Рабочая программа (стр. 5 )

9.  ,,Садовничий и упражне­ния по математическому анализу. М.: МГУ, 1988.

6. КОНТРОЛИРУЮЩИЕ МАТЕРИАЛЫ.

1.  Экзаменационные вопросы.

Семестр первый

Блок I (определения, понятия, формулировки теорем).

1.  Понятия натурального и действительного чисел, определения рационального и иррационального чисел.

2.  Определение модуля действительного числа, понятия целой и дробной частей числа.

3.  Понятия мощности множества и эквивалентности множеств.

4.  Определение счетного множества.

5.  Определения точной верхней и точной нижней граней числового множества на языке “e”.

6.  Определение системы вложенных отрезков.

7.  Лемма Гейне - Бореля о конечном покрытии.

8.  Определение числовой (функциональной) последовательности.

9.  Определение монотонной (убывающей, возрастающей) последовательности.

10.  Определение ограниченной (неограниченной) последовательности.

11.  Определения предела числовой последовательности и сходящейся последовательности. Произведение (частное) двух сходящихся последовательностей.

12.  Верхний (нижний) предел последовательности.

13.  Определение фундаментальной последовательности.

14.  Определение бесконечно малой (бесконечно большей) последовательности. Их взаимосвязь.

15.  Функция и способы ее задания. Обратная (сложная) функция.

16.  Определение монотонной (убывающей. возрастающей) функции.

17.  Определение ограниченной (неограниченной) функции.

18.  Определения точной верхней и точной нижней граней функции.

19.  Определение бесконечно малой (бесконечно большей) функции.

20.  Определения четной (нечетной) и периодической функций.

21.  Функции y=signx, y={x}, y=[x].

22.  Определение предела функции в точке по Гейне.

23.  Определение предела функции в точке по Коши.

24.  Определение предела функции в точке справа (слева) по Коши.

25.  Определение непрерывности функции в точке по Гейне.

26.  Определение непрерывности функции в точке по Коши.

27.  Определение непрерывности функции в точке на языке предела.

28.  Определение непрерывности функции в точке на языке приращений.

29.  Односторонняя непрерывность функции.

30.  Определение равномерной непрерывности функции. Теорема Кантора.

31.  Виды точек разрыва.

32.  Определение производной функции в точке. Геометрический смысл производной.

33.  Правая (левая) производная функции (односторонние производные).

34.  Определение дифференцируемости функции в точке.

35.  Определение точки локального экстремума и необходимое условие экстремума. Монотонность.

36.  Определение точки перегиба и необходимое условие перегиба. Выпуклость (вогнутость).

37.  Определение асимптоты (наклонной, вертикальной, горизонтальной) кривой.

38.  Теорема Коши о конечных приращениях.

39.  Вид формулы Тейлора (формулы Маклoрена).

40.  Функции с остаточным членом в форме Лагранжа.

41.  Функции с остаточным членом в форме Пеано.

42.  Функции с остаточным членом в форме Лагранжа.

43.  Функции с остаточным членом в форме Пеано.

44.  Функции с остаточным членом в форме Лагранжа.

45.  Абсолютная (относительная) погрешность. Оценка погрешности.

Блок II (выводы формул, доказательства утверждений и теорем).

1.  Операции над множествами. Счетность множества рациональных чисел.

2.  Счетность конечной (счетной) совокупности счетных множеств.

3.  Основные свойства бесконечно-малых последовательностей.

4.  Единственность предела сходящейся последовательности.

5.  Критерий Коши о существовании предела числовой последовательности.

6.  Сходимость монотонной последовательности.

7.  Ограниченность сходящейся последовательности.

8.  Эквивалентность определений предела функции по Гейне и по Коши.

9.  Существование односторонних пределов для функции, монотонной на отрезке.

10.  Первый замечательный предел.

11.  Второй замечательный предел.

12.  О - символика. Сравнение функций.

13.  Критерий Коши о существовании предела функции в точке.

14.  Непрерывность функции .

15.  Непрерывность функции .

16.  Непрерывность функции .

17.  Непрерывность функции .

18.  Непрерывность сложной функции.

