Кинематика материальной точки. Перемещение, путь, скорость, ускорение

01.Кинематика материальной точки. Перемещение, путь, скорость, ускорение.

Кинематика-описание движения. Система отсчёта-тело отсчёта, связь с ним, система координат. Материальная точка-это любое тело, размеры которого малы по сравнению с расстояниями до других тел. Положение точек в пр-ве всегда описывается радиус-вектором.

`-обозначение вектора;

`r=x*`i+y*`j+z*`k

`r=`z(t); x=x(t); y=y(t); z=z(t);

Траектория-f(x, y,z) Для плоскости: y(x)

Перемещение: r`r=`r2-`r1=(x2-x1)`i+(y2-y1)`j+(z2-z1)`k

|r`r|=√ ((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)

x1=x(t1); x2=x(t2) и т. д.

Путь-это скалярная величина, то есть расстояние, отсчитанное вдоль реальной траектории. |r`r|≠∫S

|r`r|=S когда тело движется прямолинейно, вдоль одного направления.

Скорость.

Средний вектор скорости <`V>=r`r/rt

Средний модуль скорости <V>=S/rt

Lim(rt→0) r`r/rt=d`r/dt=`V – мгновенная скорость

V=ds/dt; S=(t1,t2)∫Vdt; |r`r|=∫S

Ускорение-это скорость изменения скорости в течении времени.

`a=d`V/dt

тау-тангенциальная ось.

n-нормаль(положительное положение нормали выбирается к центру траектории)

`an-проекция `a-отвечает за изменение скорости по направлению, `ar-проекция `a-отвечает за модуль скорости.

Ar=dV/dt

an=V^2/R-радиус кривизны траектории-это радиус такой окружности, дуга которой совпадает с участком длины траектории вблизи выбранной точки.

a=√(ar^2-an^2)

tg(альфа)=an/ar

прямая задача кинематики: `r→`V→`a–дифференцирование.

Обратная задача кинематики: `a→`V→`r-интегрирование

02. Кинематика вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Угловая скорость, угловое ускорение. Связь линейных и угловых характеристик.

При вращательном движении твёрдого тела вокруг неподвижной оси, все точки тела движутся по окружности, все центры которых лежат на одной прямой (на оси вращения).

Основной хар-кой вращения тела вокруг оси-угол dφ. dφ с осью вращения образует правостороннюю систему вращения.

`-обозначение вектора;

Угловое ускорение `β=d`ω/dt (рад/с^2)

Период вращения-время одного полного оборота. T=2π/ω

Частота вращения(кол-во оборотов за 1с.) υ=1/T

Связь линейных и угловых характеристик.

V=dS/dt

dS=R*dφ/dt; V= R*dφ; V=ω*R; `V=[`ω,`R]

aτ=dV/dt; aτ=β*R; an=V^2/R; an=ω^2*R

03.Законы Ньютона.

I закон Ньютона (закон инерции Галилея-Ньютона)

Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, в которых тело движется прямолинейно и равномерно, если оно повержено воздействию со стороны других тел.

Гелиоцентрическая система-инерциальна. Любая система отсчёта, движущаяся прямолинейно и равномерно относительно гелиоцентрической тоже является инерциальной.

Важная особенность инерциальных систем является то, что по отношению к ним пр-во и время обладают определёнными св-вами симметрии…время однородно, то есть физически протекают одинаково в разные моменты времени.

Пр-во однородно и изотропно, то есть св-ва пр-ва одинаковы во всех точках, а в каждой точке одинаковы во всех направлений.

II закон Ньютона(основной закон динамики мат. точки)

Любое изменение движения всегда является воздействием других тел в инерц. с. о..

Сила-мера воздействия на данное тело со стороны других тел.

Важным св-вом силы является их материальность, то есть в инерц. с. о. всегда существует тело со стороны которого осущ. Данное воздействие. Масса-мера инертности тела.

`-обозначение вектора

`p=m*`V; d`p/dt=`F – скорость изменения импульса тела = величине действующей на тело силы.

III закон Ньютона

При воздействии одного тела на другое силы всегда возникают попарно, то есть возникают и воздействуют второе на первое.

В инерциальных с. о. силы, с которыми взаимодействуют тела равны по величине и противоположны по направлению.

04.Силы в механике.

1.Сила гравитационного притяжения или закон всемирного тяготения. F=G*m1*m2/R^2

масса-мера гравитационного взаимодействия.

2.Сила тяжести.

F=G*Mпл.*m\(Rш+h)^2 h<<Rш

F=G*Mпл.*m/Rпл.^2; F=mg; g=G*Mпл./Rпл.^2

3.Вес тела-это сила, с которой тело действуют на опору или на подвес под воздействием силы притяжения.

Если опора неподвижна иди движется с пост. скоростью, то вес=силе. Если с постоянной скоростью, то вес≠силе.

4.Сила упругости `F=-k*`r Это все силы, величина которых прямо пропорциональна смещению, а направление противоположное.

5.Силы трения. Сила трения покоя возникает при попытки сдвинуть тело с места.

Fтр. пок.= μ*N

6. Сила сопротивления среды `F=-2*`V

05.Неинерциальные системы отсчета, силы инерции.

Система является неинерциальной, если она движется с ускорением относительно инерциальной системы.

В неинрц. системах не выполняются законы Ньютона. Тело может иметь ускорение без воздействия на тело со стороны другого тела, только за счёт свойств самой системы.

Для того, чтобы иметь возможность применять II з. Ньютона в неинерц. Системах вводятся силы инерции (фиктивные силы). Фиктивность заключается в том, что мы не можем найти тело, к которому они приложены.

`-обозначение вектора;

1. `a0 `Fин.=-m*`a0 в неинерц. с. о.

