Рассмотрено и утверждено
на заседании кафедры математики, ТиМОМ
протокол от 01.01.2001 г.
зав. кафедрой _________________
Вопросы к зачёту по дисциплине «Алгебра»
2 курс специальности «Математика» с доп. специальностью «Информатика»,
4 семестр, уч. г., ОДО
Требования к зачету
1. Не иметь долгов по контрольным и самостоятельным работам, выполнить семестровое задание.
2. Сдать 2 коллоквиума. Знать основные понятия и утверждения изученной теории, иллюстрировать их примерами.
Вопросы к коллоквиумам
(первый коллоквиум: 1-9, второй коллоквиум: 10-24)
1. Кольцо многочленов от одной переменной над областью целостности с единицей.
2. Многочлены от одной переменной, как функции от одной переменной.
3. Теорема о делении с остатком. Примеры.
4. Следствия из теоремы о делении с остатком. Теорема Безу. Схема Горнера. Примеры.
5. НОД многочленов. Алгоритм Евклида. Примеры. НОК многочленов.
6. Линейное разложение НОД. Взаимно простые многочлены, их свойства. Примеры.
7. Неприводимые над полем многочлены, их свойства. Примеры.
8. Теорема о разложении многочлена в произведение неприводимых множителей и его единственность.
9. Формальная производная многочлена. Разложение многочлена по степеням двучлена. Примеры.
10. Кольцо многочленов от n переменных.
11. Лексикографическое упорядочение членов многочлена. Примеры.
12. Теорема о высшем члене произведения многочленов.
13. Симметрические многочлены, их свойства. Примеры. Лемма о высшем члене симметрического многочлена.
14. Основная теорема о симметрических многочленах.
15. Алгебраически замкнутые поля. Поле разложения многочлена.
16. Формулы Виета ( теорема и следствие ).
17. Леммы к основной теореме алгебры.
18. Основная теорема алгебры и следствия из неё.
19. Сопряжённость корней многочлена с действительными коэффициентами. Разложение многочлена над полем R в произведение неприводимых множителей.
20.Целые и рациональные корни многочлена.
21. Критерий неприводимости Эйзенштейна.
22. Алгебраические и трансцендентные числа.
23. Простое расширение поля.
24. Теорема об освобождении от иррациональности в знаменателе дроби.
Семестровое задание по алгебре для студентов 2 курса
Раздел: “Многочлены”
1. операции над многочленами, степень многочлена.
Найти степень многочлена f(x) = (–x+1)×(x2+1) + (x2–1)×(x+1) – 2x + 1.
2. деление многочленов с остатком.
Найти частное и остаток от деления
f(x) = 2×x5–3×x3+1 на g(x) = –x3+3×x2–x+5.
3. разложение многочлена по степеням двучлена.
Разложить многочлен f(x) = 2×x5–3×x3+1 по степеням двучлена x + 2.
4. схема Горнера.
а) значение многочлена в точке.
Вычислить значение многочлена f(x) = –x3+3×x2–x+5 в точке a = –2.
б) деление многочлена на двучлен.
Разделить многочлен 2×x5–3×x3+1 с остатком на x + 3.
в) разложение многочлена по степеням двучлена.
Разложить многочлен f(x) = 2×x5–3×x3+1 по степеням двучлена x + 2.
5. наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
Найти НОД и НОК многочленов f(x) = 2×x3–3×x+2, g(x) = –3×x2+2×x–1.
6. линейное разложение НОД.
Найти линейное разложение Н. О.Д. многочленов
2×x3–3×x+2, –3×x2+2×x–1.
7. иррациональности в знаменателе дроби.
Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби 
.
8. рациональные корни многочлена.
Найти все рациональные корни многочлена f(x) = x3+x2–5×x+3.
9. кратность корней многочлена.
Найти кратности корней многочлена f(x) = x3+x2–5×x+3.
10. многочлены над Q.
Доказать неприводимость многочлена f(x) = x7+3×x5–6×x+3.
11. многочлены над R.
Построить многочлен наименьшей степени над R с корнями: двукратными –i и –2×i+3 и однократными 1+i, –2.
12. симметрические многочлены.
Выразить через элементарные симметрические многочлены от трёх переменных многочлен x4 + y4 + z4.
13. алгебраические числа.
Найти аннулирующий многочлен для числа a = .
Контрольная работа №1 по алгебре для студентов II курса, IV семестр
Вариант 1
I уровень 1.1 f(x) = x5+ 6x4 + 11x3 + 2x2 - 12x - 8, a = - 2
Используя схему Горнера, а) найти частное и остаток от деления многочлена
f(x) на ( x – a); б) разложить f(x) по степеням (x-a); в) найти значение многочлена и его производных при x = a; г) найти кратность корня x = a и разложить f(x) на неприводимые множители над R.
1.2 Найти НОД и НОК многочленов
f1(x) = x3 + 2x2 + 3x + 2; f2(x) = x4 + x3 + x2 – x - 2 .
II уровень
2.1 С помощью схемы Горнера разложить f(x) по степеням x.
f(x) = ( x-2)5+10( x – 2)4+37( x – 2 )3+62( x – 2)2+44( x – 2 ) + 8
2.2 Найти линейное разложение НОД(f (x),j (x)), если
f(x) = 3x7+6x6-3x5+4x4+14x3-6x2-4x+4, j ( x ) = 3x6-3x4+7x3-6x+2
2.3 С помощью схемы Горнера найти частное и остаток от деления многочлена
f(x)=3x4 + 2x3 - 3x2 + x + 4 на (3x+2).
III уровень 3.1 Найти остаток от деления многочлена
f(x)=2x64 - 5x36 - 3x27 + 7x15 + 2x6 - 3x4 + 8 на j (x) = x3 – x.
Вариант 2
I уровень 1.1 f(x) = x5 - 5x4 + 7x3 - 2x2 + 4x - 8, a = 2
Используя схему Горнера, а) найти частное и остаток от деления многочлена
f(x) на ( x – a); б) разложить f(x) по степеням (x-a); в) найти значение многочлена и его производных при x = a; г) найти кратность корня x = a и разложить на неприводимые множители над R.
1.2 Найти НОД и НОК многочленов
f1(x) = x3 + 2x2 + 3x + 2; f2(x) = x3 - x2 - 2 .
II уровень
2.1 С помощью схемы Горнера разложить f(x) по степеням x.
f(x) = 3(x+x + 2)4+65(x + 2x + 2)2 +26(x + 2) + 15
2.2 Найти линейное разложение НОД(f (x),j (x)), если
f(x) = 2x4 - x3 - 3x2 - 2x + 6, j ( x ) = 2x – 3
2.3 С помощью схемы Горнера найти частное и остаток от деления многочлена
f(x)=3x4 + 2x3 - x2 + 3x + 5 на (3x-1).
III уровень 3.1 При каких значениях a и b многочлен
f(x)=2x35 - 18x33 - 5x15 +45x13 + ax2 + bx - 3 делится на j (x) = x2 – 4 x+3
К. п.н., доцент
