Основні геометричні фігури та їх властивості

Тему: «ОСНОВНІ

ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ

ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ»

коментує ПЕТРО ГУНЬКО, учень 7-А класу.

Артем, пропоную тобі подивитися на знайомі нам ще з початкової школи деякі речі дещо по-новому, начебто бачити все з самого початку від тоді, як спостерігаючи за конкретними, реальними об’єктами, наприклад, за тінню, що відкидає тополя, за променем сонця, що проходить крізь щілину і впирається у підлогу, людська уява створила абстрактні геометричні поняття: точка, пряма, площина, яких у природі не існує!

А ось властивості цих понять можна спостерігати і на реальних фізичних об’єктах, як то: паралельність колій для руху потягів,

прямолінійність рейок,

поверхні шибок, столів, тощо.

І дійсно, наділивши ці ідеальні поняття певними властивостями, а таких властивостей Євклід запропонував десять, можна одержати будь-які геометричні фігури із вже власними властивостями. Цю десятку Євклід поділив на П’ЯТЬ груп за певним логічним змістом. І ось що важливо: дані властивості треба сприймати без обгрунтування, на віру, тому вони називаються АКСІОМАМИ, що відрізняє їх від ТЕОРЕМ - тверджень, які треба доводити, спираючись на аксіоми та раніше доведені теореми.

То ось вони, основні геометричні фігури та їх властивості:

b

A

a

площина b

точка А пряма а

І гр. Аксіоми належності точок прямій:

B

a

C

B

А І. 1) 2)

A

D

 

Яка б не була пряма, існують Через будь-які дві різні точки можна провести пряму,

точки, що належать цій прямій, і тільки одну.

і точки, що їй не належать.

ІІ гр. Аксіоми розміщення точок на прямій та пямої на площині:

a

a

B

A

А ІІ. 1) 2)

a
b

З трьох точок прямої одна Будь-яка пряма ділить площину

і тільки одна лежить між на дві півплощини.

двома іншими.

Ці чотири властивості дають змогу одержати, тобто, дати означення,

новим фігурам:

 

B

O

Променем називається

частина прямої, усі точки якої

лежать по один бік від даної точки, Доповняльними називаються два променя,

яку називають початком променя. які мають спільний початок і доповнюють

один одного до прямої.

B

 

A

Кутом називають

O

частину площини, обмежену

двома променями із спільним початком. Розгорнутим кутом називають кут,

B

A

сторони якого є доповняльними променями.

 

Відрізком АВ називають

частину прямої, яка складається з точок А і В

та всіх точок, що лежать між ними.

Прямокутником називається чотирикутник,

усі кути якого прямі.

Звісно, що це тільки приклади фігур. Їх значно більше. І усі вони мають власні властивості. Ну, а ми з тобою повернемося до аксіом Євкліда:

ІІІ гр. Аксіоми вимірювання відрізків і кутів:

C

O

B

C

A

А ІІІ. 1) 2)

B

АВ = АС + СВ АОВ = АОС+ СОВ

Кожний відрізок має певну довжину. Кожний кут має певну міру.

Довжина відрізка дорівнює сумі довжин Міра кута дорівнює сумі мір кутів, на які

частин, на які його розбиває будь-яка його даний кут розбивається його внутрішнім

внутрішня точкааа

ІVгр. Аксіоми відкладання відрізків і кутів:

b

А ІV. 1) 2)

На промені, від його початку, Від променя в задану півплощину можна

можна відкласти відрізок даної відкласти кут даної міри, і тільки один.

довжини, і тільки один.

3)

Яким би не був трикутник, існує рівний йому трикутник

в заданому розташуванні відносно даної півпрямої.

Взагалі, за словами Г. Спенсера,:

«Основна ідея, якою пройнята вся математика, -

це ідея рівності.»

Підтвердженням тому є поняття: - рівняння;

- тотожність;

- тотожні перетворення виразів;

- рівні геометричні фігури;

- перетворення геометричних фігур, які є рухом, тощо.

І, нарешті, десята властивість основних понять геометрії, якою наділив Євклід прямі на площині:

Vгр. Аксіома паралельності прямих:

b

B

А V. Паралельними називають прямі на площині,

якщо вони не перетинаються, тобто,

a

не мають спільних точок.

( b ІІ а)

Через точку, яка не належить прямій,

можна провести пряму, паралельну даній прямій,

і тільки одну.

І ось, що цікаво: досить було М. І.Лобачевському припустити, що через точку, яка не належить прямій, проходить більше, ніж одна пряма, паралельна даній, відаазу ж найшлося застосузання і такій геометрії, яка від тоді, завдяки своєму творцеві, так і називається: ГЕОМЕТРІЯ ЛОБАЧЕВСЬКОГО.

А ще дуже цікавою своїми властивостями мені здалася поверхня Римана,

на якій аксіоми Євкліда теж не можуть бути застосовані, але закони, яким наслідують обєкти цієї поверхні, працюють у космічному просторі!

Про все це, і багато ще про що, можна дізнатись, якщо почитати відповідну додаткову літературу, або знайти у інтернеті відповіді на питання, які тебе цікавлять.

Ну, а тепер, теоретичні знання застосуємо при виконанні

практичних завдань:

1. а.) Прокоментуй взаємне розташування точок і прямих на малюнку:

P

C

K

a

B

б. ) Назови усі фігури, які створені на малюнку.

