1 СЕМЕСТР

Раздел 1. Линейная алгебра

Тема 1.1. Пространство Rn. Геометрическая интерпретация R2 и R3

Матрицы. Обратная матрица. Матричный метод решения систем линейных уравнений.

Выпуклые множества в Rn. Полупространства, выпуклые многогранные области. Системы линейных неравенств.

Тема 1.2. Системы линейных уравнений.

Тема 1.3. Метод Гаусса. Однородные системы

Линейная зависимость векторов. Базис пространства Rn.

Определители n-го порядка. Формулы Крамера.

Тема 1.4. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики. Уравнения Леонтьева.

Собственные векторы и собственные значения матриц. Модель линейного обмена. Раздел 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Тема 2.1.Определение производной. Связь производной и непрерывности. Геометрический смысл производной.

Правила вычисления производной. Производная сложной и обратной функции.

Производные высших порядков. Механический смысл 1 и 2 производных.

Производная функции, заданной параметрически.

Тема 2.2. Дифференцируемость функции. Дифференциал. Непрерывность дифференцируемой функции.

Дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы 1-го дифференциала.

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.

Тема 2.3. Теорема Тейлора. Необходимые и достаточные условия монотонности и постоянства функции.

Тема 2.4. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия экстремума.

Тема 2.5. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба.

Тема 2.6. Правило Лопиталя.

Общая схема исследования функции.

Раздел 3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Тема 3.1. Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица интегралов. Свойства неопределенных интегралов.

Интегрирование по частям, замена переменной в неопределенном интеграле.

Тема 3.2. Интегрирование рациональных функций.

Интегрирование простейших иррациональных и трансцендентных функций.

Тема 3.3. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл.

Верхние и нижние суммы Дарбу, их свойства.

Тема 3.4. Существование определенного интеграла.

Основные свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.

Тема 3.5. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.

Тема 3.6. Площадь плоской фигуры в декартовых и полярных координатах.

Длина дуги плоской кривой.

Вычисление объема тела вращения и площади поверхности вращения.

Тема 3.7. Статические моменты и координаты центра тяжести материальных линий и пластинок.

Тема 3.8. Понятие несобственного интегралs первого и второго рода. Их свойства и сходимость.

2 СЕМЕСТР

Раздел 4. Аналитическая геометрия

Тема 4.1. Аналитическая геометрия на плоскости

Аналитическая геометрия в пространстве

Кривые 2-го порядка

Поверхности 2-го порядка

Раздел 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Тема 5.1. n - мерные евклидовы пространства. Ограниченные и замкнутые множества. Связность, граница области.

Понятие функции нескольких переменных.

Предел и непрерывность. Свойства непрерывных функций.

Частные производные.

Дифференцируемость и полный дифференциал.

Дифференцирование сложной функции.

Тема 5.2. Уравнение касательной к кривой. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.

Понятие неявной функции.

Тема 5.3. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков.

Понятие о формуле Тейлора для функции 2-х переменных.

Экстремумы функции 2-х переменных. Необходимые и достаточные условия.

Производная функции по направлению. Градиент.

Раздел 6. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Тема 6.1. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла. Определение двойного интеграла и его свойства.

Тема 6.2. Интегрируемость непрерывной функции (без доказательства). Вычисление двойного интеграла (переход к повторному интегралу).

Тема 6.3. Замена переменных в двойном интеграле. Переход к полярным координатам (без доказательства).

Объём тела и его вычисление. Площадь поверхности (без доказательства).

Тема 6.4. Вычисление статических моментов и координат центра тяжести пластинок.

Задача о работе переменной силы вдоль криволинейного пути (самостоятельно).

Криволинейный интеграл и его свойства. Сведение криволинейного интеграла к определенному интегралу.

Тема 6.5. Формула Грина. Независимость интеграла от пути интегрирования.

Понятие тройного интеграла, его вычисление (самостоятельно).

Тема 6.6. Поверхностные интегралы 1 и 2 рода, их вычисление. Формула Остроградского (без доказательства). Векторный анализ.

Формула Стокса (без доказательства). Теория поля. Скалярные и векторные поля. Циркуляция, поток вектора, дивергенция и ротор. Оператор Гамильтона. Градиент скалярного поля. Линии векторного поля.

Раздел 7. Р Я Д Ы

Тема 7.1. Числовой ряд, частичная сумма и остаток ряда. Сходимость ряда. Гармонический ряд и геометрическая прогрессия. Свойства сходящихся рядов. Критерий Коши ( без доказательства).

