Самостоятельная работа студентов заключается в изучении лекционного материала с привлечением учебных пособий и самостоятельного изучения отдельных вопросов, задаваемых преподавателем, в подготовке к проведению лабораторных работ.
1. Множество действительных числе; действия над действительными числами.
2. «О» - символика.
3. Непрерывность элементарных функций.
4. Асимптотические разложения элементарных функций.
5. Формы остаточных членов формулы Тейлора. Применение в приближенных вычислениях (абсолютная и относительная погрешности).
6. Механические и физические задачи приводящие к понятию интеграла Римана.
7. Неравенства Гельдера и Минковского. Преобразование Абеля.
8. Обзор основных метрических и топологических характеристик точечных множеств евклидова пространства.
9. Касательная плоскость и нормаль поверхности.
10. Отображение 
дифференцирование, матрица производной.
11. Локальное обращение дифференцируемого отображения и теорема о неявном отображении.
12. Неравенства Гельдера и Минковского в числовых рядах. Преобразование. Абеля и его применение к рядам.
13. Двойные ряды. Понятие о бесконечных произведениях. 14.Разложение элементарных функций в степенные ряды. 15.Интеграл Фурье и преобразование Фурье.
3. 4. Линия курса
Рабочая программа предусматривает следующую последовательность изучения разделов дисциплины по семестрам:
ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР
- введение ;
- числовые множества;
- теория пределов;
- непрерывные функции;
- дифференциалы и производные функций одной переменной.
ВТОРОЙ СЕМЕСТР
- неопределенный интеграл;
- определенный интеграл;
- несобственные интегралы.
ТРЕТИЙ СЕМЕСТР
- функции нескольких переменных;
- числовые ряды;
- функциональные последовательности и ряды,
- ряд Фурье.
ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР
- кратные интегралы;
- криволинейные и поверхностные интегралы;
- элементы теории поля.
4. ТРЕБОВАНИЯ К СТУДЕНТУ ПО РАЗДЕЛАМ КУРСА
Числовые множества
Студент должен знать:
- определение натурального (рационального, иррационального, действительного) числа; целой (дробной) части числа; модуля действительного числа; точной верхней (нижней) грани числового множества на языке "е";
- о существовании иррационального числа;
- формулировку леммы Гейне-Бореля о конечном покрытии;
- доказательство принципа вложенных отрезков.
Студент должен уметь:
- производить операции над действительными числами;
- использовать свойства модуля действительного числа;
- применять метод математической индукции;
- находить точную верхнюю (нижнюю) грань; наибольший (наименьший) элемент числового множества.
Студент должен иметь представление:
- о бесконечных множествах;
- об алгебраических (трансцендентных) числах.
Теория пределов
Студент должен знать
- определение ограниченной (монотонной, сходящейся, фундаментальной) последовательности; предела (предельной точки) числовой последовательности; предела функции в точке по Гейне (по Коши); бесконечно малой (бесконечно большой) величины;
- формулировку критерия Коши о существовании предела числовой последовательности (функции).
Студент должен уметь:
- доказывать теорему Больцано-Вейерштрасса о выделении сходящейся подпоследовательности;
- записывать условие ограниченности (неограниченности, монотонности, четности, периодичности) функции;
- доказывать существование предела последовательности (функции), используя его определение;
- вычислять пределы функции вида Pn(x)/Qm(x) при 
;
- использовать при вычислении пределов первый (второй) замечательный предел, таблицу эквивалентностей, символы "о", "О" и "~".
Студент должен иметь представление:
- о построении эскиза графика функции одной переменной с помощью элементарных преобразований;
- об алгебраических (трансцендентных) функциях
Непрерывные функции
Студент должен знать:
- определение ограниченной (монотонной) функции; непрерывности функции в точке (на множестве), равномерной непрерывности на множестве; точки разрыва первого (второго) рода, точки устранимого разрыва;
- формулировку теоремы Кантора о равномерной непрерывности;
- доказательство теоремы об обращении функции в нуль; теоремы о промежуточном значении функции; теоремы об ограниченности функции; теоремы о наибольшем и наименьшем значениях функции.
