Министерство образования Российской Федерации

Якутский государственный университет им.

Институт математики и информатики ЯГУ

Кафедра математического анализа

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

дисциплины

«Математический анализ»

Для государственных университетов

Направление – 510200 – Прикладная математика и информатика

Якутск 2002

Составители: к. ф.- м. н., доцент, ,

к. ф.- м. н., доцент, .

Рабочая программа утверждена на заседании кафедры математического анализа ___________________ 2002 протокол N

Зав. кафедрой_________________________

Рабочая программа утверждена на заседании методкомиссии ИМиИ ЯГУ ___________________ 2002 протокол N

Председатель методкомиссии ИМиИ ЯГУ_________________________

Рабочая программа утверждена на заседании научно-методического совета ЯГУ ___________________ 2002 протокол N

Председатель научно-методического совета ИМиИ ЯГУ__________________

.
Выписка из учебного плана

Институт - Институт математики и информатики

Факультет – Прикладная математика

Кафедра – Математического анализа

Курс - I, II

Семестр - I, II, III, IV

Всего аудиторных часов - 560

Лекций - 280

Практических занятий - 140

Лабораторных занятий - 140

СРС – 170

Всего часов - 730

Зачет - I, II, III, IV семестр

Экзамен - I, II, III, IV семестр

Распределение часов по семестрам

Семестр

Лекции

Практические занятия

Лабораторные занятия

СРС

Всего

I

72

36

36

43

187

II

68

34

34

42

178

III

72

36

36

43

187

IV

68

34

34

42

178

Всего

280

140

140

170

730

Недельная нагрузка аудиторных занятий по семестрам

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Семестр

Лекция

Практические занятия

Лабораторные занятия

I

4

2

2

II

4

2

2

III

4

2

2

IV

4

2

2

1. ТРЕБОВАНИЕ СТАНДАРТА

Специалист должен:

1.1.  Уметь осуществлять исследовательскую деятельности в областях, использующих методы прикладной математики и компьютерные технологии.

1.2.  Владеть основными понятиями курса (дифференциальное и интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных, теорию числовых и функциональных рядов), уметь использовать методы исследования, используемые в математическом анализе, при изучении и количественном описании реальных процессов и явлений.

1.3.  Иметь целостное представление о математическом анализе как науке, ее месте в современном мире и в системе наук.

1.4.  Уметь анализировать собственную деятельность, с целью ее совершенствования и повышения своей квалификации.

2. ПРИНЦИПЫ И ЦЕЛИ

2.1. Принципы построения программы

2.1.1.  Данный курс разработан для студентов направления 510200- Прикладная математика и информатика в соответствии с Государственным образовательным Стандартов высшего профессионального образования (Москва, 2000);

2.1.2.  В рабочей программе выделяется ядро курса (действи­тельные числа; непрерывность функций одной и несколь­ких переменных; дифференциальное и интегральное исчис­ления функций одной и нескольких переменных; числовые и функциональные последовательности и ряды; ряды Фурье).

2.1.3.  Курс имеет как практическую, так и теоретическую нап­равленность (50% часов аудиторных занятий - практичес­кие и лабораторные).

2.1.4.  Программа предполагает индуктивное построение курса.

2.2. Цели курса

Целью дисциплины является:

2.2.1  Формирование у студента прочных знаний по основам диф­ференциального и интегрального исчислений функций од­ной и нескольких переменных, числовых и функциональных рядов, ряда Фурье и теории поля.

2.2.2  Выработка у студента практических навыков дифференци­рования и интегрирования, исследования функций и пост­роения графиков, решения задач на максимум и минимум, вычисления длин, площадей и объемов.

2.2.3  Воспитание у студента умений применять методы диффе­ренциального и интегрального исчислений, теорию поля в задачах механики и физики.

2.2.4  Формирование у студентов начальных представлений о ро­ли формулы Тейлора и рядов в приближенных вычислениях.

2.2.5  Воспитание у студента культуры мышления.

2.2.6  Развитие у студента математической культуры и интуиции.

2.2.7  Математический анализ служит базой для следующих дисциплин: дифференциальные уравнения; уравнения математической физики; комплексный анализ; методы оптимизации.

3. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАМ

3.1. Блок-схема курса

3.2. Структура программы

Модули

Кол-во

Часов

Содержание модулей

Модуль 1

Введение в анализ

14

(лекционных занятий)

10

(практических занятий)

8

(лабораторных занятий)

Существование точной верхней (нижней) грани числового множества. Принцип вложенных отрезков, лемма Гейне-Бореля о конечном покрытии.

Модуль 2

Теория

Пределов

16

(лекционных занятий)

10

(практических занятий)

8

(лабораторных занятий)

Предел числовой последовательности.

Теоре­ма Больцано-Вейерштрасса о выделении сходящейся последовательности. Предел монотонной последовательности. Критерий Коши существования предела. Предел функции в точке. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Символы "о","О", "~".

