Теория вероятностей и математическая статистика (стр. 2 )

Экзамены.

Программа составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению подготовки 080807.65 – «Прикладная информатика».

Программу составили:

, к. ф.-м. н, доцент

Программа одобрена и утверждена на заседании кафедры прикладной информатики Протокол № 7 от 2010 г.

Заведующий кафедрой: ____________ Ю.И. Колюжов

Министерство культуры Российской Федерации

Алтайский филиал федерального государственного образовательного

учреждения высшего профессионального образования

«Московский государственный университет культуры и искусств»

Кафедра прикладной информатики

Учебно-методический комплекс дисциплины

Теория вероятностей и математическая статистика

Специальность: 080801.65 – «Прикладная информатика (в менеджменте)».

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО КУРСА

Ведущий лектор

, к. ф.-м. н., доцент

Барнаул 2010

СТРУКТУРА КОНСПЕКТА ЛЕКЦИЙ

Тема 1. Различные определения вероятности.

Классификация событий, Классическое определение вероятности, Статистическое определение вероятности, Геометрическое определение вероятности, Элементы комбинаторики. Непосредственное вычисление вероятностей. Действия над событиями.

Тема 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность события. Теорема умножения вероятностей. Независимые события.

Тема 3. Формула полной вероятности, формула Байеса.

Тема 4. Повторные независимые испытания.

Формула Бернулли. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра–Лапласа.

Тема 5. Случайные величины и их характеристики.

Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины

Математические операции над случайными величинами. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Дисперсия дискретной случайной величины. Функция распределения случайной величины. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности. Мода и медиана. Квантили. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс.

Тема 6. Свойства математического ожидания и дисперсии.

Тема 7. Основные законы распределения.

Биномиальный закон распределения. Закон распределения Пуассона. Геометрическое распределение. Равномерный закон распределения. Показательный (экспоненциальный) закон распределения. Нормальный закон распределения. Распределение некоторых случайных величин, представляющих функции нормальных величин.

Тема 8. Многомерные случайные величины.

Понятие многомерной случайной величины и закон ее распределения. Функция распределения многомерной случайной величины. Плотность вероятности двумерной случайной величины. Условные законы распределения. Числовые характеристики двумерной случайной величины. Регрессия. Зависимые и независимые случайные величины. Ковариация и коэффициент корреляции. Двумерный нормальный закон распределения. Функция случайных величин. Композиция законов распределения.

Тема 9. Закон больших чисел. Неравенство Маркова (лемма Чебышева). Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема.

2. Математическая статистика

Тема 10. Вариационные ряды и их характеристики.

Средние величины. Показатели вариации. Упрощенный способ расчета средней арифметической и дисперсии. Начальные н центральные моменты вариационного ряда.

Тема 11. Основы выборочного метода.

Общие сведения о выборочном методе. Понятие оценки параметров. Оценка параметров генеральной совокупности по собственно-случайной выборке. Понятие интервального оценивания. Доверительная вероятность и предельная ошибка выборки. Оценка характеристик генеральной совокупности по малой выборке.

Тема 12. Проверка статистических гипотез.

Принцип практической уверенности. Статистическая гипотеза и общая схема ее проверки. Проверка гипотез о равенстве средних двух и более совокупностей. Проверка гипотез о равенстве дисперсий двух и более совокупностей. Проверка гипотез о числовых значениях параметров. Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Проверка гипотез о законе распределения. Проверка гипотез об однородности выборок.

Тема 13. Дисперсионный анализ.

Однофакторный дисперсионный анализ. Понятие о двухфакторном дисперсионном анализе.

Тема 14. Корреляционный анализ.

Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Линейная парная регрессия. Коэффициент корреляции. Основные положения корреляционного анализа. Двумерная модель. Проверка значимости и интервальная оценка параметров связи. Корреляционное отношение и индекс корреляции. Понятие о многомерном корреляционном анализе.

