Задание к контрольной работе (стр. 1 )

Задание к контрольной работе

Задание 1.1.

Предприятие выпускает изделия двух видов Aj (j=1,2), при изготовлении которых используется сырье I и II. Известны запасы сырья аi0 (i=1,2), и нормы его расхода на единицу изделия, оптовые цены рj за единицу изделия и их себе­стоимость (единицы изделия) . Составить план выпуска изделий, дающий предприятию максимальную прибыль. На сколько изменится максимальная прибыль при увеличении аi0 на 10%? Решить графически и методом множителей Лагранжа и объяснить экономический смысл множителей Лагранжа.

Сырье	Вид изделия	Всего ресурсов
А1	А2
I	а11	а12	a10
II	a21	а22	а20

Вариант	a10	а20	а12	а11	a21	а22	P1	P2
1	30	60	5	2	8	11	8	7	6	4	0,10

Решение.

Составим математическую модель задачи.

Нам необходимо максимизировать выручку от реализации выпуска изделий по оптовым ценам:

,

а также минимизировать себестоимость этого выпуска изделий:

.

Таким образом, вся задача заключается в максимизации прибыли (выручка минус себестоимость):

При этом на ресурсы накладываются следующие ограничения:

При увеличении первого и второго вида ресурсов на 10% увеличение прибыли составит также 10%.

Решим данную задачу графически.

Строим границы области допустимых значений:

х1	0	15
х2	6	0

х1	0	15
х2	5 11/5	7 1/2

Подставляем в исходные неравенства координаты точки (0;0), и получаем область допустимых значений (рис. 1.).

Рис. 1. Графическое решение задачи нелинейного программирования

Так как целевая функция нелинейная, то задача является задачей нелинейного программирова­ния. Областью допустимых решений данной задачи является область ОAB (рис. 1), выделенная на рисунке серым. Следовательно, для нахождения ее решения нужно определить такую точку области ОАВ, в которой функция принимает максимальное значе­ние. Полагая значение целевой функции равной некоему числу h, получаем , где h — неко­торая постоянная, и исследуем ее поведение при различных зна­чениях h. При каждом значении h получаем окружность с центром E(10; 15) (рис. 1). Проводя из точки Е окружности разных радиусов, видим, что максимальное значение при заданных ограничениях функция z принимает в точке С, находящейся на пересечении окружности с прямой l2.

Из уравнения прямой видим, что ее угловой коэффициент в точке F равен -8/11. Угловой же коэффициент касательной к окружности в точке F определим как значение производной функции х2 от переменной х1 в этой точке. Рассматривая х2 как неявную функцию от переменной х1 и дифференцируя уравнение окружности, получим

,

откуда .

Приравнивая найденное выражение числу -8/11, получим одно из уравнений для определения координат искомой точки:

Добавив уравнение прямой, на которой лежит искомая точка, и преобразовывая первое уравнение, получим систему уравнений

Отсюда

Таким образом, оптимальный выпуск продукции, максимизирующий прибыль предприятия, должен включать 2 изделия первого вида и 4 изделия второго вида. При этом максимальное значение функции составит (руб.)

Решим задачу методом множителей Лагранжа.

Найдем максимальное значение функции при ограничениях

без учета условий неотрицательности переменных.

Для этого составим функцию Лагранжа:

,

вычислим ее частные производные по и приравняем их нулю.

При этом должны выполняться следующие условия:

.

Для нахождения базисного решения системы линейных уравнений воспользуемся методом искусственного базиса. В первое и второе уравнения системы добавим дополнительную неотрицательную переменную z1 и z2 и рассмотрим задачу линейного программирования, состоящую в нахождении максимального значения функции

при ограничениях

Решаем симплекс-методом.

б	Сб	P0	px1	px2	py1	py2	pv1	pv2	pw1	pw2	pz1	pz2
z1	-M	2	0,2	0	2	8	-1	0	0	0	1	0
z2	-M	3	0	0,2	5	11	0	-1	0	0	0	1
w1	0	30	2	5	0	0	0	0	1	0	0	0
w2	0	60	8	11	0	0	0	0	0	1	0	0
		0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
		-5	-0,2	-0,2	-7	-19	1	1	0	0	0	0
Y2		0,25	0,025	0	0,25	1	-0,125	0	0	0	0,125	0
Z2	-M	0,25	-0,275	0,2	2,25	0	1,375	-1	0	0	-1,375	1
W1		30	2	5	0	0	0	0	1	0	0	0
W2		60	8	11	0	0	0	0	0	1	0	0
Y2		0,222222	0,055556	-0,02222	0	1	-0,27778	0,111111	0	0
Y1		0,111111	-0,12222	0,088889	1	0	0,611111	-0,44444	0	0
W1		30	2	5	0	0	0	0	1	0
W2		60	8	11	0	0	0	0	0	1
X1		4	1	-0,4	0	18	-5	2	0	0
Y1		0,6	0	0,04	1	2,2	0	-0,2	0	0
W1		22	0	5,8	0	-36	10	-4	1	0
W2		28	0	14,2	0	-144	40	-16	0	1
x1		4,788732	1	0	0	13,94366	-3,87324	1,549296	0	0,028169
y1		0,521127	0	0	1	2,605634	-0,11268	-0,15493	0	-0,00282
W1		10,56338	0	0	0	22,8169	-6,33803	2,535211	1	-0,40845
x2		1,971831	0	1	0	-10,1408	2,816901	-1,12676	0	0,070423
X1		2	1	0	-5,35135	0	-3,27027	2,378378	0	0,043243
Y2		0,2	0	0	0,383784	1	-0,04324	-0,05946	0	-0,00108
W1		6	0	0	-8,75676	0	-5,35135	3,891892	1	-0,38378
X2		4	0	1	3,891892	0	2,378378	-1,72973	0	0,059459

Таким образом, в 6-й итерации нами получено оптимальное решение, удовлетворяющее заданным ограничениям и условиям :