Студент должен уметь:
- находить и определять характер точек разрыва функции;
- изображать схематически поведение функции в точках разрыва (на бесконечности);
- доказывать непрерывность функций хm, ех. In x, sin x, cos x.
Студент должен иметь представление:
- об условиях существования и непрерывности обратной функции, суперпозиции функций;
- об ограниченности (устойчивости знака) непрерывной функции в точке;
- о применении теоремы Больцано-Коши об обращении непрерывной функции в нуль для нахождения приближенного корня функционального уравнения.
Дифференциалы и производные функции одной переменной
Студент должен знать:
- определение дифференциала, производной функции в точке, экстремума; асимптоты;
- геометрический (механический) смысл производной;
- таблицу производных основных элементарных функций;
- необходимое и достаточные условия экстремума (точки перегиба);
- формулы асимптотических разложений функций: ех. In (1+х), (l+x)m, sin x, cos x;
- вид остаточного члена формулы Тейлора в форме Пеано (Лагранжа);
- формулировку теоремы Коши о конечных приращениях;
- доказательство теоремы Ферма; теоремы Ролля; теоремы Лагранжа;
Студент должен уметь:
- записывать приращение функции;
- исследовать функцию на дифференцируемость;
- дифференцировать функцию, заданную явно (неявно, параметрически); функцию, заданную кусочно;
- находить дифференциал второго порядка сложной функции; экстремум, точку перегиба, наибольшее (наименьшее) значение функции;
- исследовать и строить график рациональной функции;
- применять формулу Лейбница;
- использовать геометрическую интерпретацию теоремы Лагранжа; формулы асимптотических разложений функций ех. In(1+х), (1+х)"1, sin x, cos x для вычисления пределов; правило Лопиталя;
- решать задачи на экстремум, на нахождение наибольшего и наименьшего значений.
Студент должен иметь представление:
- об инвариантности формы первого дифференциала функции.
Неопределенный интеграл
Студент должен знать:
- определение первообразной, неопределенного интеграла;
- таблицу интегралов основных элементарных функций;
- формулу интегрирования по частям;
- метод неопределенных коэффициентов;
- первообразные простейших дробей вида:
А/(х-а), А/(х-а)m (Вх + + С)/(х2 + рх + q).
Студент должен уметь:
- разлагать правильную рациональную дробь на простейшие дроби,
- интегрировать рациональные функции.
Студент должен иметь представление:
- о рационализации тригонометрических (иррациональных, трансцентдентных) функций.
Определенный интеграл
Студент должен знать:
- определение суммы Римана (Дарбу); определенного интеграла;
- свойство линейности (аддитивности) определенного интеграла;
- формулу Ньютона-Лейбница;
- формулировку теоремы о среднем.
Студент должен уметь:
- применять метод замены переменной в определенном интеграле;
- находить длину дуги кривой; площадь плоской фигуры; объем (площадь поверхности) тела вращения.
Студент должен иметь представление:
- о применении определенного интеграла к задачам механики и физики;
- о связи операций дифференцирования и интегрирования;
- о несобственном интеграле первого (второго) рода;
- - об эйлеровых интегралах и их применении.
Функции нескольких переменных
Студент должен знать:
- определение внутренней (граничной) точки; открытого (замкнутого, выпуклого, связного) множества; области в Rm; дифференциала, частной производной, экстремума; производной по направлению; градиента; якобиана;
- необходимые и достаточные условия экстремума;
- формулировку теоремы Тейлора; теоремы о смешанных производных; теоремы о неявной функции;
- условие дифференцируемости функции.