Тема 15. Регрессионный анализ.

Основные положения регрессионного анализа. Парная регрессионная модель. Интервальная оценка и проверка значимости уравнения регрессии. Нелинейная регрессия. Множественный регрессионный анализ. Проверка значимости уравнения множественной регрессии.

Министерство культуры Российской Федерации

Алтайский филиал федерального государственного образовательного

учреждения высшего профессионального образования

«Московский государственный университет культуры и искусств»

Кафедра прикладной информатики

Учебно-методический комплекс дисциплины

Теория вероятностей и математическая статистика

Специальность: 080801.65 – «Прикладная информатика (в менеджменте)».

ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

Барнаул 2010

2 курс, 3 семестр

Контрольная работа № 1

Теория вероятностей

Вариант 1.

1. Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Первый стрелок попадает в цель с вероятностью 0,6, второй – с вероятностью 0,7, а третий – с вероятностью 0,75. Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.

2. Ожидается прибытие трех судов с фруктами. Статистика показывает, что 1% судов привозит товар, непригодный к пользованию. Найти вероятность того, что

а) хотя бы два судна привезут качественный товар;

б) ни одно судно не привезет качественный товар.

3. В среднем 5% студентов финансово-кредитного факультета сдают экзамен по высшей математике на «отлично». Найти вероятность того, что из 100 наудачу выбранных студентов этого факультета сдадут экзамен по математике на «отлично»:

а) два студента;

б) не менее пяти студентов.

4. Законы распределения случайных величин X и Y заданы таблицами:

Х:	xi	0	1		Y:	yi	-1	2	3
pi	?	0,4		pi	0,3	?	0,5

Найти:

а) вероятности P(X = 0) и P(Y = 2);

б) закон распределения случайной величины Z = X – Y;

в) дисперсию D(Z).

5. Объем продаж в течение месяца – это случайная величина, подчиненная нормальному закону распределения с параметрами а = 500 и s = 120. Найти вероятность того, что объем товара в данном месяце заключен в границах от 480 до 600.

Вариант 2.

1. Среди 20 одинаковых по внешнему виду тетрадей 16 в клетку. Наудачу взяли 4 тетради. Найти вероятность того, что из них

а) две тетради в клетку;

б) хотя бы одна тетрадь в клетку.

2. С конвейера сходит в среднем 85% изделий первого сорта. Сколько изделий необходимо взять, чтобы с вероятностью 0,997 отклонение доли изделий первого сорта среди отобранных от 0,85 не превосходило 0,01 (по абсолютной величине).

3. Из поступивших в магазин телефонов третья часть белого цвета, однако, определить цвет можно только после вскрытия упаковки. Найти вероятность того, что из шести распакованных телефонов

а) два аппарата белого цвета;

б) хотя бы один аппарат белого цвета.

4. Закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид:

xi	-4	-1	1	3	4	6
pi	0,1	0,2	0,1	0,1	0,4	0,1

Необходимо:

а) составить законы распределения случайных величин Y = 2X и Z = X2 ;

б) вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y;

в) построить график функции распределения случайной величины Z.

5. Суточный расход воды в населенном пункте является случайной величиной, среднее квадратическое отклонение которой равно 10000 л. Оценить вероятность того, что расход воды в этом пункте в течение дня отклонится от математического ожидания не более чем на 25000 л (по абсолютной величине).

Образец выполнения контрольной работы №1

Вариант 1.

1. Решение.

Событие Аi – «i – й стрелок попал в цель», противоположное событие – «i – й стрелок не попал в цель», i = 1, 2, 3. Вероятности этих событий

Р(А1) = 0,6, Р() = 1 - Р(А1) = 1 - 0,6 = 0,4;

Р(А2) = 0,7, Р() = 1 - Р(А2) = 1 - 0,7 = 0,3;

Р(А3) = 0,75, Р() = 1 - Р(А3) = 1 - 0,75 = 0,25.