Необходимое условие сходимости ряда. Положительные

ряды. Необходимое и достаточное условие сходимости

положительных рядов. Теоремы сравнения.

Достаточные признаки сходимости: Даламбера, Коши, интегральный признак Коши.

Абсолютная и условная сходимость ряда с произвольными членами. Знакочередующиеся ряды, теорема Лейбница.

Тема 7.2. Функциональные последовательности. Сходимость и равномерная сходимость функциональных последовательностей. Критерий равномерной сходимости (без доказательства).

Свойства равномерно сходящихся последовательностей (непрерывность предельной функции, интегрируемость и дифференцируемость).

Сходимость и равномерная сходимость функциональных рядов. Область сходимости. Критерий равномерной сходимости(без доказательства).

Теорема о непрерывности суммы, почленном интегрировании и дифференцировании функциональных рядов.

Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости.

Равномерная и абсолютная сходимость степенного ряда, непрерывность суммы, интегрирование и дифференцирование в интервале сходимости (без доказательства).

Единственность разложения функционального ряда в степенной ряд. Ряды Тейлора.

Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.

Приближенные вычисления с помощью рядов.

Тема 7.3. Тригонометрические ряды. Коэффициенты и ряд Фурье для периодических функций. Достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье (без доказательства).

Разложение в ряд Фурье непериодических функций. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций. Ряд Фурье в комплексной форме.

Раздел 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Тема 8.1. Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения. Начальные условия. Дифференциальные уравнения как поле направлений. Решение дифференциальных уравнений. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения (без доказательства).

Тема 8.2. Понятие общего решения. Уравнение первого порядка разрешимые относительно производной (в полных дифференциалах; с разделяющимися переменными; уравнения однородные относительно переменных; линейные уравнения первого порядка).

Тема 8.3. Дифференциальные уравнения высших порядков. Случаи понижения. Понятие об особом решении.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Фундаментальная система частных решений однородного линейного уравнения. Структура общего решения (без доказательства).

Тема 8.4. Решение линейных однородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

Нахождение частных решений неоднородного уравнения по виду правой части. Метод вариации произвольных постоянных.

Тема 8.5. Свободные и вынужденные колебания. Резонанс (самостоятельно). Уравнения математической физики. Уравнения колебания струны. Решение задачи о свободных колебаниях закрепленной на концах струны методом Фурье.

5. Образовательные технологии.

В ходе освоения дисциплины «Высшая математика», при проведении аудиторных занятий, используются технологии традиционных и нетрадиционных учебных занятий.

Технология традиционного обучения предусматривает такие методы и формы изучения материала как лекция, практические занятия:

·  информационная лекция:

тема 1;

тема 2.1-2.7;

тема 3.5-3.10;

тема 4.1-4.4;

тема 5.1,5.6;

темы 6.3,6.8;

тема 7.3-7.7;

тема 8.1-8.5;

Практические занятия направлены на формирование у студентов умений и навыков решения задач, в том числе с практическим содержанием и исследовательских задач. В ходе проведения практических занятий используются задания учебно-тренировочного характера и задания творческого характера.

При изучении дисциплины «Высшая математика» используются активные и интерактивные технологии обучения, такие как:

·  технология сотрудничества, включающая работу в малых группах (тема 2.2.; тема 5.2.; тема 5.3.) и коллективную мыслительную деятельность (6.4,8.4);

·  медиатехнология (подготовка и демонстрация презентаций);

·  кейс-технология (проблемный метод, работа в парах и группах).

Нетрадиционные учебные занятия проводятся в форме тренинга, занятий-соревнований (заключительные практические занятия по изучаемым темам).

Занятия, проводимые в интерактивной форме, в том числе с использованием интерактивных технологий составляют 25% от общего количества аудиторных занятий.

Самостоятельная работа студентов подразумевает работу под руководством преподавателя (консультации, коллоквиумы) и индивидуальную работу студента, выполняемую, в том числе, в компьютерном классе с выходом в сеть «Интернет» на физико-математическом факультете университета.

При реализации образовательных технологий используются следующие виды самостоятельной работы:

·  работа с конспектом лекции;

·  работа с учебником;

·  решение задач и упражнений по образцу;

·  решение вариативных задач и упражнений;

·  подготовка доклада по заданной теме с компьютерной презентацией;

·  поиск информации в сети «Интернет» и дополнительной и справочной литературе;

·  мини-исследование;

·  подготовка к сдаче зачета;

·  подготовка к сдаче экзамена.