Студент должен уметь:
- находить и изображать область определения простейших функций двух переменных;
- исследовать функцию двух (трех) переменных на экстремум, условный экстремум;
- решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух (трех) переменных;
- производить замену переменных в выражениях, содержащих частные производные функции двух переменных;
- находить двойные (повторные) пределы функции двух переменных.
Студент должен иметь представление:
- об отображении Rm в R";
- о дифференцируемом отображении.
Числовые ряды
Студент должен знать:
- определение частичной суммы ряда; сходящегося ряда; суммы ряда; гармонического ряда, абсолютно (условно) сходящегося ряда; ряда Лейбница;
- критерий Коши: необходимое условие сходимости ряда;
- признаки сравнения; признак Даламбера (Коши); интегральный признак Коши;
- о расходимости гармонического ряда; условие сходимости (расходимости) обобщенного гармонического ряда; о сходимости ряда Лейбница.
Студент должен уметь:
- находить сумму ряда по ее определению;
- исследовать ряды на абсолютную (условную) сходимость;
- использовать при исследовании ряда на сходимость бесконечную убывающую геометрическую прогрессию (обобщенный гармонический ряд).
Студент должен иметь представление:
- о признаке Раабе (Гаусса, Абеля, Дирихле).
Функциональные последовательности и ряды
Студент должен знать:
- определение сходимости (равномерной сходимости) функциональной последовательности (функционального ряда);
- признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда;
- определение радиуса, интервала сходимости степенного ряда;
- формулу Коши-Адамара;
- формулировку теоремы о равномерной сходимости; теоремы о почленном дифференцировании ( интегрировании) степенного ряда,
- разложение функций ех, ln(l+x). U+x)m. sin x, cos x в степенные ряды.
Студент должен уметь:
- находить область абсолютной (условной) сходимости функционального ряда;
- находить радиус, интервал сходимости степенного ряда и исследовать поведение ряда в граничных точках интервала сходимости;
- разлагать функцию в степенной ряд;
- с помощью почленного дифференцирования (интегрирования) находить сумму ряда;
- применять ряды в приближенных вычислениях
Студент должен иметь представление:
- о приближении непрерывных функций многочленами;
- о непрерывности предельной функции последовательности;
- о непрерывности суммы ряда.
Ряды Фурье
Студент должен знать:
- определение ортогональной системы функции;
- достаточное условие разложимости функции в тригонометрический ряд Фурье;
- формулы коэффициентов тригонометрического ряда Фурье функции (четной функции, нечетной функции);
- неравенство Бесселя; равенство Парсеваля.
Студент должен уметь:
- разлагать функцию в ряд Фурье.
Студент должен иметь представление:
- о понятии полноты, замкнутости ортогональной системы функций;
- об условиях равномерной сходимости; сходимости в точке;
- о принципе локализации;о минимальном свойстве коэффициентов Фурье;
- об интеграле Фурье; о преобразовании Фурье.
Двойной интеграл
Студент должен знать:
- определение двойного интеграла;
- свойство линейности (аддитивности) двойного интеграла;
- доказательство теоремы о приведении двойного интеграла к повторному.
Студент должен уметь:
- изменять порядок интегрирования;
- находить площадь плоской области, объем криволинейного цилиндра, площадь поверхности, массу пластинки, координаты центра масс пластинки;
- производить замену переменных.
Студент должен иметь представление:
- об условиях существования двойного интеграла; о классах интегрируемых функций;
- о понятии тройного (кратного) интеграла;
- о замене переменных в тройном интеграле (сферические, цилиндрические координаты);
- о приложениях тройного интеграла.
Криволинейные и поверхностные интегралы
Студент должен знать:
- определение гладкой линии, ее ориентацию; определение гладкой поверхности (стороны поверхности); криволинейного интеграла первого (второго) рода; поверхностного интеграла первого (второго) рода;
- свойства криволинейных интегралов;
- доказательство формулы Грина;
- формулу Стокса; Остроградского;
- теорему о связи криволинейных интегралов первого и второго родов; теорему о независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
Студент должен уметь:
- находить функцию по ее полному дифференциалу; площадь плоской области (длину дуги кривой) с помощью криволинейного интеграла: объем тела (площадь поверхности) с помощью поверхностного интеграла.