2. Система вращается в одну сторону ω0, тело покоится в этой системе.

`Fинерц.=`Fц. б=m* ω0^2*`r

причина свободного падения-сила гравитационного притяжения.

3. Система вращения с ` ω0, тело движется с постоянной скоростью V.

Кориоли. Fкор.=2*m[`V,` ω0]

`Fин.=`Fкор+`Fц. б.

06.Закон сохранения импульса.

`-обозначение вектора;

Импульс системы материальных точек `p=(сумма i)`pi

dp/dt=(сумма i)d`pi/dt=(сумма i)`Fik(k≠0)+(сумма i)`Fi

Внутренние силы не могут изменить импульса системы. Импульс замкнутой системы тел в инерц. с. о. остаётся постоянным.

Замкнутой называется система, на которую не действуют внешние силы.

d`p/dt=`Fвнеш

1. Если `Fiвнеш=0, то d`p/dt=0 и `p=const

2. Если (сумма i)`Fiвнеш=0, то `p=const

3. Если `Fx=0, то px=const (проекция импульса на ось ox)

4. Если Fвнутр. cилы>>Fвнеш, то p=const (в момент взаимодействия)

07. Работа и мощность силы.

Энергия является наиболее общей мерой движения и взаимодействия всех видов материй, характеристикой возможных количественных и качественных изменений физической системы. Каждому виду материи соответствует своё выражение энергии.

Механическая энергия. Энергия-функция состояния тела.

`-обозначение вектора;

Работа: dA=`Fd`r=F*cosα*dr

A=∫(по L)`Fd`r

P=dA/dt=`Fd`r/dt=`F*`V

Мощность-работа, совершённая в единицу времени.

08. Кинетическая энергия материальной точки.

`-обозначение вектора;

dA=`Fd`r=d`p/dt*d`z=m*d`r*d`V/dt=m*`V*d`V=mVcosα|d`V|

dA=mVdV=(dmV^2)/2

(mV^2)/2=Eкин=T

A=∫(от 1 до 2)d(m/2*V^2)=T2-T1

Совершаемая сила, то есть работа идёт на изменение кинетической энергии.

09. Потенциальная энергия частицы в силовом поле. Условие потенциальности поля. Связь потенциальной энергии и силы.

Силовое поле-область пр-ва, в каждой точке, которого можно указать вектор силы, действующей на материальную частицу.

1.Если сила совершает работу, независящую от формы пути, а зависящую только от начальной и конечной точки, то такая сила называется консервативной, а поле называется потенциальным.

Сила, работа которой зависит от формы пути, называется диссипативной.

A=A1+A2; A2=-A1; A=0

Работа консервативных сил по замкнутому пути = 0

`-обозначение вектора;

∫(по L)`Fd`S=0

A=U1-U2

Потенциальная энергия численно равна работе по перемещению мат. частицы из одной точки в ту точку, где пот. энергию принято считать равной 0.

Потенциальная энергия и сила поля.

U=∫(от p до p(0))`Fd`S – потенциальная энергия. A12=U1-U2

dA12=-dU=`Fd`S=FsdS
Fs=-dU/dS

Проекция силы на любое направление – убыль потенциальной энергии вдоль этого направления. `F=-(dU/dx`i+ dU/dy`j+ dU/dz`k)

`набла=d/dx`i+ d/dy`j+ d/dz`k – градиент функции F=(U1-U2)/rl (U1>U2)

`F=-`набла*U

Сила направлена в сторону наибыстрейшего убывания пот. энергии.

10.Примеры потенциальных полей.

1.Поле центральных сил.

Если во всех точках поля направление сил проходят через одну точку, называемую центром, а величина силы зависит от расстояния до центра.

`-обозначение вектора;

`F=f(r)`r/r

dA=f(r)`rd`r/r=f(r)rdr/r=f(r)dr `Vd`V=VdV `rd`r=rdr

A=∫(от z1 до r2)f(r)dr=U(22)-U(11)

Любая центральная сила является консервативной.

2.Однородное поле.

Поле называется однородным, если во всех его точках силы, действующие на частицы, одинаковы по величине и направлению.

dA=`F*d`r=Fdr*cosα=F(x2-x1)

Поле силы тяжести. U=-(mgh2-mgh1)=mg(h1-h2)

3.Поле упругой силы.

`F=-k`r

dA=`F*d`r=-k`rd`r=-krdr=-kd(r^2/2)=-(kr^2)/2

11.Закон сохранения полной механической энергии.

U=(сумма i=1 до N)Ui – суммарная потенциальная энергия.

T=(сумма i=1 до N)Ti

A=Aдис+Акон

Диссипативные и консервативные силы

Aдис+Акон=T2-T1

E=U+T – полная механическая энергия

U-потенциальная энергия

Акон=U1-U1

Aдис+U1-U2=T2-T1

E2-E1=Aдис

В системе частиц, находящихся под действием только консервативных сил, полная механическая энергия остаётся постоянной.

Этот закон справедлив только в инерц. с. о..

12.Момент силы. Момент импульса. Уравнение моментов.

Момент силы.

`-обозначение вектора;

`M=[`r,`F]

M=Frsinα=Fl

l-кратчайшее расстояние до линии действия силы.

Момент силы относительно оси - проекция моментов силы относительно точки О на выбранную ось.

Момент силы относительно оси не зависит от выбора точки на этой оси.

Момент силы относительно оси характеризует вращение точки вокруг этой оси.

Момент силы относительно оси равен произведению касательной к действующей силе и кратчайшего расстояния до оси.

Момент импульса.

`L=[`r,`p]

Проекция момента импульса на выбранную ось называется моментом импульса относительно этой оси. И этот момент импульса не зависит от выбора точки О на этой оси.

Момент импульса не обязательно связан с вращательным движением.