Модуль 3

Непрерывные функции

6

(лекционных занятий)

4

(практических занятий)

4

(лабораторных занятий)

Непрерывность функции в точке. Точки разрыва. Основные теоремы о непрерывных функциях (теоремы Больцано-Коши об обращении в нуль и промежуточном значении функции. Теоремы Вейерштрасса об ограниченности, наибольшем и наименьшем значениях функции.

Модуль 4

Дифференциальное исчисление

(Функция одной переменной)

36

(лекционных занятий)

12

(практических занятий)

16

(лабораторных занятий)

Дифференцируемость функции в точке; производная в точке, правила дифференцирования, основные теоремы о дифференцируемых функциях (теорема Ферма о необходимом условии экстремума, теорема Ролля о нуле производной, теорема Лагранжа о конечных приращениях. локальная теорема Тейлора; асимптотические разложения функций: ех, In (1+x), (l+x)m, sin x, cos x; применение дифференциального исчисления к исследованию функций (признаки знакопостоянства, монотонность и точки экстрему­ма, выпуклость и точки перегиба).

Модуль 5

Интегральное исчисление

(Неопределенный интеграл)

28

(лекционных занятий)

12

(практических занятий)

14

(лабораторных занятий)

Первообразная функции, неопреде­ленный интеграл; таблица интегралов; методы интегрирова­ния (замена переменной, интегрирование по частям), ин­тегрирование рациональных функций.

Модуль 6

Интегральное исчисление

(Определенный интеграл.)

26

(лекционных занятий)

16

(практических занятий)

18

(лабораторных занятий)

Определенный интеграл Римана, класс интегрируемых функций, теорема о среднем, дифферен­цирование по переменному верхнему пределу, существование первообразной от непрерывной функции, формула Ньюто­на-Лейбница, эйлеровы интегралы.

Модуль 7

Интегральное исчисление

(Несобственные интегралы)

14

(лекционных занятий)

6

(практических занятий)

2

(лабораторных занятий)

Несобственный интеграл I рода. Критерий Коши сходимости. Формула Ньютона – Лейбница и методы интегрирования. Теорема сравнения. Несобственный интеграл II рода. Асимптотическое поведение интегралов с переменными пределами интегрирования.

Модуль 8

Дифференциальное исчисление

(Функция

нескольких

переменных)

30

(лекционных занятий)

15

(практических занятий)

15

(лабораторных занятий)

Дифференциал и частные производные функции нескольких переменных; производная по направлению; градиент; экстремум функции двух и трех пере­менных; якобиан; условный экстремум, замена переменных

Модуль 9

Ряды

30

(лекционных занятий)

15

(практических занятий)

15

(лабораторных занятий)

Числовые ряды. Сходимость и сумма числового ряда, признаки сходимости (Даламбера, Коши); интегральный признак Коши; абсолютная и условная сходимость; признак Лейбница. Функциональные ряды Степенные ряды; Формула Коши-Адамара, почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов; ряд Тейлора, разложения функций ех, 1п(1+х), (l+x)m, sin х, cos x в ряд; оценка погрешности при замене функции многочленами с помощью формулы Тейлора. Ряды Фурье. Ряд Фурье по тригонометрической системе функ­ций; интеграл Фурье; преобразование Фурье.

Модуль 10

Интегральное исчисление

(Кратные интегралы. Криволинейные и поверхностные интегралы)

60

(лекционных занятий)

30

(практических занятий)

30

(лабораторных занятий)

Двойной интеграл; приведение двойного интеграла к повторному, замена переменной в двойном ин­теграле, площадь поверхности; механические и физические приложения двойных интегралов. Криволинейные интегралы, формула Грина; интегралы по поверхности; фор­мулы Остроградского и Стокса.

3.3. Содержание программы

3.3.1. Лекционные занятия

Содержание модулей

Соответствие целям и требованиям ГОС

Кол-во часов

Модуль 1. Числовые Множества

14

1.1. Элементы теории множества. Операции над множествами, закон двойственности, эквивалентность, равенство множеств. Счетные, несчетные множества. Понятие о мощности.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

4

1.2. Отображения и функции. Прямое произведение, соответствие, понятие функции. Обратная функция, сложная функция. Элементарные функции. Преобразование графиков.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

2

1.3. Вещественные числа. Свойства рациональных чисел, существование иррациональных чисел. Алгебраические и трансцендентные числа. . Ограниченность, точные грани. Теорема о существовании точных граней. Приближение вещественных чисел к рациональным числам.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

6

1.4. Пространство . Множество в . Понятие окрестности точки, открытые и замкнутые множества, замыкание множества.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

2

Модуль 2. Теория пределов

16

2.1. Предел числовой последовательности. Основные свойства сходящихся последовательностей. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, связь между ними.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

