Задание к контрольной работе (стр. 2 )

х1 = 2, х2 = 4, при котором функция принимает максимальное значение, равное 14.

Экономический смысл множителей Лагранжа в том, что они являются оценкой неиспользуемых ресурсов.

Задание 1.2.

Предприятие производит некоторую продукцию двумя технологическими способами, причем издержки производства при первом способе изготовления х1 тонн продукции равны руб., а при втором способе изготовления х2 тонн продукции равны руб. составить план производства, при котором будет произведено d тонн продукции при минимальных издержках. Решить методом множителей Лагранжа и объяснить смысл множителей Лагранжа.

Вариант	а0	а1	а2	b0	b1	b2	d
1	1	2	1	2	2	4	2

Решение.

Математически постановка задачи состоит в определении минимального значения функции

при условии

, т. е. без учета требования неотрицательности переменных.

Для нахождения решения составим функцию Лагранжа:

,

вычислим частные производные по и приравняем их нулю:

Перенося в правые части двух первых уравнений и приравнивая их левые части, получаем

, или .

Решаем систему уравнений

Точка с координатами (1,6; 0,4) является подозрительной на экстремум. С помощью вторых частных производных докажем, что в этой точке функция имеет условный минимум:

Таким образом, при производстве 1,6 тонн продукции первым и 0,4 тонны продукции вторым способами минимальные издержки составят руб.

Экономический смысл множителя Лагранжа в данной задаче состоит в оценке издержек на производство не произведенной продукции.

Задача 2.1.

Дана платежная матрица игры. Найти оптимальные смешанные стратегии игроков А и В, указать выигрыш игрока А. Используя любые методы упрощения матриц, проверить полученный результат, построив прямую и двойственную задачи линейного программирования и решив их.

Вариант 1
3	4	4
5	2	6
4	6	5

Решение.

Для определения оптимальной стратегии игрока В имеем следующую задачу линейного программирования:

найти максимальное значение при ограничениях

Для определения оптимальной стратегии игрока А имеем двойственную задачу:

Найти минимальное значение при ограничениях

Находим оптимальные планы прямой и двойственной задач:

			1	1	1	0	0	0
Базис	С	Р0	Р1	Р2	Р3	Р4	Р5	Р6
Р4	0	1	3	4	4	1	0	0
Р5	0	1	5	2	6	0	1	0
Р6	0	1	4	6	5	0	0	1
			-1	-1	-1
P4	0	1/3	- 1/3	2 2/3	0	1	- 2/3	0
P3	1	1/6	5/6	1/3	1	0	1/6	0
P6	0	1/6	- 1/6	4 1/3	0	0	- 5/6	1
		1/6	- 1/6	- 2/3			1/6
P4	0	3/13	- 3/13	0	0	1	- 2/13	- 8/13
P3	1	2/13	11/13	0	1	0	3/13	- 1/13
P2	1	1/26	- 1/26	1	0	0	- 5/26	3/13
		5/26	- 5/26				1/26	2/13
P4	0	3/11	0	0	3/11	1	- 1/11	- 7/11
P1	1	2/11	1	0	1 2/11	0	3/11	- 1/11
P2	1	1/22	0	1	1/22	0	- 2/11	5/22
		5/22			5/22		1/11	3/22

Из таблицы видно, что задача имеет оптимальный план , а двойственная задача – оптимальный план . Следовательно, цена игры , а оптимальные стратегии игроков А и В соответственно и