Уравнение моментов.

d`L/dt=d[`r,`p]/dr=[d`r/dt,`p]+[`r;d`r/dt]

d`r/dt=`r

p=m`v [d`r/dt,`p]=[`V, m`V]=0

d`p/dt=`F, значит d`L/dt=[`r,`F]

`M=d`L/dt

Скорость изменения момента импульса частицы равна равнодействующему моменту всех сил, действующих на частицу.

Относительно оси: dLz/dt=Mz

13.Закон сохранения момента импульса.

`L=(cумма i=1 до n)`Li; d`L/dt=(сумма i=1 до n)d`Li/dt=(сумма i=1 до n)`Miвнеш.+ (сумма i=1 до n)`Miвнутр.

`Miвнутр.=0

d`Li/dt=`Mвнеш.

В инерц. с. о. момент импульса замкнутой системы частиц относительно любой точки и любой оси остаётся постоянным с течением времени.

1.Если суммарный момент всех внешних сил относительно некоторой точки равен нулю, то сохраняется момент импульса системы относительно этой точки.

2.Если суммарный момент всех внешних сил относительно некоторой оси равен нулю, то сохраняется момент относительно этой оси.

14.Момент инерции твердого тела относительно неподвижной оси. Теорема Штейнера.

Упост=mr^2

Момент инерции для твёрдого тела

dУ=dmr^2

У=∫(по V-по всему объёму))dmr^2

Момент инерции определяется распределением масс относительно оси вращения.

Качественно момент инерции есть мера инертности твёрдого тела по отношению к попыткам изменить характер вращательного движения.

Момент инерции некоторых симметричных тел.

1.Длинный стержень У=(m*l^2)/12

2.Цилиндр. У=(m*R^2)/2

3.Шар. У=(2*m*R^2)/5

4.Обруч. У=m*R^2

Теорема Штейнера.

Момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, параллельно заданной, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.

У=У0+md^2

15.Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси.

Lz=(сумма i)Lzi=(сумма i)mVr=(сумма i)mωr^2=ω(сумма i)mr^2

Для твёрдого тела: Lz=У* ω

16.Основное уравнение динамики твердого тела. Закон сохранения момента импульса при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси.

Основное уравнение динамики твердого тела.

(II з. Ньютона для вращательного движения)

dLz/dt=Mz; d(Уω0)/dt=Mz

dω/dt=β – угловое ускорение.

Уβ=Mz - - II з. Ньютона для вращательного движения.

Закон сохранения момента импульса при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси.

В замкнутых системах сохраняется постоянным произведение У*ω относительно любой оси.

В незамкнутых системах произведение У*ω сохраняется постоянным относительно оси, для которой суммарный момент всех внешних сил равен 0.

17.Кинетическая энергия вращающегося твердого тела. Работа и мощность сил при вращении твердого тела

T = ∑ (mi Vi^2)/2 = ∑ (mi ώ^2 ri^2)/2 = ώ^2/2 ∑ mi ri^2

T = (I ώ^2)/2

I - (изогнутая, похожая на J и Y одновременно)

Работа внешних сил при вращении твердого тела.

dA = dT = I ώ d ώ; I dώ/dt = Mz

I dώ = Mz dt

dA = Mz ώdt = Mz dΨ

A = S(интеграл) Mz dΨ

18.Плоское движение тел

По самому определению, твердое движение отвечает изменению во времени лишь трех координат твердого тела, например, двух декартовых х и у и одной ориентационной ф. Последняя может и выпадать, если движение – чисто поступательное. С другой стороны, к плоскому сведется и существенно трехмерное движение, если оно является поступательным по одной из декартовых координат.

При плоском движении любое перемещение можно представить, как поворот вокруг некоторой точки О (точнее оси, проходящей через эту точку). Особый случай - поступательное движение, при котором точка О перемещается в бесконечность.

Как следствие, малое перемещение представляется как поворот вокруг некоторой оси О на малый угол dф. Если этот поворот происходит за время dt, то величина w(t) = dф/dt называется мгновенным значением угловой скорости, а сама ось, проходящая через точку О – мгновенной осью вращения.

Какова бы ни была комбинация поступательного и вращательного перемещений, угол между отрезками остается инвариантом. Иными словами, как бы мы ни сместили мгновенную ось, тело придется повернуть на один и тот же угол. Отсюда вывод: угловая скорость w(t) при плоском движении не зависит от системы отсчета.

Уравнение движения, в зависимости от постановки задачи, обычно пишутся либо для центра масс тела – m(dvc/dt) = E(сумма)Fвн, Ic(dw/dt) = E(сумма)Mвн, либо для мгновенной оси вращения – Io(dw/dt) = E(сумма) Moвн.

По конспекту:

Движение называется плоским, если все точки тела движутся в параллельных плоскостях.

Суперпозиция поступательного движения и движения вокруг неподвижной оси.

Движение без проскальзывания – суммарная скорость у точки касания равна нулю.

V^2 = Vo^2 + Vo^2 + 2Vo^2cosΘ = 2Vo^2 (1+cosΘ) = 4Vo^2 cos^2 Θ/2

V = 2Vo cos Θ/2

Ускорение всех точек одинаково и равняется a = V^2/R

T = mV^2/2 + Iw^2/2

26.Основное уравнение динамики в СТО

F = dp/dt

F = [d(moV/√1-β^2)]/dt – Закон

F = d(mV)/dt = dm/dt * V + m dV/dt

Сила и ускорение совпадают по направлению в двух случаях:

1. Поперечная сила F перпендикулярна V. Сила, действующая перпендикулярно V не совершает никакой работы

2. F параллельно V.

19.Принцип относительности Галилея

Как меняются законы движения при переходе из одной системы отсчета в другую? Другими словами, меняется ли при этом основной закон механики – второй закон Ньютона – ma=F.