19.  Существование, монотонность, непрерывность обратной функции для функции, монотонной на отрезке.

20.  Производная и ее геометрический (физический) смысл.

21.  Дифференциал и его геометрический смысл. Инвариантность формы первого дифференциала.

22.  Производная суммы.

23.  Производная произведения.

24.  Производная частногo.

25.  Производная обратной функции.

26.  Производная и дифференциал сложной функции (I - го и II - го порядков).

27.  Производная функции, заданной параметрически (I - го и II - го порядков).

28.  Производная функции .

29.  Производная функции .

30.  Производная функции .

31.  Производная функции .

32.  Формула остаточного члена в разложении Тейлора (форма Пеано, форма Лагранжа, форма Коши).

Блок III (теоремы, составляющие ядро курса, с доказательствами).

1.  Принцип вложенных отрезков.

2.  Теорема Больцано-Вейерштрасса о выделении сходящейся подпоследовательности.

3.  Теорема об обращении непрерывной функции в нуль.

4.  Теорема о промежуточном значении непрерывной функции.

5.  Теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции.

6.  Теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях непрерывной функции.

7.  Теорема о дифференцируемости непрерывной функции в точке.

8.  Теорема о непрерывности дифференцируемой в точке функции.

9.  Теорема Ферма.

10.  Теорема Ролля.

11.  Теорема Лагранжа.

12.  Теорема о первом достаточном условии экстремума.

13.  Теорема о втором достаточном условии экстремума.

14.  Теорема о первом достаточном условии перегиба.

15.  Теорема о втором достаточном условии перегиба.

16.  Теорема о существовании наклонной асимптоты (необходимое и достаточные условия).

17.  Теорема Тейлора.

18.  Теорема Коши о конечных приращениях.

Семестр второй

Блок I (определения, понятия, формулировки предложений  утверждений).

1.  Определения первообразной и неопределенного интеграла. Геометрическая интерпретация.

2.  Вид интегральной (нижней, верхней) суммы Дарбу. Их геометрический смысл.

3.  Определение криволинейной трапеции.

4.  Определение определенного интеграла. Его геометрический смысл.

5.  Вид первообразных простейших дробей вида , .

6.  Интеграл от нечетной, четной и периодической функций.

7.  Определение простой плоской (пространственной) кривой.

8.  Определение несобственного интеграла I рода (три вида).

9.  Определение несобственного интеграла II рода (три вида).

10.  Определение длины дуги. Определения спрямляемой и параметризируемой кривых.

11.  Формулы вычисления длины дуги кривой в трех формах.

12.  Определение простой замкнутой плоской (пространственной) кривой.

13.  Определения e - окрестности точки, граничной точки и границы множества плоской области и пространства.

14.  Определение внутренней (внешней) точки множества плоской области (пространства).

15.  Определения плоской и квадрируемой областей.

16.  Основные свойства площади (аддитивность, инвариантность, линейность).

17.  Формулы вычисления площади плоской фигуры в трех формах.

18.  Определения тела и кубируемой области.

19.  Основные свойства объема тела (аддитивность, инвариантность, линейность).

20.  Определения абсолютной и условной сходимости несобственного интеграла.

21.  Критерий Коши сходимости несобственного интеграла I рода.

22.  Критерий Коши сходимости несобственного интеграла II рода.

23.  Достаточные признаки сходимости несобственного интеграла.

24.  Вид и свойства гамма - функции.

25.  Вид и свойства бета - функции.

Блок II (теоремы, составляющие ядро курса, с доказательствами).

1.  Свойства сумм и интегралов Дарбу (,, , ).

2.  Метод неопределенных коэффициентов.

3.  Интегрирование рациональных функций.

4.  Рационализация функций вида .

5.  Алгоритм построения определенного интеграла.

6.  Критерий интегрируемости по Дарбу (по Риману).

7.  Теорема об интегрируемости непрерывной функции.

8.  Теорема об интегрируемости монотонной функции.

9.  Формула Ньютона-Лейбница.

10.  Свойство линейности (аддитивности, монотонности) определенного интеграла.

11.  Оценки определенного интеграла: .

12.  Теорема о среднем. Обобщенная теорема о среднем.

13.  Замена переменной в определенном интеграле.

14.  Метод интегрирования по частям в определенном интеграле.

15.  Длина дуги кривой (теорема).

16.  Площадь плоской фигуры (теорема).

17.  Формула вычисления объема тела (через поперечное сечение).

18.  Формула вычисления объема тела вращения.

19.  Признак сравнения сходимости несобственного интеграла.

20.  Теорема о непрерывности интеграла с переменным верхним пределом.

21.  Теорема о дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом.

22.  Геометрический образ гамма - функции.

Семестр третий

Блок I (определения, понятия, формулировки теорем).

1.  Определения: числового ряда, n - ой частичной суммы ряда, сходящегося ряда, суммы ряда.

2.  Определения: положительного ряда, знакопеременного ряда, абсолютно сходящегося ряда, условно сходящегося ряда.

3.  Определения: гармонического ряда, обобщенного гармонического ряда.

4.  Определения: знакочередующегося ряда, ряда Лейбница.

5.  Определения: сходимости функциональной последовательности в точке, поточечной сходимости функциональной последовательности, предельной функции функциональной последовательности.

6.  Определения: сходимости функционального ряда в точке, поточечной сходимости функционального ряда, суммы функционального ряда.

7.  Определения равномерной сходимости функциональной последовательности и равномерной сходимости функционального ряда; их отрицания.

8.  Определения: степенного ряда, радиуса и интервала сходимости степенного ряда.

9.  Определения: ряда Тейлора функции, ряда Маклорена.

10.  Определения: m - мерного координатного пространства, m - мерного евклидова пространства.

11.  Определения: шара в R m, d - окрестности точки.

12.  Определения: внутренней точки множества, внешней точки множества, граничной точки множества.

13.  Определения: открытого в R m множества, замкнутого в R m множества, окрестности точки.

14.  Определения: предельной точки (точки сгущения) множества, замыкания множества.

15.  Определения: связного множества, области в R m.

16.  Определения: диаметра множества, ограниченного множества, компакта в R m.

17.  Определения: сходящейся последовательности точек в R m, фундаментальной последовательности точек в R m.

18.  Понятия: функции нескольких переменных, множества определения функции, частного значения функции, множества значений функции.

19.  Определения: предела функции в точке по Коши и по Гейне, предела функции на бесконечности; их отрицания.

20.  Определение повторного предела функции в точке.

21.  Определения: непрерывности функции в точке, непрерывности функции на множестве, точек разрыва функции.

22.  Определения: точной верхней и нижней граней функции на данном множестве, наибольшего и наименьшего значения функции на данном множестве.

23.  Определение равномерной непрерывности функции.

24.  Определения: частного приращения функции, частной производной.

25.  Определения: полного приращения функции в точке, дифференцируемости функции в точке, дифференциала функции.

26.  Определения: частной производной n -го порядка, дифференциала n - го порядка.

27.  Определения: локального максимума и локального минимума функции, локального экстремума функции.

28.  Критерий Сильвестра (формулировка).

29.  Понятие неявной функции одной или нескольких переменных, определяемой одним уравнением.

30.  Понятия: совокупности неявных функций, определяемых системой уравнений, матрицы Якоби, якобиана.

31.  Определения: условного максимума и условного минимума функции, условного экстремума функции.

32.  Теорема о неявной функции, определяемой одним уравнением (формулировка).

33.  Теорема о совокупности неявных функций, определяемых системой уравнений (формулировка).

34.  Определение: ортогональной системы функций, ортонормированной системы функций, замкнутой ортонормированной системы функций, полной ортонормированной системы функций.

35.  Определение общего ряда Фурье функции f по ортонормированной системе, тригонометрического ряда Фурье функции f.

Блок II (понятия, вспомогательные утверждения и теоремы, основные формулы).

1.  Критерий Коши сходимости числового ряда. Необходимое условие сходимости ряда.

2.  Доказательство расходимости гармонического ряда с помощью критерия Коши.

3.  Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда.

4.  Признаки сравнения для положительных рядов.

5.  Признак Коши сходимости ряда.

6.  Признак Даламбера сходимости ряда.

7.  Условия сходимости и расходимости обобщенного гармонического ряда.

8.  Условия сходимости и расходимости гармонического ряда.

9.  Теорема о сходимости ряда Лейбница и оценка его остатка.

10.  Теорема о достаточных условиях непрерывности предельной функции функциональной последовательности.

11.  Мажорантный признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.

12.  Теорема о достаточных условиях непрерывности суммы функционального ряда.

13.  Вывод формулы Коши - Адамара радиуса сходимости степенного ряда.

14.  Теорема о равномерной сходимости степенного ряда, о непрерывности суммы степенного ряда.

15.  Теорема о почленном интегрировании степенного ряда, о почленном дифференцировании степенного ряда.

16.  Теорема о достаточных условиях разложимости функции в степенной ряд.

17.  Разложение в степенной ряд ех (вывод формулы).

18.  Разложение в степенной ряд sinx и cosx (вывод формулы).

19.  Разложение в степенной ряд ln(1 + x) (вывод формулы).

20.  Разложение в степенной ряд (1 + x)a (вывод формулы).

21.  Необходимое условие дифференцируемости функции в точке.

22.  Достаточное условие дифференцируемости функции в точке.

23.  Теорема о смешанных производных (для функции двух переменных).

24.  Формула Тейлора для функции нескольких переменных

25.  Необходимое условие локального экстремума функции нескольких переменных.

26.  Достаточные условия наличия или отсутствия локального экстремума.

27.  Сходимость ряда Фурье.

28.  Ортогональность основной тригонометрической системы.

29.  Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.

30.  Разложение в ряд Фурье функций, заданных на половине периода.

31.  Разложение в ряд Фурье функций с произвольным периодом.

Блок III (понятия и теоремы, состовляющие ядро курса).

1.  Необходимое и достаточное условия сходимости положительных рядов.

2.  Мажорантный признак Вейерштрасса абсолютной сходимости числового ряда.

3.  Ассоциативное свойство сходящегося ряда.

4.  Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда.

5.  Арифметические операции над сходящимися рядами.

6.  Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности.

7.  Критерий Коши равномерной сходимости функциональной ряда.

8.  Почленный переход к пределу в функциональных последовательностях.

9.  Почленный переход к пределу в функциональных рядах.

10.  Почленное интегрирование функциональных последовательностей.

11.  Почленное интегрирование функциональных рядов.

12.  Почленное дифференцирование функциональных последовательностей.

13.  Почленное дифференцирование функциональных рядов.

14.  Теорема о двойном и повторных пределах

15.  Критерий Коши существования предела функции.

16.  Локальные свойства непрерывных в точке функций.

17.  Теорема о непрерывности сложной функции.

18.  Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.

19.  Теорема Больцано - Коши о промежуточном значении.

20.  Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности функции, непрерывной на компакте).

21.  Вторая теорема Вейерштрасса (о достижении функцией, непрерывной на компакте, своих точных граней).

22.  Теорема Кантора о равномерной непрерывности функций нескольких прерменных.

23.  Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.

24.  Формулы для частных производных сложной функции (вывод).

25.  Дифференциал второго порядка сложной функции.

26.  Понятие зависимости и независимости функции нескольких переменных.

27.  Необходимое условие зависимости n функций от n переменных.

28.  Достаточное условие независимости n функций от n переменных.

29.  Неравенство Бесселя.

30.  Равенство Парсеваля.

31.  Общий ряд Фурье. Минимальное свойство коэффициентов Фурье.

32.  Тождество Бесселя и неравенства Бесселя.

33.  Полнота замкнутой ортонормированной системы.

34.  Равномерное приближение непрерывной функции тригонометрическими многочленами. Теорема Вейерштрасса.

35.  Замкнутость тригонометрической системы.

36.  Следствия замкнутости тригонометрической системы. Равенство Парсеваля.

37.  Условия абсолютной и равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье.

Семестр четвертый

Блок I (определения, понятия, формулировки теорем).

1.	Определения: интегральной суммы Римана, соответствующей разбиению  T области G и  выбору промежуточных точек Pj, предела интегральных сумм.
2.	Определения: интегрируемости функции f по Риману в области G, m-кратного интеграла этой функции по области G.
3.	Определения: верхней и нижней сумм Дарбу функции f, соответствующей разбиению  T области G.
4.	Понятие полярной системы координат.
5.	Понятие цилиндрической системы координат.
6.	Понятие сферической системы координат.
7.	Определения: простой кривой, гладкой кривой, кусочно-гладкой кривой.
8.	Определения: спрямляемой кривой, длины дуги кривой.
9.	Определения: интегральных сумм для криволинейного интеграла первого рода, предела этих интегральных сумм, криволинейного интеграла первого рода.
10.	Определения: интегральных сумм для криволинейного интеграла второго рода, предела этих интегральных сумм, криволинейного интеграла второго рода общего криволинейного интеграла второго рода.
11.	Определения: простой поверхности, правильной поверхности.
12.	Определения: гладкой поверхности, кусочно - гладкой поверхности, особых и обыкновенных точек поверхности.
13.	Определения: квадрируемой поверхности, площади поверхности.
14.	Определения: поверхности интеграла первого рода.
15.	Определения: двусторонней поверхности, односторонней поверхности, ориентации поверхности.
16.	Определения: поверхностных инетгралов второго рода, общего поверхностного интеграла второго рода.
17.	Определения: односвязной области в R 3, односвязной поверхности в R 3.
18.	Определения: скалярного поля, поверхностей и линий уровня скалярных полей.
19.	Определения: производной скалярного поля в точке М 0 по направлению l, градиента скалярного поля, оператора “набла”.
20.	Определения: векторного поля, векторных линий и вектороно трубки.
21.	Определение потока векторного поля через поверхность.
22.	Определение дивергенции вектороного поля в точке.
23.	Определение циркуляции векторного поля вдоль кривой.
24.	Определение ротора векторного поля.
25.	Определения: потенциального поля, соленоидального поля.
26.	Определения: евклидова пространства (бесконечной размерности), нормы элемента и ортогональности элементов этого пространства.
27.	Определения: ортогональной системы функций, ортонормированной системы функций, замкнутой ортонормированой системы функций, полной ортонормированной системы функций.
28.	Определения: общего ряда Фурье функции f по ортонормированной системе, тригонометрического ряда Фурье функции f.

Блок II (понятия, вспомогательные утверждения и теоремы, основные формулы).

1.	Связь между суммами Римана и Дарбу.
2.	Свойства сумм Дарбу.
3.	Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции по Риману.
4.	Интегрируемость по Риману непрерывной функции.
5.	Линейность m-кратного интеграла.
6.	Аддитивность m-кратного интеграла по области.
7.	Монотонность m-кратного интеграла.
8.	Оценка модуля m-кратного интеграла.
9.	Теорема о среднем значении.
10.	Сведение двойного интеграла к повторному в случае прямоугольной области.
11.	Сведение двойного интеграла к повторному в случае произвольной области.
12.	Отображение R 2 в R 2. Криволинейные координаты на плоскости.
13.	Замена переменных в двойном интеграле.
14.	Сведения тройного интеграла к повторному (двумя способами).
15.	Отображение R 3 в R 3. Криволинейные координаты в пространстве.
16.	Замена переменных в тройном интеграле.
17.	Вычисление криволинейного интеграла первого рода с помощью определенного интеграла.
18.	Вычисление криволинейного интеграла второго рода с помощью определенного интеграла.
19.	Вывод формулы Грина.
20.	Вычисление поверхностного интеграла первого рода с помощью двойного интеграла.
21.	Вычисление поверхностного интеграла второго рода с помощью двойного интеграла.
22.	Вычисление производной по направлению.
23.	Вычисление дивергенции векторного поля.
24.	Ортогональность основной тригонометрической системы.
25.	Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
26.	Разложение в ряд Фурье функций, заданных на половине периода.
27.	Разложение в ряд Фурье функций с произвольным периодом.

Блок III (понятия и теоремы, состовляющие ядро курса).