Треугольники (стр. 1 )

Треугольники

Практикум

по планиметрии

для 10 класса Михеев 1

1. На отрезке AB точка C расположена так, что . Найдите отношение .

2. На отрезке AB точка C расположена так, что . Найдите отношение .

3. На отрезке AB точки C и D расположены так, что точка C лежит между точками A и D. Известно, что ,. Найдите отношение .

Свойство. Пусть параллельные прямые a, b, c, d, и т. д. пересекают одну сторону заданного угла в точках A1, B1, C1, D1, и т. д., вторую сторону угла соответственно в точках A2, B2, C2, D2, и т. д. (рис. 5). Тогда , и т. д.

4. В треугольнике ABC точка D лежит на стороне AC, а точки E на AB, H на BC, F и G на BD расположены так, что , , EF и GH параллельны AC. Найдите отношение .

5. В треугольнике ABC точки D на стороне AC и E на стороне BC расположены так, что . Отрезки BD и AE пересекаются в точке P. Найдите отношение

6. В треугольнике ABC точка M середина стороны AB, а точка K расположена на продолжении стороны AC так, что . Прямая MK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение .

7. В треугольнике ABC точки M на стороне AB и N на стороне BC расположены так, что , . Отрезки AN и CM пересекаются в точке P, а прямая BP пересекает сторону AC в точке K. Найдите отношение .

8. В треугольнике ABC точки M на стороне AB и K на стороне BC расположены так, что , . Отрезки AK и CM пересекаются в точке P. Найдите площадь четырехугольника PMBK, если площадь треугольника ABC равна 12.

9. В трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания BC. На боковых сторонах AB и CD поставлены точки K и L соответственно так, что . Найдите отношение площадей AKLD и KBCL.

10. На продолжениях сторон AB, BC, CD, DA четырехугольника ABCD соответственно строятся точки M, N, K, L так, что , , , . Доказать, что площадь четырехугольника MNKL в пять раз больше площади четырехугольника ABCD.

11. Медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении считая от вершины.

________________________________________________________________

Михеев 2

12. В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота BH к гипотенузе AC. Известно, что площади треугольников ABH и BCH равны соответственно 8 и 18. Найдите AC.

13. В прямоугольнике ABCD из вершин A и C проведены перпендикуляры AM и CN к диагонали BD. Известно, что . Найдите площадь прямоугольника.

14. В равнобедренном остроугольном треугольнике ABC с основанием AC высоты AM и BH пересекаются в точке F. Известно, что , . Найдите площадь треугольника ABC.

15. В остроугольном треугольнике ABC медианы BM, CN и высота AH равны соответственно 4, 5 и 6. Найдите площадь треугольника ABC.

16. Площадь остроугольного треугольника ABC равна 12, его медианы AN и CM имеют длину 6 и соответственно. Найдите стороны треугольника ABC.

17. Выведите формулу, выражающую длину медианы AM треугольника ABC через длины сторон треугольника: .

18. В треугольнике ABC точка K – середина медианы BM. Известно, что , , . Найдите CK.

19. В треугольнике ABC проведена медиана , причем , . Найдите сторону AB.

20. Если в треугольнике ABC отрезок BL – биссектриса, то

21. В прямоугольном треугольнике ABC с катетами , проведена биссектриса BL. Найдите AL и LC.

22. Если в треугольнике ABC с неравными сторонами AB и BC биссектриса внешнего угла при вершине B пересекает прямую AC в точке L, то

23. В треугольнике ABC стороны , , . Найдите длину биссектрисы угла ABC.

24. В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AB биссектриса AN пересекает медиану BM в точке K. Известно, что , . Найдите AB.

25. Через вершину B треугольника ABC проведена прямая, параллельная биссектрисе угла C и пересекающая продолжение стороны AC в точке D. Пусть E – середина отрезка BD. Определить, в каком отношении прямая AE делит площадь треугольника ABC, если известно, что , .

26. В треугольнике ABC биссектриса AL и медиана BM пересекаются в точке K. Известно, что площади треугольника ABK и четырехугольника CLKM равны 12 и 7 соответственно. Найдите площадь треугольника ABC.

-

МФТИ 10-11

27. Найдите основание равнобедренного треугольника, если его боковая сторона равна а периметр

28. В равнобедренном треугольнике проведена высота Найдите ее длину, если периметр а периметр

29. В равнобедренном треугольнике основание относится к боковой стороне как Найдите длину основания, если периметр равен

30. Найдите высоты равнобедренного треугольника с основанием и боковой стороной

31. В равнобедренном треугольнике, с боковой стороной равной медиана боковой стороны равна Найдите основание треугольника.

32. Длина одного из катетов больше длины другого катета на но меньше гипотенузы на Найдите длину гипотенузы.

33. В прямоугольном треугольнике один из углов равен а сумма гипотенузы и меньшего катета равна Найдите длины гипотенузы и катетов.

34. В прямоугольном треугольнике длины медиан, проведенных к катетам, равны и Найдите длину гипотенузы.

35. На гипотенузе прямоугольного треугольника взята точка, равноудаленная от катетов. Эта точка делит гипотенузу на отрезки и Найдите длины катетов.

36. В прямоугольном треугольнике один из катетов вдвое больше другого, а длина гипотенузы равна Найдите длину биссектрисы прямого угла.

37. В равнобедренном треугольнике основание равно а высота, опущенная на основание, равна Найдите длину высоты, опущенной на боковую сторону.