Во-первых, предполагается, что в разных системах отсчета остаются неизменными длины одних и тех же твердых стержней, которые используются для измерения пространственных размеров и координат различных тел. Кроме того, преобразования Галилея предполагают, что, например, показания часов у двух человек не станут различаться только из-за того, что один из них начнет идти быстрее другого.

Координаты и время в система K и К` будут связаны друг с другом соотношениями r=r`+Vt`, t=t`. Дифференцируя это соотношение по времени t, получим dr/dt = (dr`/dt`) + V, или v=v`+V, где v – скорость материальной точки в системе К, а v` - в системе K`. Эта формула выражает известное правило сложения скоростей в механике Ньютона.

Дифференцируя второй раз, получим (с учетом постоянства V) dv/dt = dv`/dt = dv`/dt`, или a=a`. Таким образом, ускорение инвариантно относительно преобразований Галилея.

Как меняется сила при переходе из одной инерциальной системы в другую? Сила зависит от разности координат взаимодействующих материальных точек. Поэтому сила не меняется при переходе от одной системы отсчета к другой: F=F`. Сила инвариантна лишь относительно преобразований Галилея. Так как и ускорение инвариантно, а масса материальной точки предполагается величиной постоянной, не зависящей от ее положения и скорости, то второй закон Ньютона в «штрихованной» системе принимает вид ma`=F`.

Уравнения механики Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея. Это утверждение составляет содержание принципа относительно Галилея: Никакими механическими опытами, проведенными в пределах только одной данной системы отсчета, нельзя установить, находится ли она в состоянии покоя или в состоянии равномерного прямолинейного движения.

20.Постулаты Эйнштейна. Принцип относительности в релятивистской механики

Какие изменения необходимо внести в наше понимание свойств пространства и времени? Как относиться к преобразованиям Галилея? Можно ли их изменить так, чтобы они не противоречили здравому смыслу при их применении к привычным движениям окружающих нас тел и в тоже время не противоречили факту постоянства скорости света во всех системах отсчета?
Принципиальное решение этих вопросов принадлежит А. Эйнштейну, создавшему в начале ХХ века специальную теорию относительности (СТО), связавшую необычный характер распространения света с фундаментальными свойствами пространства и света. Впоследствии Эйнштейн построил общую теорию относительности (ОТО), где исследуется связь свойств пространства и времени с гравитационными взаимодействиями.

Основу СТО составляют два постулата, которые носят называние принципа относительности Эйнштейна и принципа постоянности скорости света.

Принцип относительности Эйнштейна является обобщением принципа относительности Галилея, на все без исключения явления природы. Согласно этому принципу, все законы природы одинаковы во всех инерциальных система отсчета. Принцип относительности Эйнштейна можно сформулировать следующим образом: все уравнения, выражающие законы природы, инвариантны по отношению к преобразованиям координат и времени от одной инерциальной системы отсчета к другой. (Инвариантностью уравнений называется неизменность их вида при замене в них координат и времени одной системы отсчета координатами и временем другой).

Принцип постоянства (инвариантности) скорости света утверждает, что скорость света в пустоте одинакова для всех инерциальных систем отсчета.

Оба постулата являются отражением опытных фактов: скорость света не зависит от движения источника или приемника, она не зависит также от движения системы отсчета, в которой производятся эксперименты по ее измерению. В принципе относительности это отражено в признании того факта, что не только механические, но и электромагнитные явления, подчиняются во всех инерциальных системах отсчета одним и тем же законам.

25.Релятивистский импульс (по конспекту)

Если масса тела – постоянная величина, то не выполняется закон сохранения импульса.

Основные уравнения динамики СТО (специальная теория относительности):

(Обозначения: *-вектор)

F* = dp* / dt

F* = d(m2V*/sqrt(1-β))/dt

F* = d(mV*)/dt = dm/dt V* x dV*/mdt

dT=F*V8dt = d(mV*)V* = V*2dm x mV*dV* = V*2dm x mV x dV

m=mo/(sqrt[1-V2/c2]); m2 – m2V2/c2 = mo2

2mc2dm – 2mV2dm – 2m2VdV = V

dT = c2dm - Приращение кинетической энергии частицы пропорционально его приращению релятивистской массе.

T = mc2 + const

V=0; 0 = moc2 + const

const = moc2

T = moc2 (1/[sqrt(1-V2/c2)] - 1

27.Кинетическая энергия в СТО

dT = F*V dt = d(mV)V = V^2 dm + mV dV = V^2 dm + mV dV

m = mo/√(1 – V^2/c^2)

m^2 – (m^2V^2)/c^2 = mo^2

m^2c^2 – m^2V^2 = mo^2c^2

2 mc^2 dm – 2mV^2dm – 2m^2VdV = 0

c^2dm = V^2dm + mVdV

dT = c^2dm

Приращение кинетической энергии частицы пропорционально ее релятивистской массе.

T = mc^2 + const

V=0

0 = moc^2 + const; const = - moc^2

T = (m-mo)c^2 – кинетическая энергия

T = moc^2 (1/√(1 – V^2/c^2) -1)

28.Полная энергия в СТО. Закон взаимосвязи массы и энергии

E = T + moc^2

E=mc^2 – Закон взаимодействия массы и энергии

Масса тела возрастает при любом увеличении общего запаса энергии тела, независимо от того за счет какого конкретного вида энергии это увеличение произошло.

Масса является мерой энергоемкости тела.

Связь между кинетической энергией и импульсом тела: p*c = √T(T+2moc^2)

E=moc^2/√(1-V^2/c)

p = moV/√(1-V^2/c^2)

29.Гидродинамика. Уравнение неразрывной струи.

