Тема: Геометрия без измерений и вычислений

учитель математики МОУ «СОШ № 16»

г. Новочебоксарск

Тема: Геометрия без измерений и вычислений

Проблема: решение задач на построение с помощью лишь одного инструмента; деление угла на равные части механическим способом.

Цель: на примере ряда задач показать, что при решении задач на построение можно обходиться только одним инструментом и возможно деление угла на три равные части механическим способом

Задачи: Изучить научно – историческую литературу по теме; подбор соответствующих теме проекта задач и их доказательство; показать красоту, занимательность и практичность решения задач на построение, создать презентацию проекта.

Введение

Искусство построения геометрических фигур с помощью циркуля и линейки было высоко развито в древней Греции. Линейкой пользовались ещё в Древнем Египте, но циркуль изобрели именно в Греции. Возможно, два этих инструмента потому и стали основными, что позволяли начертить две простейшие линии – прямую и окружность, а в математике решение задачи минимальными средствами всегда считалось признаком совершенства.

В задачах на построение весьма важно четко сформулировать «правила игры», т. е. определить, какие операции можно выполнять с помощью циркуля и линейки. Правила эти простые:

линейка считается односторонней, делений на ней нет и наносить их нельзя; с её помощью можно провести прямую через две заданные точки, и это всё;

циркулем по заданной точке О и отрезку АВ разрешается построить окружность с центром О и радиусом, равным АВ;

точки пересечения построенных или заданных линий считаются построенными;

разрешается выбирать произвольную точку на плоскости, на или вне построенной прямой или окружности.

Несколько простейших построений (деление отрезка пополам, проведение перпендикуляра и др.) обычно принимают за основные, а всё более сложные сводят к ним.

В Древней Греции предпочитали построения с помощью циркуля и линейки. Однако, применяли и другие приспособления, например, линейку с нанесенными на неё двумя метками. Такая линейка, в частности позволяет решить задачу Паппа: провести через точку, лежащую внутри угла, отрезок данной длины с концами на сторонах угла. Конечно, окружность линейкой начертить нельзя. Условно считают, что окружность построена, если указаны центр и какая-нибудь её точка.

Самый большой интерес у геометров вызывали задачи, в которых рамки дозволенного не расширялись, а сужались. Первое из геометрических ограничений состояло в том, что раствор циркуля запрещалось изменять. Персидский математик Мохаммед Абу-ль - Вефа в Х веке написал трактат на эту тему и привел изящные решения многих задач.

Проблемой решения задач на построение с помощью лишь одного инструмента ученики столкнулись в 7 классе. Тогда же они узнали, что любой угол можно разделить на 2, 4, …, 2 n равных частей построением биссектрисы угла. А вот как разделить угол на три равных угла, т. е. возможно ли построить трисектрису? Ответы на эти вопрос им предстояло найти самим, изучив научно – методическую литературу, посидев в Интернете. Результатом поиска стали следующие работы.

Работа № 1. Построение с помощью одного циркуля.

В 1797г. итальянец Маскерони опубликовал работу «Геометрия циркуля». В ней доказывается, что любое построение, которое выполняется циркулем и линейкой, можно сделать с помощью одного циркуля. Разумеется, циркулем нельзя провести прямую, поэтому Маскерони считал прямую построенной, если построены две её точки.

Рассмотрим теперь несколько задач, в которых запрещается пользоваться линейкой, а все построения нужно выполнить только циркулем. Одна из таких задач заинтересовала Наполеона I (интересовавшегося, как известно, математикой). Прочтя книгу о таких построениях итальянского ученого Маскерони, он предложил французским математикам следующую задачу: данную окружность разделить на четыре равные части, не прибегая к линейке.

Эта старинная задача занимает в геометрии почетное место. В ней требуется построить правильный четырехугольник, что то же самое, разделить окружность на четыре равные части.