2. Відрізок АВ внутрішньою точкою М поділений у відношенні 5:3. Чому дорівнюють довжини усіх створених відрізків, якщо різниця між більшою і меншою частинами відрізка АВ дорівнює 7 см?

3. Кут АОВ дорівнює 160°. В ньому проведено бісектрису ОК і промень ОР, які поділили кут АОВ у відношенні 4:3:1.

Знайди градусну міру кожного із створених кутів.

Перевір правильність виконаного завдання.

Відповіді і розв’язки завдань:

1.  Розв’язання.

а. ) Прямій а належать точки А, К, С. Цій прямій не належать точки Р і В.

Прямій b належать точки В та А, і не належать точки Р, К, С.

Точка А є точкою перетинання прямих а і b, тобто, точка А належить і прямій а,

і прямій b.

б.) Промені АК і йому доповняльний; промені КА і КС;

промені СА і йому доповняльний; промені ВА і йому доповняльний;

промінь АВ і йому доповняльний.

Відрізки АК, КС, АВ, АС.

Кут ВАС, суміжні з ним кути 1 і 3, та вертикальний з ним кут 2.

2.  Розв’язання.

А М В

1) 5 – 3 = 2(частини) – різниця більшої і меншої частин;

2) 7 : 2 = 3,5 (см) – приходиться на одну частину;

3) 3,5 × 5 = 17,5 (см) – довжина відрізку АМ;

4) 3,5 × 3 = 10,5 (см) – довжина відрізку МВ;

5) 3,5 × (5+3) = 28 (см) – довжина відрізку АВ.

Aбо: 17,5 + 10,5 = 28 (см) – довжина відрізку АВ

Відповідь : 17,5 см; 10,5 см; 28 см.

3 . Розв’язання.

 

K

A

P

 

B

 

1.)  За означенням бісектриса ділить кут навпіл, тому

ÐАОК = ÐКОВ =160° : 2 = 80°;

2.)  За умовою промінь ОР ділить кут КОВ у відношенні 3:1, тому:

ÐКОР = 3/4 × 80° = 60°;

ÐРОВ = 1/4 × 80° = 20°.

або: ÐКОР = 3/8 ×160° = 60°;

ÐРОВ = 1/8 × 160° = 20°;

ÐАОК = ÐКОВ = 4/8 ×160° = 80°.

3.)  ÐАОР = 80° + 60° = 140°.

Відповідь: 80°; 60°; 20°; 140°.

Артем, у підручнику «Геометрія-7» ти знайдеш багато завдань з даної теми.

Бажаю тобі успіхів в оволодінні як теоретичною,

так і практичною частинами теми:

«ОСНОВНІ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ

ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ».

Тести до теми:

«Основні геометричні фірури та їх властивості»:

1.)

b

a

Точка О є точкою перетину прямих а і b.

Якій з прямих належить точка О ?

А: прямій а; В: і прямій а, і прямій b;

Б: прямій b ; Г: не належить жодній прямій.

a

2.)

На прямій а обрано точки А, В, С так, що АВ = 7см, ВС = 6 см.

Чому дорівнює довжина відрізку АС?

А: 13см; В: 1см;

Б: 1см, або 13см; Г: 6см, або 7см.

 

К

3.)

Кут АОВ променем ОК поділений на частини так, що Ð АОК на 25° більший,

ніж Ð КОВ. Знайдіть кожний із створених кутів, якщо Ð АОВ = 55°.

В

А

4.)

Р	С

Відрізок АВ своїми внутрішніми точками Р і С поділений на відрізки, що пропорційні числам: АР: РС: СВ = 2: 5:3.

Знайдіть довжини даних відрізків, якщо довжина АВ дорівнює 15см.

А: 2см; 5см; 3см; В: 3см; 7,5см; 4,5см;

Б: 3см; 7см; 5см; Г: 3см; 8см; 4см.

c

 

B

A

5.)

Розгорнутий кут АОВ променями m, n, c поділений на кути, градусна міра яких пропорційна числам 1: 2: 8: 1. Знайдіть градусні міри ціх частин розгорнутого кута.

Геометрія Євкліда

Планіметрія

Основні геометричні фігури та їх властивості:	Нові фігури та їх властивості:
b   А   пряма а     площина b   точка А	F   F   D   C   B   K   F   трапеція ABCD: AD || BC AB || CD   A   F   M   K   P   паралелограм MPKF: MP||FK MF||PK   С   А   В   трикутник АВС   многокутник   C   A   K
промені АF, AB   І. Аксіоми належності точок та прямих:
АІ		B   А   F   C   1).	B   А   а   2).
кут КАС   ІІ. Аксіоми взаємного розташування:
АІІ		а   C   1).	b   g   а   2).
ІІІ. Аксіоми вимірювання відрізків та кутів:
АІІІ		C   B   A     ÐAOB=ÐAOC+ÐCOB   AB=AC+CB   1).	А   C   B   O   2).	C   O   ÐCOF - розгорнутий   F   180°
C   C   IV. Аксіоми відкладання відрізків та кутів:
АІV		В   A   AB=2 см   1).	А   В   DABC=DFMK   ÐВАС=23°   2).	М   В   F   А   К   3).
V.Аксіома паралельності прямих:
АV		a   b   В	b||a