В отличие от твердых тел, жидкости и газы, с точки зрения механики, являются веществами текучими. Но если в твердых телах пластичность неотделима от диссипации, то в случае текучей среды диссипацией при рассмотрении многих важных процессов и явлений можно пренебречь. Такой подход называется приближением идеальной жидкости. Далее, очень многие практически важные задачи допускаю представление несжимаемой жидкости.

Если мы выделим объем жидкости столь малый, что можно пренебречь его размерами и формой, и этот объем не перемешивается на характерном масштабе задачи с другим веществом, то такой жидкий элемент можно рассматривать как материальную точку. Это позволяет определить скорость и ускорение элемента и вывести на этой основе уравнения течения жидкости. Траектория такого жидкого элемента называется линией тока. Совокупность линий тока, близлежащих в пределах, заданных характерным временем и масштабом задачи, называется трубкой тока.

Выделим объем, ограниченный стенками тока и двумя ее сечениями, нормальными к скорости жидкости. Сокращение массы в выделенном объеме выражается равенством массы жидкости, вытекающей в сечение 1 и вытекающей из сечения 2 за время dt: ρ1S1ν1 dt = ρ2S2ν2 dt. Здесь ρ1,2, S1,2 и ν1,2 – плотность жидкости, площадь нормального сечения трубки тока и скорость жидкости в точках 1 и 2. Тем самым закон сохранения массы принимает вид уравнения неразрывности струи: ρS┴υ = const или для несжимаемой жидкости (ρ=const) S┴ υ = const.

Если потом нестационарен, уравнения должны быть модифицированы. Представим себе одномерную трубку тока. Закон сохранения массы вещества означает, что масса жидкости, втекающая в некоторый объем ρυ(x)dtS, равна массе жидкости, накапливающейся в этом объеме, ρ dtS dx, плюс массе вытекающей жидкости ρυ(x+dx) dtS. Имея в виду, что все характерные параметры зависят от двух переменных x и t, введем понятие частной производной:

∂f(x, t)/∂t ≡(df/dt)x=conts, ∂f(x, t)/∂x ≡(df/dx)t=const

Закон сохранения массы принимает вид ρυ(x)S = ρSdx + ρυ(x+dx)dtS => ∂p/∂t = -∂(ρυ(x))/∂x.

Традиционная форма записи этого закона называется уравнением непрерывности:

∂p/∂t + ∂(ρυ)/∂x = 0

30.Уравнение Бернулли

Рассмотрим стационарное течение жидкости или газа без диссипации.

Выделим некоторую трубку тока. Пусть S1 и S2 – два произвольных сечения, нормальных к потоку, ρ1, υ1 и ρ2, υ2 – соответственно, плотность и скорость в сечениях S1 и S2.

Ρ1/ρ1 + έ1 + υ12/2 = Ρ2/ρ2 + έ2 + υ22/2

Ρ/ρ + έ + υ2/2 = const (2)

Важны частный случай уравнения Бернулли – течение в поле силы тяжести при неизменной массовой плотности внутренней энергии (для идеального газа это обусловлено постоянной температурой). Тогда dE/dV = ρgh + ρυ2/2, где h – высота по отношению к некоторому заранее определенному нулевому уровню. Как следствие получаем: Ρ/ρ + gh + υ2/2 = const

Если к тому же, жидкость несжимаема, то предыдущую формулу можно использовать в виде Ρ + ρgh + ρυ2/2 = const.

Именно эту форму записи чаще всего связывают с именем Бернулли. Однако, уравнение (2) гораздо более универсально.

По конспекту:
Рассмотрим движение несжимаемой жидкости в поле тяжести Земли. Выделим произвольно трубку.

A=F1l1 – F2l2 = p1S1l1 – p2S2l2 = (p1-p2)V

E = mV2/2 + mgh = ρV2/2 *V + ρghV

ΔE = ρV22/2 V + ρgh2V – ρV12/2 V – ρgh1V = (p1-p2)V

ρV22/2 + ρgh2 + p2 = ρV12/2 + ρgh1 + p1

ρV2/2 + ρgh tp = const – уравнение Бернулли – справедливо для любой трубки тока и выражает закон сохранения энергии при стационарном течении несжимаемой жидкости.

31.Формула Торричелли вытекания жидкости из малого отверстия

Постановка задачи ясна. Пусть высота уровня воды в сосуде равна h1, а высота, на которой расположено отверстие – h2, так что h1-h2=h. Отверстие должно быть достаточно малым, чтобы выполнять условие h<<υ. Из уравнения непрерывности (S┴υ = const) легко усмотреть, что для этого необходимо, чтобы сечение отверстия было много меньше сечения сосуда. Таким образом обеспечивается с необходимой точностью, во-первых, стационарность течения и тем самым применимость уравнения Бернулли. Во-вторых, при медленном вытекании мы можем избежать вихревых течений, что позволяет рассматривать наше течение как одну-единственную трубку тока. Итак ρ(h1) = ρ(h2), на уровне h1 υ≈0, а на уровне h2 - υ =√2gh, т. е. скорость вытекания несжимаемой жидкости из малого отверстия совпадает со скоростью тела, свободно упавшего с высоты h. Это и есть формула Торричелли.

32.Движение вязкой жидкости. Распределение скорости при ламинарном движении вязкой жидкости в круглой трубе.

Закон Паскаля является исчерпывающим лишь в гидростатике, а в случаях неоднородных в пространстве течений вступает в игру диссипативный эффект – вязкость, вследствие которого как раз и возникают касательные напряжения.