6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.

Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,

промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.

Самостоятельная работа студента.

Неделя

№

темы

Вид самостоятельной работы

Рекомендуемая

литература

Часы

1

2

3

4

5

1 семестр

1

Линейная алгебра

16

1

1.1

Подготовка к аудиторному занятию:

· работа с конспектом лекций:

· работа с учебником:

Матрицы. Обратная матрица. Матричный метод решения систем линейных уравнений. Определители n-го порядка

Выпуклые множества в Rn. Полупространства, выпуклые многогранные области.

·  решение задач и упражнений по образцу;

·  решение вариативных задач и упражнений;

·  подготовка к коллоквиуму

1,2,3,9,10,11 (1,4)

4

2

1.2.

Подготовка к аудиторному занятию:

· работа с конспектом лекций:

· работа с учебником:

Пространство Rn. Геометрическая интерпретация R2 и R3 Системы линейных уравнений.

·  решение задач и упражнений по образцу;

·  решение вариативных задач и упражнений;

·  подготовка к тесту

1,2,3,9,10,11 (1,4)

4

3

1.3

Подготовка к аудиторному занятию:

· работа с конспектом лекций:

· работа с учебником:

Метод Гаусса. Однородные системы

Линейная зависимость векторов. Базис пространства Rn. Формулы Крамера.

·  решение задач и упражнений по образцу;

·  решение вариативных задач и упражнений;

·  подготовка к коллоквиуму, собеседованию

1,2,3,9,10,11 (1,4)

4

4

1.4.

Подготовка к аудиторному занятию:

· работа с конспектом лекции:

Матрицы. Обратная матрица. Матричный метод решения систем линейных уравнений.

Выпуклые множества в Rn. Полупространства, выпуклые многогранные области.

·  Собственные векторы и собственные значения матриц. Модель линейного обмена

·  работа с учебником:

Системы линейных неравенств.

·  Модель Леонтьева многоотраслевой экономики. Уравнения Леонтьева.

·  решение задач и упражнений по образцу;

·  решение вариативных задач и упражнений;

·  подготовка к контрольной работе

1,2,3,9,10,11 (1,4)

4

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

24

5

2.1

Подготовка к аудиторному занятию:

· работа с конспектом лекции:

изучение правил дифференцирования и вывод формул для производных основных элементарных функций; доказательство теорем о производной обратной и сложной функций;

·  работа с учебником:

изучение вопроса: «Инвариантность формы дифференциала первого порядка», «Производные и дифференциалы высших порядков»;

·  решение задач и упражнений по образцу;

·  решение вариативных задач и упражнений;

·  подготовка к коллоквиуму.

1,2,3,7,9,10,11 (1,3,9,12)

4

6

2.2

Подготовка к аудиторному занятию:

· работа с конспектом лекции:

доказательство основных теорем дифференциального исчисления; теорем о применении производной к исследованию функций на монотонность, экстремумы и выпуклость;

·  работа с учебником:

изучение тем: «Исследование функций и построение их графиков», «Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке»;

·  решение задач и упражнений по образцу;

·  решение вариативных задач и упражнений;

·  подготовка доклада по заданной теме с компьютерной презентацией;

·  подготовка к тесту

1,2,3,7,9,10,11 (1,3,9,12)

4

7

2.3

Подготовка к аудиторному занятию:

· работа с конспектом лекции:

изучение формулы Тейлора. Необходимые и достаточные условия постоянства и монотонности функции;

·  работа с учебником:

изучение вопроса: «Необходимые и достаточные условия постоянства и монотонности функции»;

·  решение задач и упражнений по образцу;

·  решение вариативных задач и упражнений;

·  подготовка доклада по заданной теме с компьютерной презентацией;

·  подготовка к коллоквиуму.

1,2,3,7,9,10,11 (1,3,9,12)

4

8-10

2.4-2.6

Подготовка к аудиторному занятию:

· работа с конспектом лекции:

Экстремум функции. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции;

·  работа с учебником:

изучение вопроса: «Правило Лопиталя»;

·  решение задач и упражнений по образцу;

·  решение вариативных задач и упражнений;

·  подготовка доклада по заданной теме с компьютерной презентацией;

·  подготовка к коллоквиуму.

