Задание к контрольной работе (стр. 5 )

Рассчитаем оценку портфелей по критерию Гурвица (k=0,7).

	В1	В2			gi
А1	1,16	1,09	1,09	1,16	1,111
А3	1,4	0,8	0,8	1,4	0,98
А4	0,92	1,38	0,92	1,38	1,058

Согласно оценке по критерию Гурвица, оптимальной является также первая стратегия (т. е. первый портфель акций).

Оценке по критерию Сэвижда предшествует расчет матрицы рисков по формуле

, где - максимально возможный выигрыш игрока А при состоянии Сj (максимальный элемент j-го столбца платежной матрицы).

Рассчитаем элементы матрицы рисков:

	В1	В2
А1	0,24	0,29
А3	0	0,58
А4	0,48	0

При оценке с помощью критерия Сэвиджа минимизируется величина максимального риска:

	В1	В2	max rij
А1	0,24	0,29	0,29
А3	0	0,58	0,58
А4	0,48	0	0,48

, т. е. оптимальной по критерию Сэвижда является также первая стратегия (первый портфель акций).

Рассчитаем оценки по критерию Байеса-Лапласа для случая, когда вероятности состояний рынка одинаковы и равны 0,5.

,

	В1	В2	li
А1	1,16	1,09	1,125
А3	1,4	0,8	1,1
А4	0,92	1,38	1,15

Оптимальной по критерию Байеса-Лапласа является четвертая стратегия (четвертый портфель акций).

Таким образом, проведенная нами оценка возможных портфелей акций банка дала два результата:

1. Оптимальным с точки зрения критерия Байеса-Лапласа является портфель №4, содержащий по 2 акции компаний К1 и К2.

2. Оптимальным с точки зрения критериев Вальда, Гурвица (k=0,7), Сэвиджа является портфель акций №1, содержащий по 1 акции каждой компании. Эти критерии более пессимистичны, нежели критерий Байеса-Лапласа, который оценивает состояния рынка рак равновероятные, поэтому для банка в качестве оптимального выбирается именно этот портфель.

Задача 3.1.

Для увеличения объемов выпуска пользующейся повышенным спросом продукции, изготовляемой предприятиями, выделены капиталовложения в объеме 100 млн. руб. Использование i-тым предприятием xi млн. руб. из указанных средств обеспечивает прирост выпуска продукции, определяемый значением нелинейной функции fi(xi).

Найти распределение капиталовложений между четырьмя предприятиями, обеспечивающее максимальное увеличение выпуска продукции, если средства могут распределяться между предприятиями по 20, 40, 60, 80 и 100 млн. руб. При вложении xi=0 прирост продукции fi(xi)=0.

Вариант 1
24	24	14	29
49	27	42	39
59	64	48	55
68	55	83	78
109	97	93	103

Решение.

Объем капиталовложений Хi (млн. руб.)	Прирост выпуска продукции в зависимости от объема капиталовложений
Предприятие 1	Предприятие 2	Предприятие 3	Предприятие 4
0	0	0	0	0
20	24	24	14	29
40	49	27	42	39
60	59	64	48	55
80	68	55	83	78
100	109	97	93	103

Для решения данной задачи динамического программирования следует составить рекуррентное соотношение Беллмана. В рассматриваемом случае это соотношение приводит к следующим рассматриваемым уравнениям:

Здесь функции определяют максимальный прирост выпуска продукции при соответствующих распределениях 100 млн. руб. капиталовложений между 4 предприятиями. Поэтому значение функции вычисляется лишь для одного значения Х = S = 100, так как объем капиталовложений, выделяемый для всех 4 предприятий, равен 100 млн. руб.

Используя теперь рекуррентные соотношения и исходные данные, приступаем теперь к нахождению решения задачи, т. е. к определению сначала условно-оптимальных, а затем и оптимальных распределений капиталовложений между предприятиями.

Начнем с определения условно оптимальных капиталовложений, выделяемых для развития первого предприятия. Для этого находим значения

для каждого Х, принимающего значения 0, 20, 40, 60, 80 и 100.

Пусть Х = 0, тогда . Возьмем теперь Х = 20 и получим

Здесь первая строка соответствует решению Х1 = 0, а вторая строка – решению Х1 = 20. Так как при персом решении прирост выпуска не обеспечивается, а при втором равен 24 млн. руб., то условно оптимальным решением является .

Результаты вычислений и соответствующие полученные оптимальные решения записываем в таблицу.

Объем капиталовложений, выделяемых первому предприятию, млн. руб.	Максимальный прирост выпуска продукции при данном объеме капиталовложений	Условно оптимальный объем капиталовложений , выделенных первому предприятию
0	0	0
20	24	20
40	49	40
60	59	60
80	68	80
100	109	100

Используя имеющиеся данные, определим условно оптимальные объемы капиталовложений, выделяемых второму предприятию.

Полученные результаты и найденные условно-оптимальные объемы капиталовложений, выделяемых второму предприятию, запишем в таблицу.

Объем капиталовложений, выделяемых двум предприятиям, млн. руб.	Максимальный прирост выпуска продукции при данном объеме капиталовложений	Условно оптимальный объем капиталовложений , выделенных второму предприятию
0	0	0
20	24	0
40	49	0
60	73	40
80	88	60
100	109	0

Произведем расчеты для третьего предприятия.

Полученные результаты и найденные условно-оптимальные объемы капиталовложений, выделяемых третьему предприятию, запишем в таблицу.

Объем капиталовложений, выделяемых трем предприятиям, млн. руб.	Максимальный прирост выпуска продукции при данном объеме капиталовложений	Условно оптимальный объем капиталовложений , выделенных третьему предприятию
0	0	0
20	24	0
40	49	0
60	73	0
80	91	40
100	115	40

Переходим теперь к нахождению значений

Так как число предприятий равно 4, то производим вычисления лишь для одного значения Х = 100:

.

Следовательно, максимальный прирост выпуска продукции – 120 млн. руб. Это достигается, когда четвертому предприятиловно-оптимальные объемы капиталовложений, выделяемых второму предприятию, запишем в таблицуРаасю выделяется 20 млн. руб., а трем остальным – 80 млн. руб.

Согласно расчетам для третьего предприятия, ему следует выделить 40 млн. руб.

Двум оставшимся предприятиям должно быть выделено 40 млн. руб.

Согласно расчетам для второго предприятия, ему не выделяется ничего.

Первому предприятию выделяется 40 млн. руб.

Таким образом, оптимальное распределение капиталовложений между предприятиями, при котором обеспечен максимальный прирост выпуска продукции, следующее:
Предприятие 1 – 40 млн. руб.;

Предприятие 2 – 0 млн. руб.;

Предприятие 3 – 40 млн. руб.;

Предприятие 4 – 20 млн. руб.