Пусть в некоторой области потока жидкости два бесконечно близких ее слоя, движущихся в направлении оси х, соприкасаются друг с другом на горизонтальной поверхности площадью S. Опыт показывает, что возникающая на этой площадке сила трения F между слоями тем больше, чем больше площадь S и чем быстрее изменяется в этом месте скорость потока ν в направлении, перпендикулярном к площадке S, т. е., в направлении оси y. Быстрота изменения скорости ν как функции y характеризуется производной dν/dy. Окончательно, полученный из опыта результат можно записать в виде:

F=ήS dν/dy. Здесь F – сила, действующая со стороны вышележащего слоя а нижележащий, ή – коэффициент пропорциональности, получивший название коэффициент вязкости жидкости. Размерность его вытекает из формулы [ή] = [m]/[lt]. Направление силы F зависит от того, быстрее или медленнее движется вышележащий слой относительно нижележащего. Из формулы размерности (выше) следует выражение для касательных напряжений: τ = ή dν/dy.

Коэффициент вязкости ή имеет разные значения для различных жидкостей, и для определенной жидкости зависит от внешних условий, в первую очередь, от температуры. По своей природе силы трения в жидкости являются силами межмолекулярного взаимодействия, то есть электромагнитными силами, как и силы трения между твердыми телами.

Наличие сил трения приводит к тому, что на разных расстояниях от центра трубы жидкость течет с разной скоростью. В честности, непосредственно у стенки жидкость должна быть неподвижна, иначе следовали бы бесконечные касательные напряжения.

34.Основное уравнение молекулярно - кинетической теории.

- Связывает макропараметры состояния газа и его микропараметры.

Макропараметры – те параметры которые относятся ко всему газу в целом и измеряются аппаратами на опытах.(P, V,T.)

Микропараметры - усредненное характеристики хаотического движения микрочастиц составляющих газ.

Давление – сила действующая единицу площади ориентированную перпендикулярно направлению силы

.V-скорость.

F(вектор)= dk(k-вектор)/dt

P=(1/S)*(dk/dt)

Давление численно равно импульсу передаваемому единице площади в единицу времени.

Дельта ki= ni*m*Vxi^2 – полный импульс, получаемый S за единицу времени.

Средне квадратичная скорость Vx^2(вектор)=1/n *S(ni*Vxi^2)

P=n*m*Vx^2(Вектор)

Vx^2(Вектор)=Vy^2(Вектор)=Vz^2(Вектор)=(1/2)V^2(Вектор)

P=(2/3)*n*mV^2/2; E(Закругленное)=mV^2/2 ; p=(2/3)n*E(Закр.)ср.; p=nkT; E(закр)=3/2kT;

Температура является статистической характеристикой.

Корень(V^2(Вектор))=корень(3kT/m)=корень(3RT/M).

33.Статистический и термодинамический методы исследования в молекулярной физике. Законы идеального газа.

В основе статистического метода лежит МКТ вещества. Согласно которой вещество состоит из отдельеных частиц находящихся в непрерывном хаотическом тепловом движении.

Агрегатное состояние вещества зависит от сил взаимодействия между частицами.

Статистический метод использует закон поведения именно множества объектов при этом возникают новые качественные зависимости неприминимые к каждому объекту по отдельности.

Эти законы связывают свойства вещества наблюдаемые на опыте. С усредненным результатом действия отдельных молекул.

Термодинамический метод изучает процессы происходящие в веществе без относительное их строение. Эти процессы описываются с точки зрения перехода из одного вида в другой.

В основе термодинамического метода лежат результаты обобщений огромного количества экспериментов. (Постулаты).

Модели идеалного газа:

1. Молекулы идеального газа свободны т. е. между ними не действуют ситлы взаимодействия. И потенциальная энергия взаимодействия равна нулю. Упругие столкновения

2. Размеры молекул принебрижимо малы. Поэтому весь объем в котором находиться газ можно считать свободным для движения.

3. Число молекул движущихся в каждом выбранном направлении одинаково т. е. среднее значение импульса по всем направления равно нулю. k(вектор) = 0.

PV=n(ню)RT n=m/M=N(число частиц)/Nавогадро. R - универсальная газовая постоянная

R= 8.31 дж/(моль*К)

Следствие

1. r=m/n=pM/RT.

2. pV=(N/Nав.)*RT

Закон Авогадро: при нормальных условиях объем любого газа Vo=22.4 л.

Нормальные условия: t=0°C p= 1 атм. 1 атм.= 10^5 Па.

Закон дальтона(для смеси). Давление смеси газов равно сумме порциальных давлений компонент смеси газов.(Каждого газа по отдельности.

35.Распределение Максвелла молекул по скоростям.

V-скорость.

dN/N=dP(V)=F(V)*dV

dN- относительная доля молекул облядающих скоростями лежащих в данном интервале.

dP(v)-вероятность того что наша скорость попадает в наш интервал.

F(V)- плотность распределения вероятности. Распределение Максвелла по скоростям.

F(V)=(m/(2Пи*kT))^3/2)*(e^(-mV^2/2kT))*4Пи*V^2

дельтаN/N=Интеграл от V1 до V2 (F(V)dV)

Свойства распределения максвелла:

1. Характерным является множитель экспаненты отношение кин. Энергии мол-ы к энергии теплового движения

2. F(V)->0. При V->0 и V->бесконечности - число очень быстрых и очень медленных молекул всегда мало.

3. Эта скорость носит название вероятной скорости.

F’(V)=0

Vвер-ой=корень(2кТ/m)=корень(2RT/M)

4. F(Vвер)~1/корень (Т)

5. Функция распределения не семетрична.

ДельтаN/N(V>Vвер)>дельтаN/N(V<Vвер)

6. Vcp. кв.=корень(3RT/m)

Vвер=корень(2RT/мю)

V(вектор)=корень(8RT/Пи*Мю)

Vcp. кв.-определяет среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул.