1,2,3,7,9,10,11 (1,3,9,12)

12

Интегральное исчисление функции одной переменной

32

11-14

3.1-3.4

Подготовка к аудиторному занятию:

· работа с конспектом лекции:

изучение основных методов интегрирования; методов интегрирования рациональных, иррациональных и трансцендентных функций;

·  работа с учебником:

изучение вопроса «Вычисление интегралов от рациональных функций методом Остроградского»;

·  решение задач и упражнений по образцу;

·  решение вариативных задач и упражнений;

·  подготовка к коллоквиуму;

·  мини-исследование по теме “Применение при вычислении интегралов от тригонометрических функций метода неопределенных коэффициентов”

1,2,3,7,9,10,11 (1,3,6,9,12)

16

15

3.5

Подготовка к аудиторному занятию:

· работа с конспектом лекции:

разбор задач, приводящих к понятию определенного интеграла, критерий интегрируемости и его применение для установления классов интегрируемых функций;

·  работа с учебником:

изучение вопроса: «Другие выводы формулы Ньютона-Лейбница»;

·  решение задач и упражнений по образцу;

·  решение вариативных задач и упражнений;

·  подготовка к коллоквиуму.

1,2,3,7,9,10,11 (1,3,6,9,12)

8

16-17

3.6-3.7

Подготовка к аудиторному занятию:

· работа с конспектом лекции:

вывод формул для вычисления площадей фигур в декартовых и полярных координатах, для вычисления объемов тел и длины плоской кривой;

·  работа с учебником:

изучение вопроса “Вычисление площади фигуры, ограниченной параметрически заданной кривой”;

·  решение задач и упражнений по образцу;

·  решение вариативных задач и упражнений;

·  подготовка к коллоквиуму;

·  подготовка доклада по заданной теме с компьютерной презентацией;

1,2,3,7,9,10,11 (1,3,6,9,12)

6

18

3.8.

Подготовка к аудиторному занятию:

· работа с конспектом лекции;

изучение признаков сходимости несобственных интегралов I рода;

·  работа с учебником:

изучение вопросов: “Независимость величины несобственного интеграла от выбора промежуточной точки в его определении”, “Признаки сходимости несобственных интегралов II рода”;

·  решение задач и упражнений по образцу;

·  решение вариативных задач и упражнений

1,2,3,7,9,10,11 (1,3,9,12)

2

2 семестр

Аналитическая геометрия

4

1

4.1

Подготовка к аудиторному занятию:

· работа с конспектом лекции:

Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия в пространстве;

·  работа с учебником:

изучение вопросов “Кривые второго порядка”, “ Поверхности второго порядка”;

·  решение задач и упражнений по образцу;

·  решение вариативных задач и упражнений;

подготовка к собеседованию.

1,2,3,7,9,10,11 (1,3,9,12)

4

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

12

2

5.1

Подготовка к аудиторному занятию:

· работа с конспектом лекции:

изучить определение частных производных, его особенности; изучить достаточные и необходимые условия дифференцируемости функции двух переменных, их отличия от соответствующих условия для функции одного переменного; изучить понятие производной по направлению, градиента функции;

·  работа с учебником:

изучение вопросов “Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности”, “Дифференцирование неявно заданных функций нескольких переменных”, “ Производная по направлению для функции трех переменных”;

·  решение задач и упражнений по образцу;

·  решение вариативных задач и упражнений;

·  подготовка к собеседованию.

1,2,3,9,10,11 (1,3,9,11,13)

4

3-4

5.2-5.3

Подготовка к аудиторному занятию:

· работа с конспектом лекции;

рассмотреть исследование функций двух переменных на экстремумы и локальные экстремумы;

·  работа с учебником:

изучить вопрос о нахождении наибольших и наименьших значений функции двух переменных, заданной в некоторой области;

·  решение задач и упражнений по образцу;

·  решение вариативных задач и упражнений;

·  подготовка доклада по заданной теме;

·  подготовка к собеседованию.