Студент должен иметь представление:
- о применении криволинейных (поверхностных) интегралов в задачах механики и физики.
Теория поля
Студент должен знать:
- понятие скалярного (векторного) поля;
- определение дивергенции, ротора, циркуляции векторного поля;
- потока векторного поля через поверхность.
Студент должен уметь:
- находить дивергенцию, ротор, циркуляцию векторного поля; поток векторного поля через поверхность.
Студент должен иметь представление:
- о потенциальном (соленоидальном) поле;
- о формуле Стокса, Остроградского в векторной форме.
5. СТРУКТУРА ДЕЯТЕЛЬНОСТИ СТУДЕНТА И ФОРМЫ КОНТРОЛЯ
Контроль всех видов деятельности студента проводится по рейтинговой системе.
Используемые обозначения:
РС рейтинг семестра (в баллах);
РЭ рейтинг экзамена (в баллах);
РД рейтинг дисциплины (в баллах).
Рейтинг дисциплины РД семестра численно равен объему часов, отведенных учебным планом на аудиторные занятия, умноженному на 10:
РД = РС + РЭ, РС = РЭ = РД / 2
При этом:
а) 65% баллов от РС отводится на выполнение всех видов контрольных работ и коллоквиумов, а остальные 35 % -на выполнение обучающих и формирующих заданий.
б) Студент, набравший
- не менее 65% баллов от РС, получает зачет (допуск) ;
- от 50% до 65% баллов от РС, выполняет итоговую индивидуальную контрольную работу с количеством баллов, недостающим до 65 % от РС;
- менее 50% баллов от РС, не получает зачет (допуск).
в) Итоговая оценка за семестр выводится в зависимости от суммы баллов, набранной студентом в течение семестра и на экзамене, т. е. из РД = РС + РЭ.
Студент получает оценку
- "отлично", если набрал не менее 85 % баллов от РД ;
- "хорошо", если набрал от 75 % до 85 % баллов от РД;
- "удовл.", если набрал от 65 % до 75 % баллов от РД;
- "неудовл.", если набрал менее 65 % баллов от РД.
ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР
Структура деятельности, студента
Вид деятельности студента | Рейтинг вида деятельности | |
1 | Посещение учебных занятий и проработка теоретического материала | 60 |
2 | Выполнение: - обучающих и формирующих заданий - 12 лабораторных работ - контрольной работы по требованиям к входу - ректорской контрольной работы - мини-контрольных - контрольных работ на темы: 1 Пределы 2. Применение производной | 96 96 60 60 108 60 60 |
3 | Сдача коллоквиумов по темам. 1. Действительные числа и числовые последовательности 2. Непрерывность функции одной переменной | 60 60 |
Итого: РС = 720 баллов
Рекомендуемые темы мини - контрольных:
- элементы теории множеств;
- предел последовательности;
- односторонние пределы;
- сравнение функций;
- исследование функции на дифференцируемость;
- таблица производных;
- применение формулы Тейлора в приближенных вычислениях.
Учебно-методическое обеспечение
1. ,,Сендов Бл. X. Математический анализ. М.: Изд-во МГУ, 1985 г. Т.1.
2. Демидович задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука,1990.
3. Егоров и задания по математическому анализу: Введение в анализ, производная , неопределенный интеграл. Якутск, 1996 .
4. Кутукова работы по математическому анализу: Лабораторные работы N1-12. Якутск, 1995.
Формы контроля
Зачет (РС =720 баллов)
Студент набравший сумму баллов
- не менее 468, получает зачет;
- от 360 до 468, выполняет итоговую индивидуальную контрольную работу с количеством баллов, недостающим до 468;
- менее 360, зачет не получает.