Событие А - «хотя бы один стрелок попал в цель», противоположное событие – «ни один стрелок не попал в цель».

Событие можно записать так . Результаты выстрела любого из стрелков не зависят от результатов выстрелов других стрелков. Поэтому вероятность события равна Р() = Р() = 0,4 ∙ 0,3 ∙ 0,25 = 0,03.

Искомая вероятность события А равна Р(А) = 1 - Р() = 1 - 0,03 = 0,97.

Ответ: Вероятность хотя бы одного попадания в цель равна 0,97.

2. Решение.

Событие А – «судно привезет качественный товар» – происходит с вероятностью р = Р(А) = (100 – 1)/100 = 0,99; вероятность противоположного события – «судно не привезет качественный товар» q = Р() = 0,01. Число испытаний n = 3.

Применим формулу Бернулли: .

а) Событие В - «хотя бы два судна привезут качественный товар» означает, что либо два судна из трех привезут качественный товар либо все три судна привезут качественный товар. Вероятность события В равна Р(В) = Р3(k ³ 2) = Р3(2) + Р3(3).

3∙ 0,992∙ 0,011 = 0,029403;

1∙ 0,993∙ 0,010 = 0,970299;

Р(В) = Р3(k ³ 2) = 0,029403 + 0,970299 = 0,999702.

б) Событие С - «ни одно судно не привезет качественный товар». Вероятность события С равна Р(С) = Р3(0)

Р(С) = 1∙ 0,990∙ 0,013 = 0,000001.

Ответ:

а) вероятность того, что хотя бы два судна привезут качественный товар, равна 0,999702;

б) вероятность того, что ни одно судно не привезет качественный товар, равна 0,000001.

3. Решение.

Событие А – «студент сдаст экзамен по математике на «отлично»» – происходит с вероятностью р = Р(А) = 0,05; q = 1 - р = 1- 0,05 = 0,95. Число испытаний n = 100.

Так как вероятность р события А мала, число испытаний n достаточно велико и

np = 100 ∙ 0,05 = 5 < 10, то можно применить асимптотическую формулу Пуассона:

,

где l = np = 5; e -l = e -5 » 0,00674.

а) Событие В – «из 100 наудачу выбранных студентов сдадут экзамен по математике на «отлично» два студента». Его вероятность

Р(В) = Р100(2) = = » 12,5´0,00674 » 0,0842.

б) Событие С – «из 100 студентов сдадут экзамен по математике на «отлично» не менее пяти студентов». Его вероятность равна

Р(С) = Р100(k ³ 5) = 1 – Р100(k £ 4) = 1 – (Р100(0) + Р100(1) + Р100(2) + Р100(3) + Р100(4)).

Р(С) » 1 – e -5 ´ (1 + 5 + 12,5 + 20,8333 + 26,0417) »

» 1 – 0,00674´65,375 » 0,5594.

Ответ:

а) вероятность того, что из 100 наудачу выбранных студентов сдадут экзамен по математике на «отлично» два студента, приближенно равна 0,0842;

б) вероятность того, что из 100 студентов сдадут экзамен по математике на «отлично» не менее пяти студентов, приближенно равна 0,5594.

4. Решение.

а) Так как для случайной величины X должно выполняться условие p1 + p2 = 1, то

p1 = P(X = 0) = 1 – p2 = 1 – 0,4 = 0,6.

Так как для случайной величины Y должно выполняться условие p1 + p2 + p3 = 1, то

p2 = P(Y = 2) = 1 – (p1+ p3) = 1 – (0,3 + 0,5) = 0,2.

Получаем законы распределения случайной величины X и случайной величины Y:

Х:	xi	0	1		Y:	yi	-1	2	3
pi	0,6	0,4		pi	0,3	0,2	0,5

б) Найдем значения случайной величины Z.

Z = -3 при X = 0 и Y = 3

P(Z = -3) = P(X = 0) ´ P(Y = 3) = 0,6´0,5 = 0,3.