1,2,3,9,10,11 (1,3,9,11,13)

8

Интегральное исчисление для функций нескольких переменных

24

5-7

6.1-6.3

Подготовка к аудиторному занятию:

· работа с конспектом лекции:

рассмотрение задач, приводящих к понятию двойного интеграла; геометрический смысл двойного интеграла; доказательство формул для вычисления двойных интегралов;

·  работа с учебником:

изучение вопросов: задачи, приводящие к понятию тройного интеграла, геометрический смысл тройного интеграла, его вычисление, замена переменных в тройном интеграле;

·  решение упражнений по образцу;

·  подготовка доклада по заданной теме с компьютерной презентацией;

·  подготовка к собеседованию

1,2,3,9,10,11,14 (1,3,5,7,9,13)

12

8-10

6.4-6.6

Подготовка к аудиторному занятию:

· работа с конспектом лекции:

Изучение определений криволинейного интеграла I и II рода, их свойств; получение формул для их вычисления;

·  работа с учебником:

изучение вопроса: приложения криволинейных интегралов;

·  решение упражнений по образцу;

·  решение вариативных задач и упражнений

1,2,3,9,10,11,14 (1,3,5,7,9,13)

12

7

Ряды

12

11

7.1

Подготовка к аудиторному занятию:

· работа с конспектом лекции:

изучение необходимого условия сходимости ряда, признаков сходимости положительных рядов, доказательство теоремы Лейбница; доказательство теоремы Вейерштрасса, теорем о свойствах равномерно сходящихся функциональных рядов;

·  работа с учебником:

изучение тем: «Сравнение признака Даламбера и радикального признака Коши», «Примеры знакочередующихся рядов, к которым не применим признак Лейбница»; «Примеры равномерно и неравномерно сходящихся последовательностей и рядов»

·  решение задач и упражнений по образцу;

·  решение вариативных задач и упражнений;

·  подготовка к собеседованию.

1,2,3,7,9,10,11 (1,3,9,13)

4

12

7.2.

Подготовка к аудиторному занятию:

· работа с конспектом лекции:

доказательство теоремы Абеля, теоремы о единственности разложения функции в ряд Тейлора, достаточных признаков сходимости ряда;

·  работа с учебником:

изучение темы: «Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора»;

·  решение задач и упражнений по образцу;

·  решение вариативных задач и упражнений;

·  подготовка к собеседованию;

·  Мини-исследование “Применение положительных рядов в приближенных вычислениях. Оценка погрешности”.

1,2,3,7,9,10,11 (1,3,9,13)

4

13

7.3

Подготовка к аудиторному занятию:

· работа с конспектом лекции:

изучение свойств рядов Фурье; достаточных условий разложимости функции в тригонометрический ряд Фурье;

·  работа с учебником:

изучение темы: «Ряд Фурье с периодом 2l»;

·  решение задач и упражнений по образцу;

·  решение вариативных задач и упражнений;

4,5,7,9 (1,3,9)

4

8

Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными

20

14

8.1

Подготовка к аудиторному занятию:

· работа с конспектом лекции:

Изучение классификации дифференциальных уравнений первого порядка, уравнений, сводящихся к ним, и методов решения; изучение типов уравнений, допускающих понижение порядка;

·  работа с учебником:

изучение вопросов “Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка”, “Особые решения дифференциальных уравнений”;

·  решение упражнений по образцу;

·  решение вариативных задач и упражнений;

·  подготовка к собеседованию

8,11,12,15,16

(6,8)

4

15

8.2

Подготовка к аудиторному занятию:

· работа с конспектом лекции:

доказательство теорем об общем виде решения линейного однородного и неоднородного дифференциального уравнения; изучение различных случаев, возникающих при поиске решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами; поиск частного решения неоднородного уравнения;

·  работа с учебником:

изучение вопроса “Вид частного решения неоднородного уравнения в зависимости од вида правой части уравнения”;

·  решение упражнений по образцу;

·  решение вариативных задач и упражнений;

·  подготовка к собеседованию

8,11,12,15,16

(6,8)

4

16-17

8.3-8.4

Подготовка к аудиторному занятию:

· работа с конспектом лекции:

Изучение основных понятий теории систем дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных и методов их решения;

·  работа с учебником:

изучение вопроса “Другие методы интегрирования систем дифференциальных уравнений”;

·  решение упражнений по образцу;

·  решение вариативных задач и упражнений;

·  подготовка к собеседованию

8,11,12,15,16

(6,8)

8

18

8.5

Подготовка к аудиторному занятию:

· работа с конспектом лекции:

изучение приложения дифференциальных уравнений к изучению колебательных процессов;

·  работа с учебником;

изучение вопроса “История возникновения и развития дифференциальных уравнений”;

·  решение упражнений по образцу;

·  поиск информации в сети «Интернет» и в дополнительной и справочной литературе;

·  подготовка доклада по заданной теме с компьютерной презентацией

8,11,12,15,16

(6,8)

4

1 СЕМЕСТР

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3