Тема 3
«Кинематика поступательного движения»
В соответствии с изложенным во второй лекции начнем изучение с поступательного движения.
Кинематика – раздел механики, описывающий механическое движение без изучения причин его вызвавших.
Для описания перемещения тела в пространстве (а это и есть механическое движение) введем систему отсчета и будем использовать модель матеиальной точки.
По отношению к системе отсчета положение точки А в данный момент времени в декартовой системе координат, используемой наиболее часто, определяется тремя координатами: 
или радиус – вектором 
, проведенным из точки начала отсчета в данную точку (см. рисунок 1).
Рис. 1
При движении материальной точки ее координаты с течением времени изменяются. Уравнение выражающие зависимость радиус – вектора движущийся точки от времени 
или эквивалентная ему система трех скалярных уравнений
 |
называются уравнениями движения точки или законом движения.
Введем еще несколько необходимых понятий.
Траектория движения материальной точки – линия, описываемая этой точкой в пространстве. Это не очень точное, хотя простое и понятное определение. Точнее было бы сказать, что траектория – это геометрическое место точек, последовательно занимаемых телом в процессе движения.
В зависимости от формы траектории движения подразделяются на прямолинейные и криволинейные. Если все точки траектории лежат в одной плоскости, движение называется плоским.
Траектории механического движения в различных системах отсчета могут иметь неодинаковую форму. Исследуя пространственно – временное перемещение тел, кинематика оперирует следующими физическими величинами – время, длина пути, перемещение, скорость движения и ускорение.
Рассмотрим движение материальной точки по произвольной траектории. Отсчет времени начнем с момента, когда точка находилась в положении А (см. рисунок 2).
Длиной пути называется длина участка траектории АВ, пройденного материальной точкой с момента начала отсчета времени. Длина пути является скалярной функцией времени 
Рис. 2
Перемещением называется вектор 
.
Средней скоростью 
движения за интервал времени 
называется физическая величина
 |
Направление вектора средней скорости совпадает с направлением вектора перемещения 
(см. рисуно 3).
Рис. 3
Средняя скорость характеризует движение в течение всего интервала времени, для которого она определена. Это простое определение, но
Мгновенной скоростью в момент времени называется физическая величина, равная пределу, к которому стремится средняя скорость при бесконечном уменьшение интервала времени
В математике такой предел называется производной, поэтому
 |
Вектор мгновенной скорости 
направлен по касательной к траектории в сторону движения материальной точки.
Средним ускорением неравномерного движения за интервал времени называется физическая величина
Мгновенным ускорением материальной точки в момент времени t называется физическая величина, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение при бесконечном уменьшении интервала времени
 |
Направление среднего ускорения совпадает с направлением вектора 
(см. рисунок 4).
Рис. 4
С мгновенным ускорением дело обстоит сложнее, поэтому рассмотрим это подробно.
Как всякий вектор, вектор ускорения при произвольном плоском движении (например, вращательном) материальной точки можно представить в виде суммы его составляющих по двум взаимно перпендикулярным направлениям. В качестве одного направления выберем направление касательной в рассматриваемой точке траектории, тогда другим перпендикулярным направлением окажется направление нормали к кривой в этой же точке.
Составляющая ускорения, направленная по касательной к траектории, называется тангенциальной составляющей ускорения (
) и определяет быстроту изменения скорости движения по численному значению.
Вектор направлен в сторону движения точки при возрастании ее скорости и в противоположенную сторону – при убывании скорости.
Тангенциальная составляющая ускорения численно равна производной скорости по времени и характеризует быстроту изменения скорости по численному значению.
 |
Вторая составляющая называется нормальной составляющей ускорения (
) и направлена по нормали к касательной и к центру вписанной в данной точке окружности (поэтому ее называют также – центростремительным ускорением).
Нормальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости движения по направлению и численно равна
где R – радиус криволинейной траектории в данной точке (радиус вписанной окружност и). Способ определения радиуса кривизны произвольной кривой излагается в специальной математической дисциплине, которая называется дифференциальная геометрия.
Таким образом, мгновенное ускорение представляется в следующем виде
 |
(см. рисунок 5).
Рис. 5
При этом величина ускорения равна
Рассмотренная процедура определения скорости и ускорения по заданному закону движения называется прямой задачей кинематики.
Данное определение можно представить в виде диаграммы
Прямая задача кинематики
 |
Указанная задача решается с помощью операции дифференцирования.
Задачу определения скорости и закона движения по заданному ускорению естественно называть обратной задачей кинематики.
Обратная задача кинематики
 |
Естественно, что эта задача решается с помощью операции интегрирования
 |
 |
 |
 |
Первая и третья формулы соответствуют решению в общем случае, а вторая и четвертая - для постоянного ускорения.
Следует отметить, что указанное решение обратной задачи справедливо только в том случае когда ускорение является функцией только времени. Однако, в большинстве интересных для приложений задач ускорение является функцией координат или скорости. Окончательное решение обратной задачи, поэтому, возможно только в рамках динамики, о чем будет рассказано в соответствующем месте.
Рассмотренные в данной лекции определения позволяют ввести новое понятие – понятие состояния. Под состоянием обычно понимают минимальный набор величин, который дает возможность предсказывать дальнейшее поведение системы.
Для классической механики таким набором будут радиус-вектор и скорость (или радиус-вектор и импульс), а для квантовой механики – волновая функция 
.