Экзамен (РЭ= 720 баллов, РД =1440 баллов)
Студент, набравший сумму баллов
- не менее 1224, получает оценку "отлично";
- от 1080 до 1224, получает оценку "хорошо";
- от 936 до 1080, получает оценку "удовл.";
- менее 936, получает оценку "неудовл.".
ВТОРОЙ СЕМЕСТР
Структура деятельности студент
Вид деятельности студента | Рейтинг вида деятельности | |
1 | Посещение учебных занятий и проработка теоретического материала | 70 |
2 | Выполнение: - обучающих и формирующих заданий - 7 лабораторных работ - контрольной работы по проверке остаточных знаний за 1 семестр - мини – контрольных - контрольных работ на темы : 1. Неопределенный интеграл 2. Приложения определенного интеграла | 84 84 85 102 85 85 |
3 | Сдача коллоквиума по теме: Определенный интеграл | 85 |
Итого: РС = 680 баллов
Рекомендуемые темы мини - контрольные:
- таблица интегралов;
- замена переменной в неопределенном интеграле;
- длина дуги кривой;
- площадь плоской фигуры;
- объем тела вращения;
- площадь поверхности тела вращения;
- приближенное вычисление определенных интегралов.
Учебно-методическое обеспечение
1. ,, Сендов Бл. X. Математический анализ. М. :Изд-во МГУ, 1985 г. Т. 1.
2. Демидович задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1990.
3. Егоров и задания по математическому анализу: Введение в анализ, производная , неопределенный интеграл. Якутск,1996.
4. Егоров и задания по математическому анлизу: Определенный интеграл. Несобственные интегралы. Ряды. Якутск, 1991.
5. Кутукова работы по математическому анализу: Лабораторные работы N13-19. Якутск, 1995 .
Формы контроля
Зачет (РС =680 баллов)
Студент набравший сумму баллов
- не менее 442, получает зачет;
- от 340 до 442, выполняет итоговую индивидуальную контрольную работу с количеством баллов, недостающим до 468;
- менее 340, зачет не получает.
Экзамен (РЭ= 680 баллов, РД =1360 баллов)
Студент, набравший сумму баллов
- не менее 1156, получает оценку "отлично";
- от 1020 до 1156, получает оценку "хорошо";
- от 884 до 1020, получает оценку "удовл.";
- менее 884, получает оценку "неудовл.".
ТРЕТИЙ СЕМЕСТР
Структура деятельности студента
Вид деятельности студента | Рейтинг вида деятельности | |
1 | Посещение учебных занятий и проработка теоретического материала | 44 |
2 | Выполнение: - обучающих и формирующих заданий - 13 лабораторных работ - контрольной работы по проверке остаточных знаний за 2 семестр - мини - контрольных - контрольных работ на темы: 1. Экстремум функции нескольких переменных 2. Числовые ряды. 3. Степенные ряды. | 104 104 60 108 60 60 60 |
3 | Сдача коллоквиумов по темам: 1. Функции нескольких переменных 2. Функциональные последовательности и ряды | 60 60 |
Рекомендуемые темы мини - контрольных: Итого: РС = 720 баллов
- область определения функции двух переменных;
- двойной и повторный пределы;
- разложение функции в степенной ряд;
- область сходимости функционального ряда;
- признак Вейерштрасса;
- разложение функции в ряд Фурье;
- применение рядов в приближенных вычислениях.
Учебно-методическое обеспечение
1. .,Сендов Бл. Х. Математический анализ. М. :Изд-во МГУ, 1987 г. Т. 2.
2. Демидович задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука,1990.
3 Афанасьева переменных (для функций нескольких переменных) .Якутск, 1994.
4. Егоров и задания по математическому анализу-Функции нескольких переменных. Кратные и криволинейные интегралы. Якутск,1993.
5. Кутукова работы по математическому анализу: Лабораторные работы N20-23. Якутск, 1995.