Средняя арифм-ая V определяет путь проходимый молекулами между столкновениями.

7. Закон распределения максвелла справедлив только для правновесного состояния системы.

ТАУрел.- Время релаксации.

Если система выведена из состояния равновесия ей требуется время релаксации для восстановления равновесия. При t<ТАУрел то в целом для системы не существует макропараметров.

8. U=V/Vвер dN/N=4/корень(Т)*(e^(-u^2))*U^2dU

ДельтаN/N=Интеграл от U1 до U2 ((e^-U)*u^2*du)=U1SU2(F(U)dU)

36. Распределение Больцмана молекул в силовом потенциальном поле.

p=p0*e^(-mg(h-h0)/kT) – Барометрическая формула.

Формула показывает зависимость давления от высот.

p=p0*e^(-mgh/RT) – масса молекулы известна.

n=n0*e^(-mg(h-h0)/kT). n0- концентрация молекул на уровне h0.

Для смеси газов каждая из компонентой подчиняется этому распределения.

Чем больше молярная масса молекулы тем быстрее идет убывание концентрации с высотой.

n=n0*e^(-(u-u0)/kT)

u-потенциальная энергия в данной точки силового поля.

Молекулы распределяются с большой плотностью там где их потенциальная энергия наименьше.

37. Энергия теплового движения молекулы. Закон равнораспределения энергии по степеням свободы молекулы

Число степеней свободы молекулы – число независимых переменных необходимых для задания положения молекулы в пространстве.

1 атомная молекула i=3. Все три поступательные. i не может быть меньше 3х.

Жесткая (расстояние меж молекулами не меняется) 2х атомная молекула i=5 3 – поступательные 2 – вращательные

Многоатомная жесткая (3 например) i=6.

Закон равнораспределения: на каждую степень свободы в среднем приходится одинаковая кинетическая энергия равная kT/2

E(закругленная)=i/2*kT

Если молекула не жесткая то ее атомы совершают колебательные движения. Число направлений колебаний зависит от числа атомов. На каждую колебательную степень свободы приходится удвоенная средне кинетическая энергия. Это связано с тем, что при колебаниях аомы имеют не только кинетическую, но и потенциальную энергии.

38.Внутренняя энергия идеального газа.

­–включает в себя кинетическую энергию теплового, поступательного и вращательного движения молекул, а также кинетическую и потенциальную энергию колебательного движения атомов молекул не жесткой связи.

В нее не включаются потенциальная энергия газа во внешних силовых полях, а также кинетическая энергия движения газа в целом.

U=Ню*Nавог.*(1/2)*кТ

Мю=(1/2)Ню*RT; U2-U1=дельтаU=(1/2)Ню*RдельтаT

Изменение энергии не зависит от того каким образом газ перешел от состояние с одной температурой к состоянию с другой.

39.Работа, совершаемая газом.

V-Объем

dA=F*dl=p*S*dl – изменении работа совершенная газом на изменение объема

dA=pdV

A=V1-S-V2(pdV) – интеграл от V1 до V2.

Газ совершает механическую работу.

40.I начало термодинамики. Применение I начала термодинамики к изопроцессам.

дельта(маленькое)Q=dU+ дельта(маленькое)A

Теплота сообщаемая газу расходуется на изменение его внутренней энергии и совершение им работы. Q=delta(малое)U+A.

V-объем

1. T=const

delta(малое)Q= delta(малое)A (DU=0)

dA=pdV

A=V1-S-V2(pdV)

p=(Ню*RT)/V

A=Ню*RT*(V1-S-V2(dV/V))

A=Ню*RT*Ln(V2/V1)

2. V=const

dA=0

dQ=dU

Q= DU

3. p=const

A=p(V2-V1)

Q= DU+p(V2-V1)

41.Теплоемкость идеального газа

Выделяют молярную и удельную теплоемкость

n-Ню

С=dQ/ (ndT) (Дж/моль*К) – кол-во теплоты необходимое затратить для нагревания 1 моля газа на 1°К.

dQ=cndT

m-мю

Удельная –> c= dQ/mdT (Дж/кг*К) – ­­­–||–||–||–||– единицу массы на 1°К

с=С/m

Cv-молярная при постоянном объеме Cv=du/ndT=((i/2)nRdT)/(ndT)=(i/2)*R

Cp - –||–||– постоянном давлении Cp=(dU+dA)/(ndT)=Cv+(pdV)/(ndT)=Cv+R

Cp=(i/2)R+R=((i+2)/2)*R

g(гамма маленькая) – коэффициент Пуассона

g=Cp/Cv=(i+2)/2

i=2/(g-1)

42.Адиабатический процесс. Уравнение адиабаты. Работа газа при адиабатическом процессе.

Q=0 <– Адиабатический

g(гамма)- коэффициент Пуассона

dA=-dU

pV= nRT

pdV+Vdp= nRdT

pdV=–Cv*ndT

RpdV/Cv=–nRdT

pdV+Vdp+(R/Cv)*pdV=0

pdV(1+R/Cv)+vdp=0

gpdV+Vdp=0

gdV/V+dp/p=0

d(p*V^ g)=0

p*V^ g=const

T*V^ g=const

p^(1- g)*T ^ g=const

Работа-А

A=V1-S-V2((p1*V1^ g)/(V^ g)dV=(p1*V1^ g/(1- g))*[V2^(1- g)-V1^(1- g)]=(p1V1/( g-1))[1-(V1/V2)^( g -1)]

43.Политропический процесс. Молярная теплоемкость при политропическом процессе.