Древние умели делить круг на 2,3,4,5,6,8,10,12,15 частей с помощью циркуля и линейки. Вообще, правильный 2п-угольник можно получить из правильного п-угольника путём деления пополам дуг, на которые вершины п-угольника разбивают его описанную окружность. Таким способом на основе k - угольника легко построить все (2п ∙k)-угольники.

Построить правильные 7- и 9- угольник нельзя. на рубеже XVIII и XIX столетий доказал, правильный п-угольник, где п – простое число, может быть построен с помощью циркуля и линейки в том и только в том случае, когда п имеет вид 22k + 1. Вот первые несколько таких чисел – 3,5,17, 257, 65537.

Итак, рассмотрим решение задачи деления окружности только с помощью циркуля.

З а д а ч а №1. Задача Наполеона. Разделить окружность на четыре равные части

З а д а ч а № 2. Задача увеличения расстояния между точками

З а д а ч а № 3. Без линейки увеличить расстояние между данными точками А и В, в пять раз, вообще в заданное число раз.

Работа № 2. Построение с помощью одной линейки.

При решении геометрических задач на построение обычно пользуются линейкой и циркулем. Мы сейчас увидим, однако, что иной раз удается обходиться без циркуля в таких случаях, где на первый взгляд он представляется совершенно необходимым.

З а д а ч а 1. Центр тяжести пластинки

Известно, что центр тяжести однородной пластинки, имеющей форму прямоугольника или форму ромба, находится в точке пересечения диагоналей, а если пластинка треугольная, то в точке пересечения медиан, если круглая, то в центре этого круга. Попробуем теперь смекнуть, как найти построением центр тяжести пластинки, составленной из двух произвольных прямоугольников, соединенных в одну фигуру Г-образной формы.

Условимся при этом пользоваться только линейкой и ничего не измерять и не вычислять.

З а д а ч а 2. Построение перпендикуляра.

Обходясь без циркуля, опустить перпендикуляр из точки А к диаметру данной полуокружности, центр которой не указан.

Работа № 3. Задача о трисекции угла.

Несложно разделить любой угол с помощью циркуля и линейки на две, а некоторые углы – и на три равные части. Разделение угла на три равные части называется трисекцией угла. Например, мы можем построить треть прямого угла, поделив пополам угол правильного треугольника, а проведя биссектрису в образовавшемся угле в 30º, получим угол величиной 15º - треть угла 45º. Наверное, подобные построения и вселили надежду открыть способ трисекции любого угла посредством циркуля и линейки. Эту задачу пытались решить ещё в V в. до н. э. в Греции. Никомед и Архимед использовали для решения этой задачи особую кривую—конхоиду. Свои методы и способы решения этой задачи предлагал и Виет. Гиппий Элитский (около 420 г. до н. э.) для трисекции угла использовал кривую, впоследствии названной квадратрисой. И только французский математик П. Ванцель в 1837 г. первым строго доказал, что невозможно осуществить трисекцию циркулем и линейкой.

Простейший трисектор.

Но математика вовсе не отвергает возможность выполнить это деление при помощи каких-либо иных приборов. Придумано много механических приборов для достижения указанной цели. Такие приборы называются трисекторами. Простейший трисектор изготовлен из плотной бумаги по описанию, взятому из «Занимательной геометрии» . Это будет подсобным чертежным инструментом.

Трисектор устроен следующим способом. Примыкающая к полукругу полоска АВ равна по длине радиусу полукруга. Край полоски ВD составляет прямой угол с прямой АС, он касается полукруга в точке В. Длина этой полоски произвольна.

Заключение

Проделанная работа позволяет сделать следующие выводы:

1) геометрические задачи на построение с помощью одной только линейки и одного циркуля разрешимы и имеют изящное научное доказательство;

2) решение задачи трисекции угла невозможно посредством циркуля и линейки; эта задача разрешима лишь механическими способами;

3) необходимо повышать интерес учащихся к изучению геометрии,

активизировать их познавательную деятельность.

С этой целью и написана эта работа: показать красоту, занимательность и практичность решения задач на построение. Надеюсь, нам это удалось. Осуществить эту задачу помогли средства информационно – коммуникационной технологии.