4

2.2. Лемма Больцана-Вейерштрасса. Предел монотонной последовательности. Лемма о вложенных промежутках. Число е. Иррациональность числа е.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

4

2.3. Критерий Коши существования предела последовательности. Частичные последовательности, понятия нижнего и верхнего пределов.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

2

2.4. Предел функции в точке. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их сравнения, «о» и «О» - символика.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

2

2.5. Критерий Коши существования предела функции. Два замечательных предела.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

4

Модуль 3. Непрерывные функции

6

3.1. Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва и их классификация.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

2

3.2. Основные теоремы о непрерывных функциях на отрезке. Равномерная непрерывность, теорема Кантора.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

2

3.3. Монотонность функции. Существование и непрерывность обратной функции. Непрерывность элементарных функций.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

2

Модуль 4. Дифференциальное исчисление (Функция одной переменной)

36

4.1. Дифференциалы и производные. Дифференцируемость в точке, производная в точке. Геометрическая и физическая интерпретация производной и дифференциала.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

6

4.2. Производная и дифференциал высших порядков. Формула Лейбница.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

6

4.3. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения. (Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа). Раскрытие неопределенности.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

10

4.4. Локальная формула Тейлора. Разложение элементарных функций. Формула Тейлора с остаточным членом в различной форме.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

6

4.5. Применение дифференциальных исчислений к исследованию функций.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

6

4.6. Приближенные равенства и их точности. Асимптотические равенства. Построение графиков функций, заданных параметрически и в поляной системе координат.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

2

Модуль 5. Интегральное исчисление (Неопределенный интеграл)

28

5.1. Неопределенный интеграл и его основные свойства. Таблица формул интегрирования. Методы интегрирования (разложение, замена переменной, интегрирования по частям).

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

8

5.2. Интегрирование рациональных функций (разложение многочленов на множители, разложение правильных рациональных дробей на элементарные).

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

10

5.3. Интегрирование некоторых простейших иррациональных и трансцендентных функций.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

10

Модуль 6. Интегральное исчисление (Определенный интеграл)

26

6.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл Римана. Критерий интегрируемости по Риману. Классы интегральных функций.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

6

6.2. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Ньютона-Лейбница. Формулы суммирования Эйлера и Абеля. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

4

6.3Теорема о среднем для интеграла. Неравенства Гельдера и Минковского.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

6

6.4. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

2

6.5.Приложения определенного интеграла (площадь, длина дуги, объем тел, поверхность тела вращения). Механические и физические приложения определенного интеграла.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

8

Модуль 7. Интегральное исчисление (Несобственный интеграл)

14

7.1. Несобственный интеграл I рода. Критерий Коши сходимости. Формула Ньютона – Лейбница и методы интегрирования. Теорема сравнения. Абсолютная сходимость. Признаки Абеля и Дирихле. Асимптотическое поведение интегралов с переменным пределами интегрирования.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

10

7.2. Несобственный интеграл II рода. Асимптотическое поведение интегралов с переменными пределами интегрирования.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

4

Модуль 8. Дифференциальное исчисление (Функция нескольких переменных)

30

8.1. Функции нескольких переменных. Двойной и повторный пределы.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

6

8.2. Непрерывность и дифференцируемость. Частные производные. Теорема о смешанных производных. Приложения ФНП.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

8

8.3. Экстремум функции нескольких переменных. Формула Тейлора.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

4

8.4. Неявные функции. Замена переменных. Зависимость функций. Условный экстремум.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

8

8.5. Функции нескольких переменных. Двойной и повторный пределы.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

4

Модуль 9. Ряды

30

9.1. Числовые ряды. Знакопеременные ряды. Функциональные последовательности и ряды.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

10

9.2. Степенные ряды. Ряд Тейлора. Применение рядов к приближенным вычислениям. Собственные интегралы, зависящие от параметра.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

12

9.3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Ряды Фурье.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

8

Модуль 10. Интегральное исчисление (Кратные интегралы.

Криволинейные и поверхностные интегралы)

60

10.1. Кратные интегралы. Двойной интеграл. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление площадей.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

8

10.2. Вычисление площадей. Вычисление объемов. Вычисление площадей поверхностей. Механические приложения двойных интегралов.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

12

10.3. Тройные интегралы. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление объемов. Механические приложения тройного интеграла.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

8

10.4. Несобственные двойные и тройные интегралы.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

4

10.5. Криволинейные интегралы I рода. Криволинейные интегралы II рода. Интеграл от полного дифференциала. Нахождение первообразной. Формула Грина.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

12

10.6. Поверхностные интегралы I рода. Поверхностные интегралы II рода. Формула Стокса. Формула Остроградского.

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

10

10.7. Элементы теории поля. Дифференциальные характеристики. Интегральные характеристики

Цели: 2.2.1; 2.2.2;

2.2.3; 2.2.4;

2.2.5; 2.2.6

ГОС:4

6

3.3.2. Практические занятия

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6