–Любой процесс для которого С=const

pV^n=const; n - некоторое число

A=(p1V1/(n-1))[1-(V1/V2)^(n-1)]

C=Cv+(pdV)/(ndT)

pV=nRT

(1) pdV+Vdp=nRdT

pV^n=const

(2) pnV^(n-1)dV+dpV^n=0; Vdp=-pndV

pndV+Vdp=0

pdV-pndV=nRdT

pdV(1-n)= nRdT

pdV=nRdT/(1-n)

C=Cv+((RdT/((1-n)ndT))

C=Cv-R/(n-1)

n=(C-Cp)/(C-Cv)

44.Обратимые и необратимые процессы. II начало термодинамики.

Процесс называется обратимым если он допускает возвращение системы в исходное состояние без того чтобы в окружающей среде произошли какие либо изменения. Чисто механические процессы являются обратимыми.

Расширение газа в пустоту, Тепло от горячему к холодному и т. д. – необратимые процессы)

Формулировка 1: невозможен процесс единственным результатом которого является превращение теплоты в эквивалентную ей работу.

Формулировка 2: Невозможен процесс единственным результатом которого явяется передача энергии в форме тепла от холодного тела к горячему.

теоретически существуют 2 термо процесса являющихся обратимыми: 1. Адиабатический(теплообмена нет). 2. Изотермический. Протекающий бесконечно медленно. T=const

Практически обратимых процессов нет.

45.Энтропия. Статистическое толкование II начала термодинамики

Чисто механические процессы связаны с детерминированным движением.

Тепловое же движение, с которым связано внутренняя энергия или теплота является хаотическим (беспорядочным).

Каждое макро состояние достигается большим числом непрерывно меняющих друг друга микросостояний, которые характеризуются одним и тем же средним значением микропараметров.

число различных микросостояний, посредством которых осуществляется данное макросостояние называется термодинамической вероятностью данного макросостояния.

Все процессы идут таким образом что система переходит в состояние с большой термодинамической вероятностью. Это связано с хаотическим движением молекул.

S=k*LnW; S-энтропия. k-постоянная Больцмана. W- термодинамическая вероятность

Энтропия является мерой молекулярного беспорядка в системе или мерой хаотического состояния молекул в системе.

Свойства:

1. Энтропия – функция состояния системы.

2. Энтропия изолированно системы находящейся в тепловом равновесии максимальна и постоянна.

3. В ходе необратимого процесса энтропия изолированной системы возрастает.

Второе начало термодинамики: При всех процессах происходящих самопроизвольно в замкнутой системе конечное состояние системы будет или более вероятным или иметь туже вероятность, что и начальное состояние. Энтропия замкнутой системы убывает.

Для необратимых процессов энтропия возрастает, а для обратимых постоянна, для механических равна нулю.

Особенности второго начала термодинамики.

Оно является статистическим законом, т. е. выражает закономерности поведения большого числа частиц и неприменим к системам состоящим из малого числа частиц.

В отличии от других природных законов не является неприложимым законом.

Процессы связанные с увеличением энтропии является лишь наиболее вероятным но необязательным.

Чем больше число частиц содержит система тем менее вероятно отклонение от статистических закономерностей.

Энтропия идеального газа

dS=dQ/T –приращение энтропии полученное в ходе обратимого изотермического процесса.

DS=1-S-2(dQ/T) =>0

dQ=dU+dA=Cv*ndT+pdV

p=nRT/V

dS=Cv*n*dT/T+ nRdV/V

DS=T1-S-T2(Cv*ndT/T)+ V1-S-V2(nRdV/V)

D=Cv*n*Ln(T2/T1)+ nR*ln(V2/V1)

DhS=nR*Ln(V2/V1)

46. Циклические процессы. Цикл Карно.

Процесс называется циклическим если по его окончанию термодинамическая система возвращается в исходное состояние.

h<–КПД h=A/Q1=(Q1-Q2)/Q1 Q1-Тепло от нагревателя. Q2-Тепло к холодильнику.

dQ=TdS

Q1=T1(S2-S1)

Q2=T2(S2-S1)

h=(T1-T2)/T1

Обратный цикл.

e-холодильный коэффициент

e=Q2/A

h=1-Q1/Q2

Q2=Q1/(1-h); A=hQ1; e=1/(h(1-h));

47.Явления переноса. Диффузия. Вязкое трение. Теплопроводность.

Явление переноса возникает, если под влиянием какого-либо внешнего процесса в газе образовалась неоднородность какого либо микропараметра. Вследствие хаотического движения молекул наступают процессы, приводящие к выравниванию этого микропараметра по всему объему газа.

Явления:

1. Диффузия – возникает при возникновении неоднородности плотности в разных

частях газа. В случаи диффузии происходит переност массы газа из одной его части в другую.

dM=-D* (dr/dx)*dSdt

Формула определяет массу вещества переносимого в направлении x через элементарную площадь dS ^ этому направлению за время dt, если в этом направлении существует изменение dr/dx

D – коэффициент диффузии

D=1/3*V(вектор)* l

l-средняя длинна свободного пробега молекул.

l=kT/(корень(2)*p*(d^2)*p)

V(вектор)=Корень(8RT/pm)

2. Вязкость(внутреннее трение) - возникает если в газе есть слои движущиеся друг

относительно друга, т. е. возникает неоднородность скорости направленного. движения. В этом случае происходит перенос импульса направленного движения из слоя в слой.

dk=–h(d(V2)/dx)*dS*dt k-импульс ; V - скорость

dk(k-вектор)/dt=F(вектор)

F=– h(dV2/dx)dS

h-коэффициент вязкости.

h= (1/3)*(u^2)* lr =Dr

u=V – это одно и тоже.

3. Теплопроводность – возникает если в разных частях объема газа разная

температура. Переносится тепловая энергия. dQ=– æ*(dT/dx)*dS*dt

æ – коэффициент теплопроводности.

æ=(1/3)*u(вектор)* lr*Cv =