6 Петров нескольких переменных: Многовариантные задания и методическик указания. Якутск, 1990.
7. Петров указания к лабораторным работам по теме "Ряды". Якутск,1985.
Формы контроля
Зачет (РС =720 баллов)
Студент набравший сумму баллов
- не менее 468, получает зачет;
- от 360 до 468, выполняет итоговую индивидуальную контрольную работу с количеством баллов, недостающим до 468;
- менее 360, зачет не получает.
Экзамен (РЭ= 720 баллов, РД =1440 баллов)
Студент, набравший сумму баллов
- не менее 1224, получает оценку "отлично";
- от 1080 до 1224, получает оценку "хорошо";
- от 936 до 1080, получает оценку "удовл.";
- менее 936, получает оценку "неудовл.".
ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР
Структура деятельности студента
Вид деятельности студента | Рейтинг вида деятельности | |
1 | Посещение учебных занятий и проработка теоретического материала | 60 |
2 | Выполнение: - обучающих и формирующих заданий - 13 лабораторных работ - контрольной работы по проверке остаточных знаний за первый год обучения - мини – контрольных - контрольных работ на темы: 1. Двойные интегралы 2. Криволинейные интегралы. 3. Поверхностные интегралы. | 100 78 70 92 70 70 70 |
3 | Сдача коллоквиума на тему: Теория поля. | 70 |
Итого: РС =680 баллов
Рекомендуемые темы мини - контрольных:
- приведение двойного интеграла к повторному;
- замена переменных в двойном интеграле;
- замена переменных в тройном интеграле;
- интеграл от полного дифференциала;
- формулы Гаусса-Остроградского и Стокса;
- основные понятия теории поля.
Учебно-методическое обеспечение.
1. ,,Сендов Бл. X. Математический анализ. М.:Изд-во МГУ, 1987 г. 1.2.
2. Демидович задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1990.
3. Егоров и задания по математическому анализу: Функции нескольких переменных. Кратные и криволинейные интегралы. Якутск,1993.
4. Кутукова интегралы. Якутск,1986 .
5. Петров и поверхностные интегралы. Якутск, 1986.
Формы контроля
Зачет (РС =680 баллов)
Студент набравший сумму баллов
- не менее 442, получает зачет;
- от 340 до 442, выполняет итоговую индивидуальную контрольную работу с количеством баллов, недостающим до 468;
- менее 340, зачет не получает.
Экзамен (РЭ= 680 баллов, РД =1360 баллов)
Студент, набравший сумму баллов
- не менее 1156, получает оценку "отлично";
- от 1020 до 1156, получает оценку "хорошо";
- от 884 до 1020, получает оценку "удовл.";
- менее 884, получает оценку "неудовл.".
Для проведения всех видов контрольных работ и коллоквиумов на кафедре имеется фонд соответствующих материалов.
6. ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. ,, Сендов Бл. X. Математический анализ. М. Изд-во МГУ, 1985 г. Т.Г. Т. 2.
2. Демидович задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука. 1990.
Дополнительная
1. Кудрявцев математического анализа. М.:Высшая школа, 1981. Т. 1,2.
2. Фихтенгольц математического анализа. М.:Физматгиз, 1960. Т. 1,2.
3. , Позняк математического анализа. М.: Наука, 19.2.
4. .Фомин интегралы и ряды. М.:Наука,1965. Кудрявцев математического анализа. М.:Высшая школа. 1983. Т. 1,2.
5. , ,,Шабунин задач по математическому анализу: Предел. Непрерывность. Диффе-ренцируемость. М.: Наука, 1984.
6. .,.Шабунин задач по математическому анализу: Интегралы. Ряды. М.: Наука, 1986.
7. , ..Шабунин задач по математическому анализу: Функции нескольких переменных. Санкт-Петербург: Наука, 1994.
8. ,,,Головач анализ в примерах и задачах. Киев: Вища школа, 19.1.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