38. Основание равнобедренного треугольника равно а медиана боковой стороны Найдите длину боковой стороны.

39. Площадь равнобедренного треугольника равна Найдите длину если

40. Найдите косинусы углов треугольника если

41.Найдите сторону треугольника если

42. В равнобедренном треугольнике на боковой стороне взяты точки так, что Найдите периметр треугольника если

43. В равнобедренном треугольнике основание равно а синус угла при основании Найдите площадь треугольника.

44. Найдите длину сторону если

45. В треугольнике площадь равна Найдите сторону если угол острый.

46. В треугольнике Найдите длину медианы

47. Длина медианы треугольника равна сторона угол Найдите площадь треугольника.

48. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна катет На гипотенузе взята точка так, что Найдите

49. В треугольнике На стороне взята точка так, что Найдите

50. В треугольнике На стороне взята точка так, что Найдите

51. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника с острым углом если известно, что биссектриса прямого угла равна

52. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответсвенно и Найдите биссектрису угла при основании.

53. В треугольнике проведена медиана и высота Найдите и площадь треугольника если известно, что

54. В равнобедренном треугольнике основание равно а угол при основании равен Найдите длину медианы, проведенной к боковой стороне.

55. В треугольнике биссектриса отрого угла Найдите если расстояние от до сторон равно

56. В треугольнике Найдите угол

Методический семинар "Медианы и биссектрисы"

57. Две стороны треугольника равны и Медианы, проведенные к этим сторонам перпендикулярны. Найдите площадь треугольника.

58. Длина одной из сторон треугольника равна а длины медиан, проведенных к двум другим сторонам, равны Найдите площадь треугольника.

59. В треугольнике медианы пересекаются в точке Найдите площадь треугольника

60. Найдите площадь треугольника, медианы которого равны

61. Длины двух сторон треугольника равны Длина медианы, проведенной к третьей стороне, равна Найдите высоту треугольника, проведенную, к стороне длиной

62. В треугольнике медиана перпендикулярна медиане Найдите площадь треугольника если

63. Основание равнобедренного треугольника равно Медианы, проведенные к боковым сторонам взаимно перпендикулярны. Найдите площадь треугольника.

64. Две медианы равнобедренного треугольника взаимно перпендикулярны. Найдите площадь треугольника, если боковая сторона равна

65. В треугольнике медианы перпендикулярны. Чему равен квадрат третьей стороны, если

66. Сторона треугольника равна а медианы, проведенные к двум другим сторонам, равны Найдите площадь треугольника.

67. Стороны треугольника равны Найдите площади треугольников, на который разбивают треугольник его медианы.

68. Площадь треугольника равна Из вершины тупого угла проведена медиана Найдите сторону если

69. Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны а медиана, проведенная к третьей стороне, равна

70. В равнобедренном прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к катету, равна Найдите площадь треугольника.

71. В равнобедренном треугольнике боковая сторна равна а медиана к боковой стороне равна Найдите основание треугольника.

72. Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны а медиана, проведенная к третьей стороне, равна

73. Основание равнобедренного треугольника равно а медиана, проведенная к боковой стороне, равна Найдите боковую сторону треугольника.

74. В равнобедренном треугольнике основание равно а угол при основании равен Найдите длину медианы, проведенной к боковой стороне.

75. Медианы треугольника равны Докажите, что треугольник прямоугольный.

76. В равнобедренном треугольнике основание середина Найдите площадь треугольника

77. В трапеции углы при основании равны средняя линия равна а длина отрезка, соединяющего середины оснований трапеции, равна Найдите длины оснований и площадь трапеции.

78. Биссектриса внутреннего угла треугольника равна а длина биссктирисы смежного с ним угла равна Найдите площадь треугольника

79. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки и Найдите площадь треугольника.

80. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса острого угла. Отрезок, соединяющий ее основание с точкой пересечения медиан треугольника, перпендикулярен катету. Найдите острые углы треугольника.

81. В треугольнике высота, биссектриса. Из точки проведен перпендикуляр на Найдите длину этого перпендикуляра, если

82. В треугольнике из вершины проведены высота и биссектриса Найдите площадь треугольника если

83. В треугольнике биссектриса Найдите площадь треугольника если

84. В треугольнике Найдите отношение, в котором точка пересечения биссектрис делит биссектрису угла этого треугольника.

85. Основание равнобедренного треугольника равно а боковая сторона равна Найдите длину отрезка, соединяющего точки пересечения биссектрис углов при основании с боковыми сторонами треугольника.

НГУ

86. В остроугольном треугольнике АВС медианы ВМ, СК, высота АР равны соответственно 4, 5, 6. Найдите площадь треугольника АВС. (ЕН 89)

87. При каком значении высоты прямоугольная трапеция с острым углом и периметром 8 имеет наибольшую площадь? (Ф87)

88. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 4. Перпендикуляр опущенный из вершины на сторону делит среднюю линию трапеции пополам. Найдите площадь трапеции. (М89)

89. Площадь тупоугольного треугольника равна его медианы пересекаются под углом , Найдите стороны треугольника (М88)

90. Найдите площадь треугольника если известно, что (М86)

91. В трапеции с основаниями биссектриса угла проходит через середину стороны Известно, что Найдите длину отрезка. (М85)

92. В равнобедренной трапеции длина основания равна 2, Диагональ трапеции биссектриса угла и высота опущенная на основание пересекаются в одной точке. Найдите длину основания (М81)