Z = -2 при (X = 0 и Y = 2) или (X = 1 и Y = 3)

P(Z = -2) = P(X = 0) ´ P(Y = 2) + P(X = 1) ´ P(Y = 3) = 0,6´0,2 + 0,4´0,5 = 0,32.

Z = -1 при (X = 1 и Y = 2)

P(Z = -2) = P(X = 1) ´ P(Y = 2) = 0,4´0,2 = 0,08.

Z = 1 при (X = 0 и Y = -1)

P(Z = 1) = P(X = 0) ´ P(Y = -1) = 0,6´0,3 = 0,18.

Z = 2 при (X = 1 и Y = -1)

P(Z = 2) = P(X = 1) ´ P(Y = -1) = 0,4´0,3 = 0,12.

Проверим условие p1 + p2 + p3 + p4 + p5 = 1

0,3 + 0,32 + 0,08 + 0,18 + 0,12 = 1.

Получаем закон распределения случайной величины Z:

zi	-3	-2	-1	1	2
pi	0,30	0,32	0,08	0,18	0,12

Проверим условие p1 + p2 + p3 + p4 + p5 = 1

0,30 + 0,32 + 0,08 + 0,18 + 0,12 = 1.

в) Математическое ожидание

М(Z) = z1р1 + z2р2 + z3р3 + z4р4 + z5р5 =

= - 3×0,3 – 2×0,32 – 1×0,08 + 1×0,18 + 2×0,12 = -1,2;

дисперсия D(Z) = М(Z2) – М2(Z) =

=×0,3 + (-2) 2×0,32 + (-1) 2×0,08 + 12×0,18 + 22×0,12 – (-1,2) 2 = 3,28.

5. Решение.

Вероятность того, случайная величина Х, подчиненная нормальному закону распределения, примет значения, принадлежащие интервалу [х1; х2], найдем по формуле

P (x1 £ X £ x2) .

P (480 £ X £ 600) » » 0,5 ´ (Ф(0,83) – Ф(-0,17)) »

» 0,5 ´ (Ф(0,83) + Ф(0,17)) » 0,5 ´ (0,5935 + 0,1350)) » 0,3643.

По таблице значений функции Лапласа находим значения

Ф(0,83) » 0,5935; Ф(0,17)) » 0,1350.

Ответ: вероятность того, что объем товара в данном месяце заключен в границах от 480 до 600, приближенно равна 0,3643.

2 курс, 4 семестр

Контрольная работа № 2

«Математическая статистика»

Вариант 1

1. С целью определения средней суммы вкладов в сберегательном банке, имеющем 2000 вкладчиков, по схеме собственно-случайной бесповторной выборки проведено обследование 100 вкладов. Результаты обследования представлены в таблице:

Сумма вклада, тыс. руб.	5					Итого
Число вкладов	14	24	35	20	7	100

Найти: а) границы, в которых с вероятностью 0,9488 находится средняя сумма всех вкладов в сберегательном банке; б) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для средней суммы вкладов в сберегательном банке (см. п. а)) можно гарантировать с вероятностью 0,9; в) вероятность того, что доля всех вкладчиков, у которых сумма вклада больше 250 тыс. руб., отличается от доли таких вкладчиков в выборке не более чем на 0,1 (по абсолютной величине).

2. По данным задачи 1, используя критерий c2 - Пирсона, при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – сумма вклада – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

3. Распределение 250 пар, вступивших в брак, по возрасту мужчин Х (лет) и женщин Y (лет) представлено в таблице:

y x	15 - 25	25 - 35	35 - 45	45 - 55	55 - 65	Итого:
15 - 25	7	3				10
25 - 35	52	110	13	1		176
35 - 45	1	14	23	2		40
45 - 55		1	4	6	1	12
55 - 65				3	6	9
65 - 75					3	3
Итого:	60	128	40	12	10	250

Необходимо: