Методическая разработка «Геометрия без проблем»

Государственное бюджетное

образовательное учреждение

г. Москвы

средняя общеобразовательная

школа № 000

ГОЛЕНДУХИНА

ИРИНА ЯНОВНА

Методическая разработка

«ГЕОМЕТРИЯ БЕЗ ПРОБЛЕМ»

Направленность: работа предназначена для учителей общеобразовательных школ

Аннотация: в работе представлена система упражнений, обеспечивающая формирование навыка решения задач, а также усвоение теоретического материала по теме «треугольники»; работа ориентирована на преподавание по учебнику «Геометрия 7 – 9» авторов и др.

Москва 2012 год

Пояснительная записка

Цели. Цель работы: помочь учителю, работающему по учебнику "Геометрия 7-9" авторов и др., в организации учебного процесса при изучении темы "треугольники" Задачи разработки. Выявить причины затруднений, возникающих у семиклассников при изучении геометрии вообще, и темы "треугольники" в частности, и разработать механизмы их преодоления;

Выстроить четкую последовательность этапов, обеспечивающую достижение запланированного результата обучения;

Обеспечить возможность выбора разной скорости изучения материала, с учетом ситуации в конкретном классе.

Актуальность. Вот цитата из материалов "национальной образовательной инициативы "наша новая школа": "Практика индивидуального обучения с учетом возрастных особенностей, изучение предметов по выбору, общее снижение аудиторной нагрузки в форме классических учебных занятий позитивно скажутся на здоровье школьников." Использование правильно построенной системы упражнений позволяет добиваться более высоких результатов обучения с меньшими затратами сил и времени. При этом экономятся как время и силы учителя, так и время учеников. Необходимость проведения дополнительных занятий существенно снижается, повышается самооценка учеников. Все это способствует сохранению здоровья учеников и учителя. Кроме того, знания и умения, формируемые при изучении темы "треугольники" будут использоваться для дальнейшего обучения вплоть до окончания 11 класса. Новизна. Предлагаемая система упражнений является именно системой, то есть задания первого этапа готовят ученика к выполнению заданий второго этапа и так далее. В работе сформулирован алгоритм решения типовой задачи. При разработке системы упражнений применен принцип пошагового усвоения этого алгоритма. Такой способ построения системы упражнений давно и успешно используется в алгебре, но не используется в геометрии. Апробация. Представленная система упражнений многократно опробована мной в работе с учениками седьмых классов, а также опробована моими коллегами. Результаты хорошие. Отличие от существующих методических материалов. Работа не является сборником дидактических материалов. Также в представленной работе нет готовых поурочных планов. С учетом возрастных особенностей семиклассников разработаны задания для подготовительного этапа, позволяющие заложить основу для будущего успеха в изучении темы. Сформулирован алгоритм решения типовой задачи. Система упражнений построена таким образом, чтобы алгоритм усваивался пошагово. Количество упражнений на каждом этапе достаточно для того, чтобы учитель мог выбрать оптимальную скорость продвижения в изучении материала. Примерное распределение материала по урокам дано в двух вариантах. Задания из учебника распределены по этапам и уровням сложности. Внешняя оценка. Работа получила положительную оценку следующих специалистов: председатель методического объединения учителей математики школы № 000, ; методист ОМЦ СЗУО, ; редактор журнала "математика" издательства "первое сентября" Камаев журнала принято решение опубликовать эту работу в начале следующего учебного года. Работа была представлена в рамках семинара для учитетей математики, работающих в Митино, который проводился мной в ноябре 2011 года. Тема семинара: "Формирование математических понятий и усвоение математических утверждений" Авторская разработка размещена на сайте www. mioo. ***** ссылка:«http://mioo. *****/course/view. php? id=304», а также на сайте www. ***** ссылка http://*****/course/view. php? id=7293 Отзывы специалистов. (см. Приложение 1.)

Введение.

Ни для кого не секрет, что, начиная изучать геометрию в 7 классе, и учителя, особенно начинающие, и ученики испытывают большие трудности. Как правило, накануне, где-нибудь в конце августа, отправляется начинающий учитель в книжный магазин в поисках ответов на свои вопросы. Что же он видит на полках книжных магазинов? Разнообразных пособий – множество, ответов на вопрос «как научить?» - практически нет. Часто слышу от коллег: «ой, в этом пособии так много интересных заданий – всегда можно что-нибудь подобрать для урока». Но, позвольте! Если, к примеру, у вас высокая температура, вы ведь не ищете в аптеке какое-нибудь интересненькое лекарство, а ищете именно жаропонижающее, пусть это даже скучнейший парацетамол! Так же и в нашей работе. Требуются не какие-нибудь, а вполне определенные задания в каждый момент обучения. Эти задания должны составлять систему. То есть каждое задание должно подготовить ученика к выполнению следующего задания, или к усвоению следующего теоретического материала. Конечно, и при наличии грамотно построенной системы упражнений, от учителя потребуется много сил и умения, чтобы получить результат. Ведь нужно добиться, чтобы ученики действительно выполнили все задания. Однако, сил этих требуется значительно меньше, чем при отсутствии системы упражнений.

Указывая направления развития школы будущего, авторы "национальной образовательной инициативы "наша новая школа" выделяют и такой важный момент: «Новая школа - это школа для всех». Имеется в виду, что необходимо учитывать возрастные и индивидуальные особенности школьников. В предлагаемой системе упражнений нет готовых поурочных планов. Учитель имеет возможность самостоятельно определить скорость продвижения в изучении материала с учетом конкретной ситуации. Для этого количество заданий на каждом этапе дается с некоторым запасом. Кроме того, распределение материала по урокам дается в двух вариантах. Учитель, ориентируясь на эти варианты, может составить свой. Возрастные особенности семиклассников также учтены при разработке заданий подготовительного этапа.

Первый признак равенства треугольников.

Предлагаю вашему вниманию систему упражнений по теме «признаки равенства треугольников», ориентированную на преподавание по учебнику авторов и др. На мой взгляд, наиболее трудно и важно научить ребят доказывать равенство треугольников в самых простых ситуациях. В процессе решения этой методической задачи у детей будут сформированы умения и навыки, которые можно будет использовать для дальнейшего изучения материала и для углубления знаний. В предлагаемой системе упражнений базовый уровень определен так: ученики должны уметь доказывать равенство треугольников в случаях, когда недостающий третий элемент – это общая сторона, вертикальные углы, общий угол; уметь обосновывать равенство отрезков и углов, являющихся соответственными элементами равных треугольников; знать и уметь применять свойства равнобедренного треугольника.

Для того, чтобы усвоить указанный материал, ученик должен уметь обозначать углы и отрезки буквами, отмечать на чертеже равные углы и отрезки, «читать» обозначения на чертеже и изображать рисунок по условию задачи. В частности, он должен понимать, что запись «даны прямые АВ и АС» означает, что прямые пересекаются в точке А. Кроме того, ученик должен знать и уметь применять свойства смежных и вертикальных углов.

Будем считать, что весь базовый материал успешно усвоен и можно приступать к изучению темы «треугольники». Формулировки «признаков равенства треугольников» содержат такие обороты: «две стороны и угол между ними», «сторона и два прилежащих угла». Далее, при изучении свойств треугольников, ученики столкнутся с оборотом «противолежащий катет». Общеизвестно, что для семиклассников сложно выделять элементы чертежа. Таким образом, содержание упражнений первого этапа становится очевидным.

Первый этап (п. 14. Треугольник): учащиеся должны усвоить термины «прилежащий», «противолежащий», «лежащий между». Для этого можно использовать № 88 из учебника и следующие упражнения:

№ 1. N M K	а) против МК лежит Ð ….. б) против Ð К лежит сторона ….. в) к стороне NK прилежат Ð….. и Ð….. г) к стороне МК прилежат Ð….. и Ð….. д) Ð М лежит между сторонами ….. и ….. е) между сторонами МК и NK лежит Ð …..	№ 2. Р О F	а) Ð О лежит против стороны ……. б) к стороне PF прилежат Ð….. и Ð….. в) Ð О и Ð F прилежат к стороне ….. г) Ð О лежит между сторонами ….. и ….. д) между OP и PF лежит Ð ….. е) против стороны ОР лежит Ð …..
№ 3. А В С D E	а) в ∆ АВС между сторонами АС и ВС лежит Ð ….. б) в ∆ АВС ÐА и ÐАСВ прилежат к стороне … в) в ∆ CDE Ð Е лежит между сторонами …… г) в ∆ CDE к стороне CD прилежат Ð….. и Ð…..	№ 4. Т K E H C	а) в ∆ TKE между сторонами KE и TE лежит Ð ….. б) в ∆ TKE ÐKTE и ÐK прилежат к стороне … в) в ∆ TCE Ð Е лежит между сторонами …… г) в ∆ TCE к стороне TE прилежат Ð….. и Ð…..

Если ученикам трудно выделять элементы чертежей, можно использовать цветные мелки, фломастеры и т. п.

Ознакомив учеников с определением равных треугольников, нужно начать работу по формированию понятия равных треугольников. Для этого можно устно дать такие упражнения:

№ 5. Дано: ∆ ABC = ∆ KPF. Укажите пары равных углов Ответ: Ð А = Ð Ð В = Ð Ð С = Ð

B P K A C F Отмечены равные стороны

№ 6. Дано: ∆ MNK = ∆ TPE. Укажите пары равных сторон Ответ: MN = MK = NK =

M E T N K Отмечены равные углы Р

Обязательно в конце урока провести проверочную работу

Проверочная работа

Вариант 1 О Т К	1) Ð К лежит между сторонами ….. и ….. 2) между сторонами ОТ и ОК лежит Ð ….. 3) Ð О противолежит стороне ….. 4) к стороне ОТ прилежат Ð….. и Ð…..	Вариант 2. М В С	1) Ð М лежит между сторонами ….. и ….. 2) между сторонами ВС и ВМ лежит Ð ….. 3) Ð С противолежит стороне ….. 4) к стороне СВ прилежат Ð….. и Ð…..
А В С D E	5) в ∆ CDE между сторонами CD и СЕ лежит Ð….. 6) в ∆ АВС Ð АСВ лежит между сторонами …	T A B K	5) в ∆ АТВ между сторонами ТВ и АВ лежит Ð….. 6) в ∆ АВК Ð АВС лежит между сторонами …

Если результаты этой работы окажутся очень плохими – потребуется еще один урок для исправления ситуации. Ведь очевидно, если ученики не понимают слов «две стороны и угол между ними», знакомить их с теоремой совершенно бесполезно. В большинстве случаев результаты проверочной работы вполне удовлетворительные. Значит, можно приступать к изучению первого признака равенства треугольников. Тем не менее, работа по усвоению терминов «прилежащий», «противолежащий» и «лежащий между» должна продолжаться. В начале 1 – 2 следующих уроков полезно устно обсуждать взаимное расположение элементов треугольников, используя рисунки к задачам, отобранным для урока.

Этап второй. (п. 15 Первый признак равенства треугольников)

Ученики должны научиться определять, равны ли данные треугольники с отмеченными равными элементами по первому признаку; находить недостающую пару равных элементов; оформлять доказательство равенства треугольников. Об оформлении доказательства нужно сказать несколько слов отдельно. В задачах на доказательство для учеников сложно все – и оформление в том числе. Жесткие требования к оформлению можно счесть формализмом, но опыт показывает, что такие жесткие требования облегчают ученикам жизнь. Хоть здесь они четко знают, что делать. В приведенных ниже заданиях дано оформление доказательства, которое нравится мне. Если оно не устраивает вас, нужно внести изменения в задания сразу же.

Сразу после доказательства теоремы нужно дать устное упражнение, способствующее лучшему усвоению теоремы.

Проведите по этому рисунку следующую устную работу: Какие из данных треугольников равны по первому признаку? Почему не равны треугольники ABC и EFR? И т. д. Это упражнение – прямое применение теоремы, аналогичное задание можно будет потом использовать и при изучении второго и третьего признаков равенства треугольников. После этого даем задания № 2 и 3. Задания № 2, 3 также на прямое применение теоремы, причем № 3 – контрпример – треугольники не равны.

После этого начинаем обучение непосредственно решению доказательных задач: учимся оформлять доказательство и искать недостающую пару элементов. Для этого используем № 4, 5. Для экономии времени лучше распечатать задание для каждого ученика в виде карточки, в которой ученик заполнит пропуски.

№ 2. Даны треугольники АВС и KPN . Известно, что AB = KP , BC = PN , Ð B = Ð P. Равны ли данные треугольники? № 3. Даны треугольники OPE и STK . Известно, что PO = ST , PE = SK , Ð O = Ð T. Равны ли данные треугольники? № 4. В условии и решении задачи стерлись некоторые данные. Восстановите их. Дано: Δ MKP Δ ABC K B MP = AC Ð P = Ð C ………….. M P A C Доказать: Δ MKP = Δ ABC Доказательство: MP = AC по усл. Ð P = Ð C по усл. Δ MKP = Δ ABC по первому признаку …………… по усл. № 5. В условии и решении задачи стерлись некоторые данные. Восстановите их. Дано: Δ POE Δ DTM O T PE = DM OE = TM ………….. P E D M Доказать: Δ POE = Δ DTM Доказательство: PE = DM по усл. OE = TM по усл. Δ РОЕ = Δ DTM по первому признаку …………… по усл.

Получается, что на обучение поиску недостающих элементов мы потратили всего несколько минут. Продолжим эту работу на следующих уроках. В начале 2 – 3 следующих уроков по рисункам к задачам, отобранным для урока проводим соответствующую устную работу.

Начиная с этого момента, постоянно проговариваем и используем алгоритм: 1) отметь на чертеже все равные по условию элементы; 2) начни доказательство, выписав все равные по условию элементы треугольников; 3) найди пару недостающих элементов и запиши; 4) обоснуй равенство этих элементов; 5) сделай вывод (закончи доказательство). При оценивании ответов и письменных работ на этом и следующем этапе можно ориентироваться на выполнение шагов этого алгоритма: сколько шагов выполнил – такая и оценка.

Третий этап: формируем умение доказывать равенство треугольников на базовом уровне. Используем алгоритм. Подойдут задания из сборника «МАТЕМАТИКА Задачи и упражнения на готовых чертежах» , таблица 7.5. № 1, 3, 4. Как правило, этих заданий не хватает. Меняем расположение и названия фигур и получаем дополнительные задачи базового уровня. В приведенном ниже наборе это задания 1 – 4. Из учебника в качестве задач базового уровня можно использовать № 93 – 96.

№ 1. Док-ть: Δ KCO = Δ MOE

№ 2. Док-ть: Δ ATB = Δ AKB

№ 3. Док-ть: Ð С = Ð D

№ 4. Док-ть: KM = NP

В конце первого же урока по формированию навыка на базовом уровне нужно провести небольшую проверочную работу. Достаточно дать по одной задаче каждому варианту и не стоит выставлять плохие оценки. Оценивать удобно по степени выполнения алгоритма.

Первая проверочная работа

Вариант 1. Док-ть: Δ NKT = Δ KME

Вариант 2. Док-ть: Δ ZQE = Δ ZEL

Вариант 3 Док-ть: Δ AKS = Δ DSF

Вариант 4 Док-ть: Δ CBE = Δ BNE

Скорее всего, окажется, что часть учащихся уже освоили алгоритм доказательства на базовом уровне. Тогда на следующем уроке разбираем со всем классом пример решения задачи чуть более сложной, в которой недостающие элементы нужно представить в виде суммы или разности. Затем со всем классом продолжаем решать задачи базового уровня, а более сильным можно предложить задачи среднего уровня из сборника , таблица 7.5, № 11, а также приведенные ниже задачи 5 – 8. При решении этих, более сложных задач, используем тот же алгоритм, что и для простых задач

№ 5 PB = OE Док-ть: Δ PMO = Δ BKE

№ 6 Док-ть: Δ ABD = Δ BCE

№ 7 Док-ть: Δ KLO = Δ MHN

№ 8 Ð EAK = Ð PAM E K P M Док-ть: Δ EAP = Δ KAM

И в заключение – итоговая проверочная работа по первому признаку равенства треугольников

С – 2 Геометрия – 7 Вариант 1.	С – 2 Геометрия – 7 Вариант 2.
№ 1. Используя данные чертежа, докажите, что треугольник AOD равен треугольнику ВОС.		№ 1. Используя данные чертежа, докажите, что треугольник АВС равен треугольнику ADC.
№ 2. Используя данные чертежа, докажите, что треугольник KFH равен треугольнику HPE.		№ 2. Используя данные чертежа, докажите, что треугольник ABD равен треугольнику BCD.
C – 2 Геометрия – 7 Вариант 3	С – 2 Геометрия – 7 Вариант 4
№ 1. Используя данные чертежа, докажите, что треугольник ABD равен треугольнику BCD.		№ 1. Используя данные чертежа, докажите, что треугольник MKC равен треугольнику MKD.
№ 2. Используя данные чертежа, докажите, что треугольник DAE равен треугольнику ВЕС.		№ 3. Используя данные чертежа, докажите, что треугольник APC равен треугольнику BCK.

Примерное распределение материала по урокам

Содержание	№ урока
Сильный класс	Слабый класс
Организовать усвоение терминов «прилежащий», «противолежащий», «лежащий между». Начать формирование понятия «равные треугольники» Проверочная работа	1	1 – 2
Ознакомить с первым признаком равенства треугольников, доказать этот признак. Продолжить работу по усвоению терминов «прилежащий», «противолежащий», «лежащий между». Организовать усвоение текста теоремы Обучить поиску недостающего элемента Обучить оформлению доказательства	2	3
Сформировать навык решения доказательных задач на базовом уровне Провести обучающую работу (в слабом классе эта работа может быть итоговой)	3	4 -5
Совершенствовать навык решения задач Провести итоговую проверочную работу	4 -5

Каковы итоги проведенной работы? Учащиеся умеют: определять взаимное расположение элементов треугольника; находить недостающие для первого признака элементы; оформлять запись доказательства; кроме того, они освоили алгоритм доказательства. При изучении второго и третьего признаков равенства треугольников ученики будут использовать все приобретенные умения, включая алгоритм доказательства.

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника (п. 16, 17 – два урока)

Основная цель при изучении этого материала – сформировать у учеников понятия медианы, биссектрисы и высоты треугольника. То есть научить их делать выводы из условия «дана медиана (высота, биссектриса)», отмечать соответствующие равные элементы на чертеже и использовать сделанные выводы при решении задач. И, наоборот, по данным чертежа распознавать медиану, биссектрису и высоту треугольника.

Достижению этой цели будут способствовать такие упражнения.

Этап первый. Начинаем формировать понятия медианы, биссектрисы и высоты треугольника.

Сразу после разбора материала п. 16, на этом же уроке даем определение медианы, разбираем пример, делаем рисунок и сразу после этого устные задания 1 и 2. Затем даем определение биссектрисы, пример, рисунок, после чего – устные задания 3 и 4.

B D K A C

1)AK – медиана треугольника, BC = 12 см; BK = ?, KC = ? 2) CD – медиана треугольника AD = 5 см, AB = ?

M C Е P O

3) MP – биссектриса треугольника Ð OMC = 800 Ð OMP = ?, Ð PMC = ? 4) СЕ – биссектриса треугольника, Ð МСЕ = 320, Ð МСО = ?, Ð ЕСО = ?

После этого знакомим с определением высоты треугольника, обязательно изображаем на доске высоты тупоугольного треугольника и даем устные упражнения 5 и 6:

D E N O T

5)OE – высота треугольника Ð OED = ? Ð OET = ? 6) TN – высота треугольника Ð ? = 900, Ð ? = 900

Обратите внимание, что в каждой паре задания – взаимно обратные. Для формирования понятия это необходимо. Аналогичную устную работу можно проводить по рисункам из учебника. Для этого подойдут рисунки 54, 59, 60, 61 и 62. Мы начали формировать умение делать выводы из условия «дана медиана, биссектриса или высота». Теперь необходимо начинать учиться распознавать эти элементы на чертежах и отличать их друг от друга. Для этого предлагаем следующее устное упражнение:

№ 7. На каком из данных рисунков изображена медиана треугольника? Биссектриса? Высота?

№ 1

№ 2

№ 3

№ 4

№ 5

№ 6

Второй этап. Учим делать рисунок по условию задачи. Для этого даем практическое задание:

№ 8.Сделайте рисунок по условию задачи и отметьте на нем равные отрезки и углы, а также прямые углы.

а) Дан треугольник АВС. Его медиана СЕ и биссектриса ВО пересекаются в точке Р;

б) Дан треугольник MNK, MS – биссектриса, а NT – высота;

в) В треугольнике КРЕ, ÐР – тупой, KH – высота, PL – медиана.

Из учебника для этой цели подойдут задачи № 000, 102, 103

Третий этап. Учимся использовать условия «дана медиана и т. д» при решении задач. При этом решение каждой задачи полезно разбивать на два этапа: построение чертежа и вычисления. Сначала все самостоятельно строят чертеж, затем весь класс проверяет правильность его построения. Для этого можно вызвать ученика, который верно сделал чертеж. Он же может и закончить решение.

Примечание: на уроках, посвященных медианам, биссектрисам и высотам треугольника, желательно продолжать решать задачи на доказательство равенства треугольников.

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

№ 1. В треугольнике АВС проведена медиана ВЕ. Найдите периметр треугольника ВЕС, если АС = 12 см, ВС = 10 см, ВЕ = 7 см.

№ 2. В треугольнике АВС проведена высота ВК. Найдите ÐАВК, если Ð А = 500, а сумма углов треугольника АВК равна 1800.

№ 3. В треугольнике АВС проведены медианы ВК, АМ и СЕ. Найдите периметр треугольника, если АЕ = 3 см, ВМ = 4 см, КС = 4,5 см.

№ 4. В треугольнике KPE проведены биссектрисы KD и PM, которые пересекаются в точке О. Найдите ÐКОР, если Ð РКЕ = 600, Ð КРЕ = 800, а сумма углов треугольника РКО равна 1800.

№ 5. В треугольнике MNK проведены биссектрисы MO, KP, NE. Сумма углов треугольника равна 1800, найдите Ð OMK + Ð PKO + ÐMNE.

Из учебника можно использовать № 000, 110, 114.

Проверочную работу я провожу следующим образом. Имеется 4 варианта проверочной работы, но номера вариантов на карточках не указаны. Ученик пишет на карточке свою фамилию и вписывает ответы. Здесь же, или на обратной стороне выполняет № 4. Таким образом экономится время и практически исключается списывание.

«Медианы, биссектрисы и высоты треуг –ка» № 4 В треугольнике АСК проведена медиана СМ. Найдите периметр треугольника СМК. Если СК = 15 см, АК = 20 см, СМ = 12 см	«Медианы, биссектрисы и высоты треуг –ка» № 4 В треугольнике ОВМ проведена биссектриса ВЕ. Найдите Ð ОЕВ, если Ð ВОЕ = 700, а Ð ОВМ = 800.
«Медианы, биссектрисы и высоты треуг –ка» № 4 В треугольнике АСК проведена медиана СМ. Найдите периметр треугольника СМК. Если СК = 20 см, АК = 24 см, СМ = 15 см	«Медианы, биссектрисы и высоты треуг –ка» № 4 В треугольнике АВК проведена биссектриса ВМ. Найдите Ð АМВ, если Ð ВАМ = 800, а Ð АВК = 600.

Равнобедренный треугольник. (п. 18 – два урока)

Первый этап. Начинаем формировать понятие равнобедренного треугольника. После знакомства с определением равнобедренного треугольника нужно добиться усвоения терминов «основание» и «боковые стороны» равнобедренного треугольника.

Задания устные. Но для повышения эффективности работы можно распечатать такое задание на каждого ученика и работать прямо на этой карточке

M N K А В С

1)В ∆ MNK Основание - _____________ Боковые стороны - ____ и ____ углы, прилежащие к основанию ___________ и ________ 2) ∆ АВС – равнобедренный, ВС – основание. Какие стороны равны? Ответ: ______ = ______

B C O A D О Р Е

3) Назовите основание ∆ ВОС, если ВО = АО; Ответ: основание - __________ углы, прилежащие к основанию ______ и _______ 4) Найдите периметр равнобедренного ∆ ОРЕ, если ОР – основание и ОР = 15 см, а ОЕ = 12 см.

Второй этап. Изучаем свойство углов и организовываем его усвоение. Доказываем свойство и, в качестве первичного закрепления, проводим небольшую устную работу по рисункам к заданиям 1 – 3. Задаем вопросы: «какие углы треугольника такого-то равны, если стороны … и … равны?» или «какие углы треугольника такого-то равны, если ….. – основание?» Можно аналогичную работу проводить по рисункам учебника. Для этого подойдут рисунки 65, 66, 67.

Третий этап. Учимся применять определение и свойство углов равнобедренного треугольника на базовом уровне. Обязательно на уроках, посвященных равнобедренному треугольнику, нужно решать задачи на доказательство равенства треугольников, иначе к началу изучения второго и третьего признаков ученики все забудут.

Вычислительные задачи обязательного уровня. Зная, что сумма углов треугольника равна 1800, найдите указанные углы.

№ 5. К Р М ÐК = 400, найдите ÐМ

№ 6. К А В ∆АКВ – равнобедренный, АВ – основание, ÐК = 1200. Найдите ÐА

№ 7. В равнобедренном треугольнике ТРЕ с основанием ТЕ, Ð Т = 500. Найдите остальные углы треугольника.

№ 8. В равнобедренном треугольнике MON, MN и MO – боковые стороны, ÐM = 680. Найдите остальные углы треугольника

Из учебника в качестве вычислительных задач базового уровня можно использовать № 000 – 109, в которых используется понятие периметра.

Задачи на доказательство равенства треугольников базового уровня

№ 9. В треугольнике КТЕ, КТ = ТЕ, ÐТ = 800. В треугольнике DBM, DB = BM, ÐD = 500. Докажите что треугольники КТЕ и DBM равны, если КТ = DB.

№ 10. Треугольник ТРМ – равнобедренный с основанием ТМ, Ð Р = 1100. В треугольнике АВС Ð А = 350. Докажите, что треугольники АВС и ТРМ равны, если АВ = ТР, АС = ТМ.

Из учебника можно использовать № 000, 118 – несложные задачи на применение первого признака равенства треугольников; № 000, 117 – несложные задачи на доказательство; № 000 – более сложная задача на применение первого признака равенства треугольников; № 000 – несложная вычислительная задача; № 000 – более сложная задача на доказательство.

Таким образом, для первого урока можно подобрать задачи, соответствующие уровню класса. Но задачи вида «найди неизвестные углы равнобедренного треугольника» должны уметь решать все ученики. Эта простенькая задача будет часто встречаться в дальнейшем.

Четвертый этап. Знакомим с остальными свойствами равнобедренного треугольника и организовываем их усвоение. Для этого на втором уроке доказываем свойства медианы, биссектрисы и высоты, проведенной к основанию равнобедренного треугольника. Для того, чтобы ученики усвоили доказанную теорему, даем задания на прямое применение. Задания – устные, но для повышения эффективности работы можно распечатать задание в виде карточки на каждого ученика и работать прямо в ней.

В 340 ? А 6 см D С Ð DBC = …….., АС = ……..

Р К М Е Ð КРЕ = 840, найдите Ð МРЕ = ………, Ð РМК = …….

дана биссектриса Т N S H NH = 24 см NS = ………., ÐTSH = ………

Пятый этап. Теперь приступаем к решению вычислительных задач базового уровня с применением изученных свойств.

№ 11. Дан равнобедренный треугольник МКР с основанием КР, МС – биссектриса треугольника. Найдите периметр треугольника КМС, если МР = 10дм, МС = 8дм, КР = 12 дм.

№ 12. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана ВЕ. Найдите Ð АВЕ, если ÐС = 480.

Из учебника можно использовать № 000 – задача базового уровня на прямое применение свойств, и № 000 – более сложная задача на доказательство.

В конце урока проводим проверочную работу

Свойства равнобедренного треугольника Вариант 1. № 1. Треугольник АРК – равнобедренный с основанием АК, Ð Р = 700. Найдите ÐА. № 2. Дан равнобедренный треугольник ОТР с основанием ОР, ТЕ – высота треугольника. Найдите периметр треугольника ТЕР, если ОТ = 5дм, ТЕ = 4дм, ОР = 6 дм.	Свойства равнобедренного треугольника Вариант 3. № 1. Треугольник СМЕ – равнобедренный с основанием СЕ, Ð М = 840. Найдите ÐС. № 2. Дан равнобедренный треугольник АСК с основанием АК, СЕ – биссектриса треугольника. Найдите периметр треугольника АСК, если СК = 10дм, ЕК = 8дм.
Свойства равнобедренного треугольника Вариант 2. № 1. Треугольник АВС – равнобедренный с основанием АС, Ð А = 380. Найдите ÐВ. № 2. Дан равнобедренный треугольник МКЕ с основанием МЕ, КР – высота треугольника. Найдите ÐМКР, если ÐМ = 380.	Свойства равнобедренного треугольника Вариант 4. № 1. Треугольник АВС – равнобедренный с основанием АВ, Ð А = 420. Найдите ÐС. № 2. Дан равнобедренный треугольник TOS с основанием TS, ОЕ – медиана треугольника. Найдите ÐTOE, если ÐS = 460

Второй и третий признаки равенства треугольников

Обучая школьников решению задач базового и среднего уровня с применением второго и третьего признаков равенства треугольников, используем тот же алгоритм, который использовался при изучении первого признака. Совпадают по существу и многие этапы работы над первым и двумя другими признаками равенства треугольников.

Первый этап. Знакомство со вторым признаком равенства треугольников; организация его усвоения; формирование навыка решения доказательных задач на базовом уровне

Сразу после разбора доказательства теоремы даем устное упражнение № 1 ( какие из данных треугольников равны по второму признаку?)

№ 2 а). MP = AC по усл. Ð P = Ð C по усл. Δ MKP = Δ ABC по ………..признаку Ð М = Ð Апо усл. б) PE = DM по усл. OE = TM по усл. Δ РОЕ = Δ DTM по ………… признаку Ð Е = Ð М по усл. В) TS = KM по усл. SE = MN по усл. Δ TSE = Δ KMN по ………… признаку TE = KN по усл.

Теперь приступаем к решению задач базового уровня. При этом постоянно проговариваем и используем алгоритм (см. стр. 5). Подойдут задания из сборника «МАТЕМАТИКА Задачи и упражнения на готовых чертежах» , таблица 7.5. № 2, 5, 6, 8, 10. Из учебника в качестве задач базового уровня можно использовать № 000 – 125, 136.

Второй этап. Знакомство с третьим признаком равенства треугольников; организация его усвоения; формирование навыка решения задач на базовом уровне. Сразу после разбора доказательства теоремы даем устное упражнение № 1: какие из данных треугольников равны по третьему признаку. Используем тот же рисунок, что и на предыдущем уроке. Затем – устное упражнение № 2 (без рисунков)

Теперь приступаем к решению задач базового уровня. При этом постоянно проговариваем и используем алгоритм (см. стр. 5). Подойдут задания из сборника «МАТЕМАТИКА Задачи и упражнения на готовых чертежах» , таблица 7.5. № 7. Решаем задачи на применение и второго, и третьего признаков. Можно использовать приведенные ниже задачи № 3 – 6. Из учебника можно использовать № 000, 137, 138

Можно доказательство второго и третьего признаков равенства треугольников провести на одном уроке. После этого выполнить с учениками устные задания 1 и 2. Затем приступить к решению задач базового уровня сложности.

№ 3. Док-ть: Δ KCO = Δ MOE

№ 4. Док-ть: Δ ATB = Δ AKB

№ 5. Док-ть: А С = ВD

№ 6. Док-ть: Ð K = ÐN

Проверка усвоения материала на базовом уровне. Ставим только хорошие оценки. Используем варианты 1 и 2.

Вариант 1. Равны ли треугольники? Если да, то по какому признаку?	Вариант 2 Равны ли треугольники? Если да, то по какому признаку?	Вариант 3 Равны ли треугольники? Если да, то по какому признаку?	Вариант 4 Равны ли треугольники? Если да, то по какому признаку?
№ 2 Док-ть: Δ NKT = Δ KME	№ 2 Док-ть: Δ ZQE = Δ ZEL	№ 2 Док-ть: Δ AKS = Δ DSF	№ 2. Док-ть: Δ CBE = Δ BNE

В результате проверки, скорее всего, окажется, что часть учащихся еще не освоила материал на базовом уровне. Для них потребуется дополнительная тренировка и повторная проверка (используем варианты 3 и 4). А с остальными учащимися можно приступать к следующему этапу.

Третий этап. Совершенствование навыка решения задач. Учимся решать задачи средней и высокой сложности. Продолжительность и конечный результат этого этапа будут разными в разных классах.

Задачи средней сложности.

Первый тип. В этих задачах недостающий элемент нужно представить в виде суммы или разности. Решаются на основе приведенного выше алгоритма. Нужно на первых порах давать ученикам совет представить недостающие элементы в виде суммы или разности. Как правило, решению этих задач обучаются все учащиеся.

№ 7 PB = OE M P O E B K Док-ть: ÐP = ÐE

№ 8 Док-ть: Δ ABD = Δ BCE

№ 9 KM = LN H K L M N O Док-ть: Ð K = ÐN

№ 10 Ð EAK = Ð PAM Док-ть: Δ EAP = Δ KAM

Из учебника к задачам этого типа относится № 000. Кроме того, можно использовать задания из сборника «МАТЕМАТИКА Задачи и упражнения на готовых чертежах» , таблица 7.5. № 9,11, 12

Второй тип. Сложность задач выше базовой, так как в них используются термины «биссектриса», «медиана», «перпендикуляр», «равнобедренный треугольник», или нужно применить свойства равнобедренного треугольника. Из учебника к задачам этого типа относятся № 000, 132, 133.

№ 11. На рисунке 1 B AD = EC, ∆ DBE - равнобедренный с основанием DE Докажите, что треугольник A D E C ABD равен треугольнику BEC. Рис.1

№ 12. Докажите, что треугольник AOB равен В треугольнику ВОС, если треугольник D АОС – A C равнобедренный с основанием АС O и ОВ – биссектриса ÐАОС

№ 13. На рисунке 1 B AD = EC, ∆ ABC - равнобедренный с основанием AC Докажите, что треугольник A D E C ABE равен треугольнику DBC. Рис.1

№ 14. На рисунке В OA = OC, ОК – высота треугольника АОС Докажите, О что равны треугольники ABK и CBK А К С

Задачи высокого уровня сложности. В этих задачах нужно последовательно доказать равенство нескольких пар треугольников. Решению таких задач ребята обучаются с трудом. Помогают такие приемы, как решение задачи по плану с пропусками; воспроизведение решения задачи с измененными обозначениями. Очень полезно также решать одну и ту же задачу несколькими способами. Можно предложить ученикам самостоятельно найти другой способ решения для уже разобранной в классе задачи. В учебнике к сложным задачам относятся № 000 – 131, 139 – 142 из §3, многое можно найти и в главе «дополнительные задачи». Много таких задач вы найдете и в дидактических материалах .

