. Факторкольцо. Примеры.
8. Понятие поля. Простейшие свойства поля.
9. Конечные поля. Примеры.
10. Упорядоченные поля. Свойства.
Демонстрационный вариант контрольной работы
1. Пусть А = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} и 
. Определим на множестве A отношение эквивалентности 
Постройте все классы эквивалентности.
2. Замените постфиксное выражение инфиксным: 
3. На множестве 
определена операция
Можно ли определить унарную операцию -1 так, чтобы алгебра 
, была группой.
4. Решить уравнение в поле 
5. Оцените количество операций (сложений, умножений, переносов, сдвигов), требующихся дл умножения столбиком двузначного числа на трехзначное.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
«Элементы абстрактной и компьютерной алгебры»
Основная литература
1. Кострикин в алгебру. В 3-х частях. Ч. I. Основы алгебры. – М.: Наука. 2009.
2. В.. Михалёв алгебры. Часть 1. М.: 2010.
3. Курош высшей алгебры. М.: 2007.
4. Винберг алгебры. М.: МЦНМО. 2011.
5. Сборник задач по алгебре. Под редакцией . М.: 2009.
6. Абрамов о сложности алгоритмов. М.: МЦНМО. 2009.
7. Mathematica для студентов. СПб.: БХВ-Петербург, 2007.
Дополнительная литература
1. , Поднебесова абстрактной и компьютерной алгебры. – М.: Издательский центр «Академия»; 2004.
2. Куликов и теория чисел.– М.: Высшая школа, 1979.
3. и др. Компьютерная алгебра: символьные и алгебраические вычисления. – М.: Мир, 1979.
4. , , Фомин задач по алгебре и теории чисел.– М.: Просвещение, 1993.
5. Основы компьютерной алгебры с приложениями. – М.: Мир, 1994.
6. Воробьев в систему «Mathematica». – М.: Финансы и статистика, 1998.
7. Дьяконов компьютерной алгебры. Издательство ДМК-Пресс, 2009.
8. Компьютерная математика. – М.: Наука, 1990.
9. Дискретная математика и комбинаторика. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2004.
10. Искусство программирования на ЭВМ. – Т.2. М.: Мир, 1977.
11. Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, К. Штайн. Алгоритмы: построение и анализ. М.: Издательский дом «Вильямс», 2005.
Программное обеспечение и Интернет-ресурсы
№ | Название | Электронный адрес | Содержание | ||
1. | Exponenta.ru | www. ***** |
| ||
2. | ***** | www. ***** | Математический сайт для школьников, студентов, учителей и всех, кто интересуется математикой. | ||
3. | Математика | www. ***** | Учебный материал по различным разделам математики. | ||
4. | Математика для студентов и прочее. | www. xplusy. ***** | Содержит большое количество видеолекций для школьников, абитуриентов и студентов по математике и физике. | ||
5. | Российское образование. | www. ***** | Федеральный образовательный портал: учреждения, программы, стандарты, ВУЗы, тесты ЕГЭ. |
8. Материально-техническое обеспечение
дисциплины «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры»
Для освоения данной дисциплины необходимы:
– мультимедийные средства обучения (компьютер и проектор, ресурсы Интернета).
Рабочая программа дисциплины «Элементы абстрактной и компьютерной алгебры» составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций примерной ООП ВПО по направлению подготовки 050100 «Педагогическое образование» и профилю подготовки «Информатика».
Программу составили:
1. , старший преподаватель кафедры алгебры
(Ф. И.О., должность, подпись)
Настоящая программа не может быть воспроизведена ни в какой форме без предварительного письменного разрешения кафедры-разработчика программы.
Программа одобрена на заседании кафедры алгебры
Протокол № ___ от «____» ______________ 2011 года
Зав. кафедрой ___________________
(подпись, Ф. И.О.)
Программа одобрена учебно-методическим советом физико-математического факультета
Протокол № ___ от «____» ______________ 2011 года
Председатель учебно-методического совета
физико-математического факультета _______________________
(подпись) (Ф. И.О.)
Программа одобрена учебно-методическим управлением университета
«_____» _____________ 2011 года
Начальник учебно-методического
управления университета ___________________________
(подпись)
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 |