Трудно заранее предсказать, какого конечного результата достигнут ученики именно вашего класса. Поэтому уровень сложности задач для проверочных работ вы определите самостоятельно. Для общеобразовательного класса, возможно, подойдут такие проверочные работы

С – 3 Вариант 1. Геометрия – 7 K № 1. По данным рис. 1 докажите, что треугольники OPE и KNE равны P E M N N O   O рис. 1 № 2. На рис. 2 ∆МОК = ∆ONP, K P MO = ON,KM = NP Докажите, Рис. 2 что треугольники MKP и KNP равны	С – 3 Вариант 2. Геометрия – 7 M A № 1. По данным рис. 1 докажите, что треугольники KMB и MBA равны   C K B Рис. 1 A D K E № 2. На рис. 2 ÐBDA = ÐEKC, ÐA = ÐE, AK = DE Докажите, что треугольники ABD и KEC рис. 2 B равны.
С – 3 Вариант 3. K N № 1. На рис. 1 ÐК= ÐЕ, MK = ME. Докажите, что треугольник MKP равен треугольнику MNE M B C P E рис. 1   № 2. По данным рис. 2 докажите, что треугольник АВС равен A D треугольнику ABD рис. 2	С – 3 Вариант 4. P № 1. По данным рис. 1 докажите, что треугольник ОРЕ равен O E треугольнику ОЕК M K рис. 1 B A C D № 2. По данным рис. 2 докажите, что треугольник CAN равен треугольнику BDM N рис. 2

Во всех 4 вариантах первая задача – базового уровня сложности. В 1 и 2 вариантах вторая задача – среднего уровня сложности, в 3 и 4 вариантах вторая задача – сложная.

В приведенной ниже контрольной работе первая задача – базового, вторая – среднего и третья – высокого уровня сложности.

К – 2 Геометрия – 7 Вариант 1. Р Е № 1. На рисунке 1 PE = MT, МР = ТЕ. Докажите, что треугольники МРT и РЕТ равны. Е М Т Рис. 1 № 2. На рисунке 2 ÐК = ÐА, К Р А ÐЕРТ = ÐРТВ, КТ = РА. T Докажите, что треугольники Рис. 2 КЕР и ТАВ равны. В № 3. Докажите, что треугольники АВС и А1В1С1 равны, если АВ = А1В1, ÐА = ÐА1, AD = A1D1, где AD и A1D1 – биссектрисы треугольников.

К – 2 Геометрия – 7 Вариант 2. М К № 1. На рисунке 1 МК = ОВ, ÐВМК = ÐМВО. Докажите, что треугольники ОМВ и МВК равны. B D О В Рис. 1 № 2. На рисунке 2 ÐBAD = ÐDMB, ÐDAM = ÐBMA. Докажите, что треугольники A M ADM и ABM равны. Рис. 2 № 3. В треугольниках АВС и А1В1С1 медианы ВМ и В1М1 равны, АВ = А1В1, АС = А1С1. Докажите, что треугольники АВС и А1В1С1 равны.

Примерное распределение материала по урокам

Содержание	№ урока
Сильный класс	Слабый класс
Ввести понятие перпендикуляра к прямой; ознакомить с определениями медианы, биссектрисы и высоты треугольника; организовать усвоение этих определений; научить применять определения при решении задач базового уровня; проконтролировать усвоение	1 - 2	1 – 2
Познакомить с определением равнобедренного треугольника, доказать его свойства, организовать усвоение этого материала; научить применять изученный материал при решении задач; проконтролировать усвоение	3 - 4	3 - 4
Доказать второй и третий признаки равенства треугольников; организовать их усвоение; сформировать навык решения задач обязательного уровня	5	5 - 7
Совершенствовать навык решения задач	6 - 7	-
Итоговая контрольная работа по теме «признаки равенства треугольников»	8	8

Заключение:

Предлагаемая система упражнений неоднократно опробована мной в работе с учениками седьмых классов. Также она опробована некоторыми моими коллегами. Результаты следующие. Умение доказывать равенство треугольников в задачах базового уровня сложности приобретают практически все ученики. Исключение составляют лишь те, кто систематически не посещает школу. Задачи среднего уровня сложности решают примерно 80 %. В начале текущего учебного года, на втором (!) уроке геометрии в сентябре я проводила небольшую письменную работу в 8 классе. В этой работе было две задачи по теме «равенство треугольников». Двоек за эту работу не было. То есть даже после летних каникул ребята не забыли материал. С задачей базового уровня сложности справились все. Не менее важен и психологический результат. Ученики уверены, что геометрия им по силам.

Использовать представленный опыт может каждый учитель. Для этого не требуется никаких специальных знаний и умений, кроме тех, которыми владеет любой учитель математики.

Надеюсь, что эта работа будет полезна моим коллегам.

Список использованной литературы

Учебник «Геометрия 7 – 9» авторов , , «Задачи к урокам геометрии 7 – 11 классы» «МАТЕМАТИКА Задачи и упражнения на готовых чертежах» «Совершенствование методики работы учителя математики»